七年级数学上册第四章几何图形初步角余角和补角导学案新人教

4.3.3 余角和补角
教学目标： 1、在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角，掌握余角和补角的性质；了解方位角，能确定具体物体的方位。

2、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。

3、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。

重点：认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位
难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，•并能用规范的语言描述性质
教学过程
一、引入新课
1、提出问题：
（1）在一副三角板中，每块都有一个角是90°，那么其余两个角的和是多少？
（2）已知∠1=36°，∠2=54°，那么∠1+∠2=？
学生活动：独立思考，小组交流，得出结论：都是90°．
2．提出问题．
（1）观察方格如下图中的两个角，你能猜想∠1+∠2等于多少度？
（2）如果∠1=144°，∠2=36°，那么∠1+∠2=？
学生活动：观察思考，小组交流，得出结论：都是180°． 教师活动：操作多媒体，移动∠2，使∠1、∠2顶点和一边重合，
•引导学生观察∠1，∠2的另一条边，观察到两角的另一条边成一条直线，验证学生的结论．
二、讲授新课
1、余角与补角．
教师活动：指导学生阅读课本P142有关内容，并讲解余角与补角的定义．
注：讲解余角和补角时，必须向学生说明互余、互补是指两个角的数量关系，即∠1+∠2=90°或∠1+∠2=180°，同时强调∠1是∠2的余角（或补角），那么∠2也是∠1的余角（或补角）．
2、巩固反思．
（1）填空： 2
1
①47°18′的余角是______，补角是_______．
②∠α（0°<∠α<90°）的余角是______，∠β（0°<β<180°）的补角是_______．
（2）已知一个角是它补角的3倍，求这个角．
注：这两个例题讲解时，应通过师生互动的方法进行教学，在学生思考后再讲解．
（3）课本P143练习．
学生活动：独立完成，并由三个学生进行板书，•其余同学进行小组交流并进行小组评价．
教师活动：巡视学生完成练习的情况，并给予适当的评价．
3、余角与补角的性质．
（1）提出问题：
观察方格图，下图中∠1与∠3有什么关系？∠1与∠2，∠3与∠4有什么关系？
学生活动：观察图形，小组交流观察的结果：∠1=∠3，∠1+∠2=180°，∠3+•∠4=180°．
教师活动：移动图中各角，对学生观察的结果进行验证，进一步提出问题：∠2•与∠4有什么关系？
学生活动：观察思考后得出∠2=∠4．
（2）说明理由：
注：教学中，向学生说明，以上从观察图形得出的结论，还应从理论上说明其理由，并讲解课本例1．例1．如上图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
教师活动：指导学生分析题意，并写出说理过程，归纳性质．
学生活动：完成课本分析中的问题，并在教师指导下，用自己的语言描述余角、补角的性质．
板书：等角的补角相等．
师生互动：类比补角的性质，得出余角的性质．
板书：等角的余角相等．
三、巩固练习
1、如右图，∠EDC=∠CDF=90°，∠1=∠2．
（1）图中哪些角互为余角？哪些角互为补角？
（2）∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？
（3）∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？
学生活动：独立完成练习，并进行小组交流和自我评价．
教师活动：巡视学生完成练习情况，并进行个别指导，然后进行讲评．
2、认识方位角．
提出问题：课本P143例2．
如下图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，•在它北偏东40°，南偏西10°，西北（即北偏西45°）方向上分别发现了客轮B、货轮C和海岛D．仿照表示灯塔方位的方法，画出客轮B、货轮C和海岛D方向的射线．
注：讲解时应讲清楚方位角是以正北或正南方向的射线为一个角的始边，而表示物体运动的方向的射线是角的另一边．
学生活动：在教师指导下画出问题中的每一条射线．
3、知识拓展
