2017-2018学年高中数学 第一章 直线、多边形、圆 2.2 圆的切线的判定和性质学案 北师大版

2．2 圆的切线的判定和性质
对应学生用书P15]
[自主学习]
1．切线的判定定理
2．切线的性质定理及推论
3．切线长定理
过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等．
[合作探究]
怎样求圆的切线长？
提示：利用圆外的点、圆心、切点构成的直角三角形求长．
对应学生用书P16]
切线的判定定理的应用
[例1] 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE
交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．求证：AC是⊙O的切线．
[思路点拨] 本题主要考查切线的判定问题，解此题时只需证
明AC⊥OE即可．
[精解详析] 连接OE.
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE.
又∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE＝∠DBE.
∴∠OEB＝∠CBE.
∴EO∥CB.
∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即AC⊥OE.
∵E为⊙O半径OE的外端，
∴AC是⊙O的切线．
证明直线与圆相切一般有以下几种方法：
(1)直线与圆只有一个公共点；
(2)圆心到直线的距离等于圆的半径；
(3)切线的判定定理．
几何证明问题常用方法(3)．
1．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )
A．DE＝DO B．AB＝AC
C．CD＝DB D．AC∥OD
解析：选A 当AB＝AC时，如图：
连接AD，
因为AB是⊙O的直径，
所以AD⊥BC，
所以CD＝BD，
因为AO＝BO，
所以OD是△ABC的中位线，
所以OD∥AC，
因为DE⊥AC，所以DE⊥OD，
所以DE是⊙O的切线．所以B正确．
当CD＝BD时，AO＝BO，
同B，所以C正确．
当AC∥OD时，因为DE⊥AC，
所以DE⊥OD.
所以DE是⊙O的切线．
所以D正确．
2．已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线．
证明：如图，连接OB，OC，OD，OD交BC于E.
∵∠DCB
∠BOD
∠BCD＝45°，∴∠BOD＝90°.
∵∠ADB是△BCD的一个外角，
∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°，
∴∠DOC＝2∠DBC＝30°，从而∠BOC＝120°.
∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°. 在△OEC 中，∵∠EOC ＝∠ECO ＝30°， ∴OE ＝EC .在△BOE 中， ∵∠BOE ＝90°，∠EBO ＝30°，
∴BE ＝2OE ＝2EC ，∴CE BE ＝CD DA ＝1
2
，
∴AB ∥OD .∴∠ABO ＝90°， 故AB 是△BCD 的外接圆的切线.
[例2] O 切AB 于E ，若BC ＝5，AC ＝12.求⊙O 的半径．
[思路点拨] ⊙O 切AB 于点E ，由圆的切线的性质，易联想到连接OE 构造Rt △OAE ，再利用相似三角形的性质，求出⊙O 的半径．
[精解详析] 连接OE ，
∵AB 与⊙O 切于点E ， ∴OE ⊥AB ， 即∠OEA ＝90°.
∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ，
∴OE BC ＝AO AB
.∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13，
∴OE 5＝12－OE 13，∴OE ＝103
. 即⊙O 的半径为103
.
利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．
3.如图，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，
则∠C ＝( )
A ．20°
B ．25°
C ．40°
D ．50°
解析：选B 连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ， 所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°， 所以∠AOB ＝50°，
又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上， 所以∠C ＝1
2
∠AOB ＝25°.
4．AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交
AB 延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC .
证明：连接OD ，则OD ⊥DC ， 又OA ＝OD ，DA ＝DC ，
所以∠DAO ＝∠ODA ＝∠DCO ， ∠DOC ＝∠DAO ＋∠ODA ＝2∠DCO ， 所以∠DCO ＝30°，∠DOC ＝60°， 所以OC ＝2OD ，即OB ＝BC ＝OD ＝OA . 所以AB ＝2BC .
[例3] 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，
过D 作⊙O 的切线交AC 于E .求证：DE ⊥AC .
