高中数学 阶段质量评估1 北师大版选修23

2016-2017学年高中数学阶段质量评估1 北师大版选修2-3
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法( )
A．13种B．16种
C．24种D．48种
解析：应用分类加法计数原理，不同走法共有8＋3＋2＝13种．
答案： A
2．某单位有15名员工，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名员工组成考察团外出参观学习，如果按性别同比例选取，则此考察团的组成方法种数是( ) A．C310B．C410C25
C．C515D．A410A25
解析：由题意知，要从男性10人中选取4人，女性5人中选取2人，故有C410C25种组团方法．
答案： B
3．组合数方程5C5n＋C4n＝C3n的解是( )
A．6 B．5
C．5或1 D．以上都不对
解析：代入法，经验证选B．
答案： B
4．6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有( )
A．30种B．144种
C．5种D．4种
解析：分两步完成：第一步，其余3人排列有A33种排法；第二步，从4个可插空档中任选3个给甲、乙、丙3人站有A34种插法．由分步乘法计数原理可知，一共有A33A34＝144种．答案： B
5．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( ) A．60个B．48个
C．36个D．24个
解析：个位上数字只能从2与4中任选一个，有2种选法，万位上的数字有3种选法，其余位上的数字有6种选法，
∴共计2×3×6＝36(个)． 答案： C
6．从6个人中选出4人参加数、理、化、英语比赛，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不参加英语比赛，则不同的参赛方案的种数共有( )
A ．96
B ．180
C ．240
D ．288
解析： 方法一：分三种情况：①甲，乙都不参加比赛有A 4
4种；②甲、乙只有一人参加比赛有C 1
2·C 1
3·A 3
4种；③甲、乙两人都参加比赛有A 2
3·A 2
4种．故共有A 4
4＋C 1
2·C 1
3·A 3
4＋A 2
3·A 2
4＝240(种)．
方法二：若不考虑限制条件，从6人中选出4个参加四项比赛，共有A 4
6种参赛方案，而其中甲参加了英语比赛的方案有A 3
5种，乙参加了英语比赛的方案也有A 3
5种．故甲、乙两人都不参加英语比赛的方案种数是A 4
6－2A 35＝360－120＝240(种)．
答案： C
7．在(x 2－13
x
)n
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )
A ．－7
B ．7
C ．－28
D ．28
解析： 只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项， 即n ＝8，
T r ＋1＝C r 8(x 2
)
8－r (－13
x
)r ＝C r 8(－1)r
·(12
)8－r ·x 8－43
r ， 当r ＝6时为常数项，T 7＝7. 答案： B
8．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )
A ．30种
B ．36种
C ．42种
D ．48种
解析： 依题意，就乙是否值14日分类：第一类，乙值14日，则满足题意的方法共有C 1
4·C 2
4＝24种(注：C 1
4表示从除甲、乙外的4人中任选一人参与14日的值班的方法数；C 2
4表示从余下的4人中任选两人参与15日的值班的方法数)；第二类，乙不值14日，则满足题意的方法共有C 2
4·C 1
3＝18种(注：C 2
4表示从除甲、乙外的4人中任选两人参与14日的值班的方法数；C 1
3表示从余下的3人中任选一人与乙共同参与15日的值班的方法数)．因此，满足题意的方法共有24＋18＝42种．
答案： C
9．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A．－20 B．－15
C．15 D．20
解析：设第r＋1项为常数项，
C r622x(6－r)(－2－x)r＝(－1)r·C r6212x－2rx－rx，
∴12x－3rx＝0，∴r＝4.∴常数项为(－1)4C46＝15.