提出问题：、小宁从A地向东北方向走62米到B地，再从B地向西走56米到C地，这时她离A•地多少米？在A地的北偏西多少度？画出图形（用1cm表示10m），然后用刻度尺和量角器进行测量．（精确到1m、1°）
学生活动：先进行小组讨论，然后独立完成，再进行小组交流和评价．
教师活动：指导学生画图和测量，并对学生完成的情况进行评价．
四、课堂小结
1、本节课学习了余角和补角，并通过简单的推理，得出余角和补角的性质．
2、了解方位角，学会确定物体运动的方向
五、作业布置
课本P145习题4．3第8、9、12、13题
七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．下列调查中，适合用抽样调查的是（ ）
A ．了解报考飞行员考生的视力
B ．旅客上飞机前的安检
C ．了解某班学生跳绳成绩
D ．了解全市中小学生每天的零花钱 【答案】D
【解析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【详解】解：A 、了解报考飞行员考生的视力是非常重要的事件，必须准确，故必须普查； B 、旅客上飞机前的安检是非常重要的事件，必须准确，故必须普查；
C 、了解某班学生跳绳成绩，人数不多，很容易调查，因而采用普查合适；
D 、了解全市中小学生每天的零花钱，数量较大，适合抽样调查．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了全面调查与抽样调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
2．如图，在平面直角坐标系上有点A(1，0)，点A 第一次跳动至点()111A -，，第二次点1A 跳动至点()221
A ，，第三次点2A 跳动至点()322A ，
-，第四次点3A 跳动至点()432A ，，……，依此规律跳动下去，则点2017A 与点2018A 之间的距离是（ ）
A ．2017
B ．2018
C ．2019
D ．2020
【答案】C 【解析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点A 2017与点A 2018的坐标，进而可求出点A 2017与点A 2018之间的距离．
【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
则第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009），
第2017次跳动至点A2017的坐标是（-1009，1009）．
∵点A2017与点A2018的纵坐标相等，
∴点A2017与点A2018之间的距离=1010-（-1009）=2019，
故选C．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．
3．北京世园会于2019年4月28日开幕，核心景观区以妫汭湖为中心．其中，“什锦花坊”集中展示海内外的特色花卉，呈现出百花齐放的美丽景象．园区内鲜花烂漫，空气中弥漫着各种花粉，有一种花粉的直径约为0.000035米，其中0.000035用科学记数法表示为（）
A．0.35×10﹣4B．3.5×10﹣5C．35×10﹣4D．3.5×10﹣6
【答案】B
【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000031＝3.1×10﹣1．
故选：B．
【点睛】
此题考查科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．刘刚同学买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用10元．设刘刚买的两种贺卡分别为x张、y张，则下面的方程组正确的是（）
A ．1028y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
B ．1
2
8210
x y x y ⎧
+=⎪⎨⎪+=⎩
C ．1028x y x y +=⎧⎨+=⎩
D ．8
210x y x y +=⎧⎨+=⎩
【答案】D
【解析】两个定量为：贺卡总张数和总钱数．
等量关系为：1元贺卡张数+2元贺卡张数＝8；1×1元贺卡张数+2×2元贺卡张数＝1．
【详解】解：根据题意列方程组，得8
210x y x y +=⎧⎨+=⎩．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组.