[思路点拨] 本题主要考查切线性质定理的应用．解题时由于DE 是⊙O 的切线，则OD ⊥DE ，故要证DE ⊥AC ，只需证明OD ∥AC 即可．
[精解详析] 连接OD 、AD ，如图． ∵AB 为⊙O 直径，∴AD ⊥BC . ∵AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形， ∴AD 为BC 边上的中线， 即BD ＝DC . 又OA ＝OB ，
∴OD为△ABC的中位线．
∴OD∥AC.
∵DE切⊙O于D，∴OD⊥DE.
∴DE⊥AC.
与圆的切线有关问题往往连接圆心与切点添加辅助线后出现垂直关系，这是解决圆的切线问题的一个关键点．
5．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P 的度数．
解：如图，连接OB，∵OA＝OB，OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠OAB＝∠OBA.
又∠BAC＝20°，
∴∠OBA＝20°，∠BAP＝90°－∠BAC＝70°，
∠ABP＝90°－∠OBA＝70°.
∴∠P＝180°－∠BAP－∠ABP＝40°.
6.如图，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O
切于C点，∠A＝30°.
求证：(1)BD＝CD.
(2)△AOC≌△BDC.
证明：(1)因为AD为⊙O的直径，所以∠ACD＝90°，
又因为∠A＝30°，OA＝OC＝OD，
所以∠ACO＝30°，∠ODC＝∠OCD＝60°，
又因为BC与⊙O切于C点，所以∠OCB＝90°，
所以∠BCD＝30°，所以∠B＝30°，
所以∠BCD＝∠B，所以BD＝CD.
(2)因为∠A＝∠ACO＝∠BCD＝∠B＝30°，
所以AC ＝BC ， 在△AOC 和△BDC 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧
∠A ＝∠B ，AC ＝BC ，∠ACO ＝∠BCD ，
所以△AOC ≌△BDC .
本课时主要考查圆的切线的性质定理与判定定理的应用，题目难度中档．
[考题印证]
如图，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA ＝ .
[命题立意]
本题主要考查圆的切线的性质定理和圆周角定理的应用． [自主尝试] 如图，连接OA .
由∠ABC ＝30°， 得∠AOC ＝60°，
在直角三角形AOP 中，OA ＝1， 于是PA ＝OA tan 60°＝ 3. 答案： 3
对应学生用书P18]
一、选择题
1．矩形的两邻边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形中与半圆相切的边有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．0条
解析：选C 以较长的边为直径作半圆，半径正好与另一边相等，所以由图可知，与半圆相切的边有3条．
2.如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F ，若∠ABC ＝40°，
∠ACB ＝60°，连接OE ，OF ，则∠EOF ＝( )
A ．30°
B ．45°
C ．100°
D ．90°
解析：选C 因为∠ABC ＝40°，∠ACB ＝60°，所以∠A ＝80°，则∠EOF ＝180°－80°＝100°.
3．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相
切于点C ，PC ＝AC ＝1，则⊙O 的半径为( )
A ．
3
3
B ．
23 C ．35
D ．
25
解析：选A 连接OC .设∠PAC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CPA ＝θ，
∠COP ＝2θ.又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC .所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中，r ＝CP ·tan30°＝1×
33＝3
3
. 4．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的
延长线交于C ，若AD ＝DC ，则sin ∠ACO ＝( )
A ．10
10 B ．210 C ．
55
D ．
24
解析：选A 连接BD ， 则BD ⊥AC .
∵AD ＝DC ，∴BA ＝BC ， ∵BC 是⊙O 的切线，切点为B ， ∴∠OBC ＝90°，∠BCA ＝45°.
∴sin ∠BCO ＝OB OC
＝
OB 5OB ＝5
5
， cos ∠BCO ＝BC OC
＝
2OB
5OB
＝
25
5. ∴sin ∠ACO ＝sin(45°－∠BCO )＝sin45°cos∠BCO －cos45°sin∠BCO ＝22×25
5
－22×55＝10
10
. 二、填空题
5．如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为 ．
解析：设⊙O 与BC 边的切点为D ，
连接OD 以及OC ，如图，由等边三角形的内切圆的性质可得OD ⊥BC ，∠OCD ＝30°，OD 即为圆的半径．
又由BC ＝2，则CD ＝1，
所以在Rt△OCD 中，OD CD
＝tan 30°， 解得OD ＝3
3
. 答案：
33
6．如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥
AC 于C ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE ＝ ，AD ＝ .