答案： C
10．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有( )
A．10个B．16个
C．20个D．32个
解析：和为11的数对有(1,10)、(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6)，要使任何两个数的和不等于11，只需从5个数对中分别任取一个数．
∴满足条件的子集有C12·C12·C12·C12·C12＝32个．
答案： D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．从5名运动员中任选4名排在编号为1,2,3,4的四条跑道上(每条跑道只排一名)，其中某甲不能排在第1,2跑道上，那么不同的排法一共有____________种．解析：由题意优先考虑甲，分为二类，第一类为甲参加，有C34·C12A33＝48种；第二类，甲不参加，有C44A44＝24种．
故有48＋24＝72种．
答案：72
12．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有____________种．(以数字作答)
解析：从10个球中任取3个，有C310种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2种．
∴共有2C310＝240种方法．
答案：240
13．(3
x－
1
2
3
x
)10的展开式中的有理项有____________项．
解析： T r ＋1＝C r
10·(
3
x )10－r ·(－
1
23x
)r ＝(－12)r ·C r
10·x 10－r 3·x －r 3＝(－
12)r ·C r 10·x 10－2r 3
. ∴当r ＝2,5,8，共3项． 答案： 3
14．若(2x －3)6＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 6(x －1)6
，则a 1＋a 3＋a 5＝____________.
解析： 令x ＝2得16
＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6① 令x ＝0得
(－3)6
＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6② ①－②得1－36
＝2(a 1＋a 3＋a 5)， ∴a 1＋a 3＋a 5＝1－3
6
2＝－364.
答案： －364
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有28人，
A 型血的共有7人，
B 型血的共有9人，AB 型血的有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
解析： 从O 型血的人中选1人有28种不同的选法，从A 型血的人中选1人有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB 型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这种“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．
16．(本小题满分12分)把4个男学生和4个女学生平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票体验活动，且把同样两人在不同汽车上服务算作不同情况．
(1)有几种不同的分配方法？
(2)男学生与女学生分别分组，有几种不同的分配方法？
(3)每个小组必须是一个男学生和一个女学生，有几种不同的分配方法？
解析： (1)男女合一起共8人，每车2人，可分四步完成，第一辆车有C 2
8种，第二辆车有C 2
6种，第三辆车有C 2
4种，第四辆车有C 2
2种，共有不同的分法C 28C 26C 24C 2
2＝2 520(种)．
(2)男女分别分组，4个男的平均分成两组共有C 2
42＝3(种)，4个女的分成两组也有C 2
4
2＝
3(种)，故分组方法共有3×3＝9(种)，对于每一种分法上4辆车，又有A 4
4种上法，因而不同的分配方法为9·A 4
4＝216(种)．(3)要求男女各1个，因此先把男学生安排上车共有A 4
4种方法，同理，女学生也有A 4
4种方法，男女各1人上车的不同分配方法为A 44A 4
4＝576(种)．
17．(本小题满分12分)若(3x －1)7
＝a 7x 7
＋a 6x 6
＋…＋a 1x ＋a 0， 求(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.
解析： (1)令x ＝0，则a 0＝－1， 令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128 ①
∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.
(2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0 ＝(－4)7
②
由
①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12
[128－(－4)7
]＝8 256. (3)由①＋②2
得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6
＝1
2[(a 7＋a 6＋a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0)＋(－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0)] ＝12[128＋(－4)7
]＝－8 128. 18．(本小题满分14分)已知(12
＋2x )n
.
(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解析： (1)因为C 4
n ＋C 6
n ＝2C 5
n ，所以n 2
－21n ＋98＝0. 解得n ＝7或n ＝14.
当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. 所以T 4的系数＝C 37(12)4×23
＝352
，
T 5的系数＝C 47(1
2
)3×24
＝70.
当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.
所以T 8的系数＝C 714(12
)7×27
＝3432.
(2)因为 C 0n ＋C 1n ＋C 2
n ＝79，所以n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大．
因为(12＋2x )12＝(12
)12(1＋4x )12
，
⎩⎪⎨⎪⎧
C k
124k
≥C k －1124k －1
，C k 124k
≥C k ＋1124k ＋1
，
所以9.4≤k ≤10.4.
又因为0≤k ≤12且k ∈N ，
所以k ＝10.所以展开式中系数最大的项为T 11.
T 11＝(1
2
)12C 1012410x 10＝16 896x 10.)。