5．若a+b=5,ab=-3,则()2a b -的值为( )
A ．25
B ．19
C ．31
D ．37
【答案】D
【解析】分析：先根据完全平方公式得到原式=（a+b ）2-4ab ，然后利用整体代入的方法计算． 详解：原式=（a+b ）2-4ab ，
∵a+b=5，ab=-3，
∴原式=52-4×（-3）=1．
故选：D ．
点睛：本题考查了完全平方公式：（a±b ）2=a 2±2ab+b 2．也考查了整体思想的运用．
6．不等式2x+5＞4x －1的正整数解是（ ）．
A ．0，1，2
B ．1，2
C ．1，2，3
D ．0，1，2，3
【答案】B
【解析】试题分析：解不等式得，x ＜3，所以x 可取的正整数是1和1．
故选B ．
考点：一元一次不等式的解．
7．2019年7月某日，某市的最高气温是32℃最低气温是24℃，则当天该市气温t （℃）的变化范围是（ ） A ．t > 32 B ．t ≤ 24 C ．24 < t < 32 D ．24 ≤ t ≤ 32
【答案】D
【解析】根据最高气温和最低气温确定当天该市气温t（℃）的变化范围即可．【详解】∵某市的最高气温是32℃最低气温是24℃
∴当天该市气温t（℃）的变化范围是24 ≤ t ≤ 32
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了气温的变化问题，掌握最高气温和最低气温是解题的关键．
8．如果
2
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
是二元一次方程mx+y=3的一个解，则m的值是（）
A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】C
【解析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．
【详解】把
2
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
代入方程得：-2m+1=3，
解得：m=-1，
故选：C．
9．下列事件中，最适合采用全面调查的是（）
A．对全国中学生节水意识的调查
B．对某批次灯泡的使用寿命的调查
C．对某个班级全体学生出生日期的调查
D．对春节联欢晚会收视率的调查
【答案】C
【解析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【详解】A．对全国中学生节水意识的调查适合抽样调查，故此选项不符合题意；
B．对某批次灯泡的使用寿命的调查适合抽样调查，故此选项不符合题意；
C．对某个班级全体学生出生日期的调查适合普查，故此选项符合题意；
D．对春节联欢晚会收视率的调查，范围广适合抽样调查，故此选项不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确
度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
10．关于x 的分式方程
22433x a x x --=---有增根，则a 的值为（ ） A ．3
B ．17
C ．3-
D ．2 【答案】A
【解析】先去分母，化成整式方程，再根据增根为使得分母为0的值，将其代入变形后的整式方程即可解出a ． 【详解】解：22433x a x x
--=---， 224(3)x a x ∴-=---，
方程有增根，即3x =满足方程，
将3x =代入得232a -=-，解得3a =．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了分式方程增根的求法，属于基础题型，难度不大，熟知增根的概念是解题的关键．
二、填空题题
11．对于有理数x 、y ，定义新运算: x y a x b y =+☆☆，其中a 、b 是常数.已知12=1☆，()33=6-☆，则()25-☆的值是________.
【答案】－７
【解析】根据题中的新定义化简原式得到关于a 与b 的方程组，求出方程组的解得到a 与b 的值，即可确定出所求式子的值．
【详解】解：根据题意得：
21336a b a b +⎧⎨-+⎩
＝＝， 解得：a ＝−1，b ＝1，
则2☆（−5）＝−2−5＝−1．
故答案为：7-．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．如果关于x的不等式
15
3
2
22
3
x
x
x
x a
+
⎧
-
⎪⎪
⎨
+
⎪+
⎪⎩
＞
＜
只有4个整数解，那么a的取值范围是
________________________。

【答案】−5<a⩽−14 3
.
【解析】首先利用不等式的基本性质解不等式组，再从不等式的解集中找出适合条件的整数解，在确定字母的取值范围即可．
【详解】
15
3
2
22
3
x
x
x
x a
+
⎧
-
⎪⎪
⎨
+
⎪+
⎪⎩
＞①
＜②
，
由①得：x<21，
由②得：x>2−3a，
不等式组的解集为：2−3a<x<21
∵不等式组只有4个整数解为20、19、18、17 ∴16⩽2−3a<17
∴−5<a⩽−14 3
.
故答案为：−5<a⩽−14 3
.
【点睛】
此题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键在于掌握不等式组的运算法则.