解析：据题意设圆的半径为R ，连接OD ，由OD ∥BC 得：
OD BC ＝AO AB ⇒R 6＝10－R 10⇒R ＝154，故AE ＝10－2R ＝52
，
由AD AC ＝OD BC
，得AD ＝5. 答案：52
5
7．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B 点，
PB ＝1，则圆O 的半径R ＝ .
解析：AB ＝AP 2
－PB 2
＝ 3.
由AB 2
＝PB ·BC ， ∴BC ＝3，
Rt △ABC 中，AC ＝AB 2
＋BC 2
＝2 3. ∴R ＝ 3. 答案： 3
8．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝90°，AO 的延长线交
BC 于点D ，AC ＝4，CD ＝1，则⊙O 的半径等于 ．
解析：如图所示，设点E 为BC 与⊙O 的切点，连接OE ，则OE ⊥BC .又∵∠C ＝90°，
∴OE ∥AC ，CE ＝OE ＝r ，
∴DE ＝1－r . ∴DE DC ＝OE AC
， ∴
1－r 1＝r 4，解得r ＝4
5
. 答案：45
三、解答题
9.如图，AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，连接PC 交⊙O
于点B ，连接AB ，且PC ＝10，PA ＝6.
求：(1)⊙O 的半径． (2)cos ∠BAC 的值．
解：(1)因为AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线， 所以CA ⊥PA ，即∠PAC ＝90°， 因为PC ＝10，PA ＝6，
所以AC ＝PC 2－PA 2＝8，所以OA ＝12
AC ＝4， 所以⊙O 的半径为4.
(2)因为AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，
所以∠ABC ＝∠PAC ＝90°，
所以∠P ＋∠C ＝90°，∠BAC ＋∠C ＝90°，
所以∠BAC ＝∠P ，
在Rt△PAC 中，cos ∠P ＝PA PC ＝
610＝35
， 所以cos ∠BAC ＝35
. 10．如图，已知PAB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O
的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，PA ＝AO ＝OB ＝1.
(1)求∠P 的度数；
(2)求DE 的长．
解：(1)∵C 为切点，∴OC ⊥PC ，△POC 为直角三角形．
∵OC ＝OA ＝1， PO ＝PA ＋AO ＝2，
∴sin P ＝OC PO ＝12
.∴∠P ＝30°. (2)∵BD ⊥PD ，在Rt △PBD 中，
由∠P ＝30°，PB ＝PA ＋AO ＋OB ＝3，得BD ＝32
. 连接AE ，则∠AEB ＝90°，∴AE ∥PD .
∴∠EAB ＝∠P ＝30°，∴BE ＝AB sin30°＝1，
∴DE ＝BD －BE ＝12
. 11．如图所示，⊙O 的外切四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，∠A ＝∠
B ＝90°.
(1)求证：OC ⊥OD .
(2)若CD ＝4 cm ，∠BCD ＝60°，求⊙O 的半径．
解：(1)证明：因为AD ∥BC ，
所以∠BCD ＋∠ADC ＝180°，
由题意知∠ODC ＝12∠ADC ，
∠OCD ＝12∠BCD ，
所以∠ODC ＋∠OCD ＝12∠ADC ＋12∠BCD ＝90°，
所以∠DOC ＝90°，即OC ⊥OD .
(2)过点D 作DE ⊥BC 于点E ，
则四边形ABED 是矩形，DE 等于⊙O 的直径， 在Rt△DEC 中，∠DEC ＝90°，
∠ECD ＝∠BCD ＝60°，CD ＝4 cm ， 所以CE ＝12CD ＝2 cm ，
DE ＝42－22＝2 3 cm ，
所以⊙O 的半径为 3 cm.。