13
_____．
【答案】
14．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC是三角形．
【答案】直角三角形
【解析】试题分析：由∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，可设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，根据三角形的内角和为180°，即可得到关于x的方程，解出即得结果．
设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+3x=180
解得x=30
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴△ABC 是直角三角形．
考点：本题考查的是三角形的内角和定理，直角三角形的判定
点评：通过三角形的内角和180°及内角之间的关系得到关于角的度数的方程是判断三角形形状的关键．
15．164-的立方根的平方的相反数是__________． 【答案】116- 【解析】先求164-的立方根是14
-，再求它的平方，最后求它的相反数． 【详解】解：164-的立方根是14-，14-的平方是116，116的相反数是116
-． 故答案为：116-． 【点睛】
本题主要考查了立方根、平方和相反数，解题的关键是运用立方根、平方和相反数的定义求值． 16．若（a+b ）2＝5，（a ﹣b ）2＝3，则a 2+b 2＝_____．
【答案】1
【解析】把已知条件的两式根据完全平方公式展开，然后相加即可．
【详解】解：∵（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2＝5①，
（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 2＝3②，
①+②，得2（a 2+b 2）＝8，
∴a 2+b 2＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式的运用，学生经常漏掉乘积二倍项而导致出错．
17．如图，//AD BC ，ABD ∆的面积等于2，1AD =，3BC =，则DBC ∆的面积是_______．
【答案】6
【解析】过D作DH⊥BC，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】过D作DH⊥BC，
∵AD∥BC，△ABD的面积等于2，AD=1，
∴DH=4，
∵BC=3，
∴△DBC的面积
1
436 2
=⨯⨯=，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，平行线间的距离．正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题
18．已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°（1）求证：AD∥FG；
（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）80°
【解析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；
（2）利用平行线的性质和判定解答即可．
【详解】（1）∵DE∥AC，
∴∠2＝∠DAC，
∵∠l+∠2＝180°，
∴∠1+∠DAC＝180°，
∴AD∥GF；
（2）∵ED∥AC，
∴∠EDB＝∠C＝40°，
∵ED平分∠ADB，
∴∠2＝∠EDB＝40°，
∴∠ADB＝80°，
∵AD∥FG，
∴∠BFG＝∠ADB＝80°.
【点睛】
此题考查三角形的内角和定理，关键是根据平行线的判定和性质解答．
19．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1.将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动,使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直.
(1)△BDF是什么三角形?请说明理由；
(2)设AD=x,CF=y,试求y与x之间的函数关系式;(不用写出自变量x的取值范围)
(3)当移动点D使EF∥AB时，求AD的长。

【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）y=x−1；（3）AD=6 5 .
【解析】（1）由已知可得∠FDB=60°，∠B=60°，从而可得到△BDF是等边三角形．
（2）由∠A=30°，∠ACB=90°可得AB=2BC=2，再将CF=y，BF=1-y，代入即可得出x，y的关系；
（3）当EF∥AB时，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°，CF=1
2
EF，EF=
1
2
DF，代入计算即可求得AD
的长．
【详解】(1)△BDF是等边三角形，证明如下：∵ED⊥AB,∠EDF=30°,∴∠FDB=60°，
∵∠A=30°,∠ACB=90°,∴∠B=60°，
∴∠DFB=60°，
∴△BDF是等边三角形。

(2)∵∠A=30°,∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2，
∵CF=y，
∴BF=1−y，又△BDF是等边三角形，
∴BD=BF=1−y，
∴x=2−(1−y)=1+y，
∴y=x−1；
(3)当EF∥AB时,∠CEF=30°,∠FED=∠EDA=90°，
∴CF=1
2
EF,EF=
1
2
DF，
∵DF=BF=1−y,
∴y=1
4
(1−y),
∴y=1
5
，
∴x=y+1=6
5
,即AD=
6
5
.
【点睛】
此题考查平行线的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题关键在于掌握各判定定理.
20．某公交公司决定更换节能环保的新型公交车.购买的数量和所需费用如下表所示：
()1求A型和B型公交车的单价；
()2该公司计划购买A型和B型两种公交车共10辆，已知每辆A型公交车年均载客量为60万人次，每辆B型公交车年均载客量为100万人次，若要确保这10辆公交车年均载客量总和不少于670万人次，则A型公交车最多可以购买多少辆？
【答案】（1）购买每辆A型公交车100万元，购买每辆B型公交车150万元；（2）A型公交车最多可以购买8辆．
【解析】分析：（1）根据“购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需450万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需650万元”列方程组求解可得；
（2）设购买A型公交车x辆，则购买B型公交车（10-x）辆，根据“这10辆公交车年均载客量总和不少于670万人次”求得x的范围即可．
详解：()1设A 型和B 型公交车的单价分别为a 万元，b 万元，根据题意，得：{
3a b 450
2a 3b 650+=+=，
解得：{
a 100
b 150==，
答：购买每辆A 型公交车100万元，购买每辆B 型公交车150万元；
()2设购买A 型公交车x 辆，则购买B 型公交车()10x -辆，
根据题意得：()60x 10010x 670+-≥， 解得：1x 8
4
≤， x 0>，且10x 0->， 1
0x 84
∴<<，
x ∴最大整数为8，
答：A 型公交车最多可以购买8辆．
点睛：本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系或不等式关系以列出方程组和不等式是解题的关键．
21．△ABC 在网格中的位置如图所示，请根据下列要求作图： （1）过点C 作AB 的平行线；
（2）过点A 作BC 的垂线段，垂足为D ；
（3）将△ABC 先向下平移3格，再向右平移2格得到△EFG （点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点G ）
【答案】 (1)见解析；(2)见解析；(3)见解析.
【解析】(1)平移AB ，使它经过点C ，则可得到直线l 满足条件； (2)利用网格特点作AD ⊥BC 于D ； (3)根据图形平移的性质画出△EFG 即可． 【详解】(1)如图，直线l 为所作； (2)如图，AD 为所作；
(3)如图，△EFG 为所作．
【点睛】
本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
22．已知: ,x y 满足345x y -=.
()1用含x 的代数式表示y ，结果为 ; ()2若y 满足12y -<≤，求x 的取值范围;
()3若,x y 满足2x y a +=，且2x y >，求a 的取值范围.
【答案】()3514x y -=
；（2）13
33
x <≤；（3）10a < 【解析】（1）首先移项，得出435y x =-，再化系数为1，得出35
4
x y -=； （2）根据（1）中的结果，列出不等式，即可求解；
（3）首先根据题意列出二元一次方程组，求出含有a 的解，再列出不等式，即可求出a 的取值范围.
【详解】解：()35
14
x y -=
； ()2根据题意，得： 35
124
x -<≤ 解得：13
33
x <≤；
()3根据题意，得，3452x y x y a -=⎧⎨
+=⎩解得2553510a x a y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
2,25352510
x y a a >+-∴>⨯
解得10a <. 【点睛】
此题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握即可解题.
23．在正方形ABCD 的外侧作等腰ABE ∆，已知EAB α∠=，连接ED 交等腰ABE ∆底边上的高AF 所在的直线于点G .
（1）如图1，若30α=，求AGD ∠的度数； （2）如图2，若90
180α<<，82BE =，14DE =，则此时AE 的长为 ．
【答案】（1）45AGD ∠=；（2）52.
【解析】（1）先求出EAD 120∠=︒，再根据等腰三角形的性质可得AED ADE 30∠∠==︒，由三线合一可求EAG 15∠=︒，然后根据三角形外角的性质求解即可；
（2）如图，过A 作AQ ⊥DE 于Q ，则∠AQP=90°，由AD=AE ，得到DQ=EQ ，∠AEQ=∠ADQ ，同理得到∠3=∠FAB ，根据外角的性质得到∠APQ=∠3-∠AEQ=∠3-∠ADQ ，等量代换得到∠2=∠3-∠AEP ，求得∠2=∠APQ=45°，进而可证∠FEP=∠APQ=45°，由勾股定理求出PE 的长，再根据勾股定理求出AE 的长即可.
【详解】解：（1）∵α30=,BAD 90∠=︒， ∴EAD 120∠=︒， ∵AE AD =，
∴AED ADE 30∠∠==︒， ∵AE=AB,AF ⊥BE, ∴1
EAG EAB 152
∠∠=
=︒，
∴AGD AEG EAG 45∠∠∠=+=；
（2）如图，过A 作AQ ⊥DE 于Q ，则∠AQP=90°， ∵AD=AE ，
∴DQ=EQ ，∠AEQ=∠ADQ ，EQ=1
2
DE=7, ∵AE=AB ，AF ⊥BE ， ∴∠3=∠FAB ，EF=
1
2
BE=42, ∵∠APQ=∠3-∠AEQ=∠3-∠ADQ ， ∵∠1+∠FAB=∠FAB+∠ABF=90°， ∴∠1=∠ABF=∠AEF ，
∴∠2=90°-∠1-∠ADP=90°-（90°-∠3）-∠AEP=∠3-∠AEP ， ∴∠2=∠APQ=45°，
∵∠1=∠AEF ，∠AEQ=∠ADQ ， ∴∠FEP=∠APQ=45°， ∴FP=EF=42, ∴PE=
()()
2
2
42428+=,
∴PQ=8-7=1,
∴AE=227152+=.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．已知如图，∠BCD ＝92°；∠A ＝27°，∠BED ＝44°． 求：(1)∠B 的度数． (2)∠BFD 的度数．
【答案】(1)∠B＝65°；(2)∠BFD＝109°．
【解析】（1）依据三角形外角性质，即可得到∠BCD＝∠A+∠B，即可得出∠B的度数．（2）依据三角形外角性质，即可得到∠BFD＝∠B+∠BED，即可得出∠BFD的度数．
【详解】(1)在△ABC中，
∵∠BCD＝∠A+∠B，∠BCD＝92°，∠A＝27°，
∴∠B＝∠BCD﹣∠A＝92°﹣27°＝65°．
(2)在△BEF中，
∵∠BFD＝∠B+∠BED，
∠BED＝44°，∠B＝65°，
∴∠BFD＝44°+65°＝109°．
【点睛】
本题主要考查了三角形外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
25．某电器超市销售每台进价为120元、170元的A，B两种型号的电风扇，如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入一进货成本）
销售时段销售数量
销售收入A种型号B种型号
第一周 6 5 2200元
第二周 4 10 3200元
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市再采购这两种型号的电风扇共130台，并且全部销售完，该超市能否实现这两批的总利润为8010元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A种型号的电风扇的销售单价为150元/台，B种型号的电风扇的销售单价为260元/台；（2）超市再采购A种型号电风扇89台、B种型号电风扇1台．
【解析】（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元/台，B种型号的电风扇的销售单价为y元/台，根据总价=单价×数量结合前两周的销售记录，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A种型号电风扇m台，则购进B种型号电风扇（130﹣m）台，根据利润=销售收入一进货成本，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元/台，B种型号的电风扇的销售单价为y元/台，
根据题意得：
652200 4103200 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
150
260 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：A种型号的电风扇的销售单价为150元/台，B种型号的电风扇的销售单价为260元/台．
（2）设购进A种型号电风扇m台，则购进B种型号电风扇（130﹣m）台，
根据题意得：2200+3200+150m+260（130﹣m）﹣120×（6+4+m）﹣170[5+10+（130﹣m）]=8010，
解得：m=89，
∴130﹣m=1．
答：超市再采购A种型号电风扇89台、B种型号电风扇1台．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．对于不等式组1561333(1)51
x x x x ⎧-≤-⎪⎨⎪-<-⎩，下列说法正确的是（ ）
A ．此不等式组的正整数解为1，2，3
B ．此不等式组的解集为716
x -<≤
C ．此不等式组有5个整数解
D ．此不等式组无解
【答案】A 【解析】解：1561333(1)51x x x x ⎧-≤-⎪⎨⎪-<-⎩
①②，解①得x≤72，解②得x ＞﹣1，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤72，所以不等式组的整数解为1，2，1．故选A ．
点睛：本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
2．下列运算，正确的是（ ）
A ．224a a a +=
B ．22a a -=-
C ．33212()a a a ⋅=
D ．835a a a ÷= 【答案】D
【解析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法，负整数指数幂进行计算即可．
【详解】A. 222a a 2a +=，故错误；
B. 2a -=21a
≠2a -，错误； C.()2339 a a a ⋅=，故错误；
D. 835a a a ÷=，正确；
故选D.
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键． 3
）
A ．整数
B ．分数
C ．有理数
D ．无理数
【答案】D 【解析】根据无理数的概念，即可做出选择.
【详解】解：根据无理数的定义，即可确定答案为：D
【点睛】
本题主要考查了实数的分类，无理数的定义是解答本题的关键.
4．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A 的质量m 克的取值范围表示在数轴上为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】根据天平知2＜A ＜3，然后观察数轴,只有C 符合题意，故选C
5．点P 在第三象限，点P 到x 轴的距离为5，到y 轴的距离是2，则点P 的坐标为（ ）
A ．()5,2-
B ．()2,5--
C ．()2,5
D ．()2,5-
【答案】B
【解析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x 轴的距离等于纵坐标的长度，到y 轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】解：∵点P 在第三象限，点P 到x 轴的距离是5，到y 轴的距离是2，
∴点P 的横坐标为-2，纵坐标为-5，
∴点P 的坐标为（-2，-5）．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记点到x 轴的距离等于纵坐标的长度，到y 轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
6．如图，已知BE ∥CF ，若要AB ∥CD ，则需使（ ）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠2=∠4
【答案】C
【解析】根据平行线的性质可得∠2=∠3，所以当∠1=∠4时可判定AB∥CD.
【详解】解：∵BE∥CF，
∴∠2=∠3，
当∠1=∠4时，∠1+∠2=∠3+∠4，即∠ABC=∠BCD，
∴AB∥CD，
故选：C.
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题关键.
7．若从长度分别为2cm、3cm、4cm、6cm的四根木棒中，任意选取三根首尾顺次相连搭成三角形，则搭成的不同三角形共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”组合三角形．
【详解】三角形三边可以为：①2cm、3cm、4cm；②3cm、4cm、6cm．
所以，可以围成的三角形共有2个．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
8．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A．(x＋3)(x－3)＝x2－9 B．x2－2x－1＝x(x－2)－1 C．8a2b3＝2a2·4b3D．x2－2x＋1＝(x－1)2
【答案】D
【解析】根据因式分解的意义，可得答案．
【详解】A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、是乘法交换律，故C不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式．
9．时钟显示为8：30时，时针与分针所夹的角是（）
A．90°B．120°C．75°D．84°
【答案】C
【解析】试题分析：根据题意可得：时针与分针所夹的角的度数=30×2.5=75°.
考点：时钟上的角度问题
10．若点P（a，b）在第三象限，则点Q（﹣a，b）一定在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】∵P(a，b)在第三象限，∴a＜0，b＜0，∴－a＞0，∴Q(－a，b)的横坐标为正，纵坐标为负，故点Q在第四象限．
二、填空题题
110
=_______________.
【答案】1；
【解析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
=
∴
20
40 x y
x
-=⎧
⎨
-=
⎩
解得：
4
2 x
y
=⎧
⎨
=⎩
故答案为：1.
【点睛】
本题考查非负数的性质：几个非负数的和为1时，这几个非负数都为1．
12．分解因式232a a a --=_________________；
【答案】()21a a --
【解析】先提取公因式-a ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：232a a a --
=()
221a a a --+
=()21a a --．
故答案为：()21a a --．
【点睛】
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．如图，在ABC ∆中，AB AC =，4BC =，将ABC ∆沿BC 方向平移得到DEF ∆，若6DE =，1EC =，则四边形ABFD 的周长为______.
【答案】22
【解析】根据“△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ”可知AB=AC=DE=DF=6，AD=BE=3，
BF=BE+EF=3+4=7，即可求得四边形ABFD 的周长.
【详解】解：∵△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ，DE ＝6，AB=AC ，
∴AB=AC=DE=DF=6，AD=BE ，BC=EF ，
∵BC ＝4，EC ＝1，
∴BE=BC-EC=3，
∴AD=BE=3，BF=BE+EF=3+4=7，
∴四边形ABFD 的周长为AD+AB+BF+DF=3+6
7+6=22.
故答案为22.
【点睛】
本题考查图形平移的性质，平移前后对应边互相平行，且长度相等；解题的关键是掌握平移的性质. 14．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，50B ∠=︒，点M 是线段AB 上的一个动点，连接CM ，当BCM ∠是_________度时，BCM ∆是等腰三角形．。