3.4.1三角函数的周期性课件-湘教版必修2

2π是正弦函数和余弦函数的周期.
问题2: 2kπ(k≠0且k∈Z) 是不是正弦 函数和余弦函数的周期?
2kπ(k≠0且k∈Z) 都是正弦函数 和余弦函数的周期.
若T为函数f(x)的周期,则kT(k≠0且 k∈Z) 都是函数f(x)的周期.
问题3: 一个周期函数的周期有多少个?
最小正周期
有无数个
对于一个周期函数f(x),如果在它所有 的周期中存在一个最小的正数，那么这
f
2(
x
T 2
)
f (2x),此时 T 才是 2
函数y f ( x)的周期.
(2)f
(
x)
2 sin
1 2
x
6
解:设f
(
x)
2 sin
1 2
x
6
的周期为T
.
f (x T) f (x)
2
sin
1 2
(
x
T
)
6
2 sin
1 2
x
6
2
sin
1 2
x
1 2
T
6
2
sin
1 2
x
6
☺判断下列说法是否正确
（1） x 定不是
y3时si，nsixn(的x 周23期)
sin
x
,则 2一
3
（√）
（2）x
7
6
时，sin( x
2
3
)
sin
x
,则
2
3
一定是 y sin x的周期
（×）
注意:在周期函数和周期定义中, 要特别注意“每一个x的值”.
问题1: 2π是不是正弦函数和余弦函 数的周期?
(2) f ( x) 2sin( 1 x ),
26 (3) f ( x) tan x,
(4) y sin x .
(1)f ( x) cos 2x 解:设f ( x) cos 2x的周期为T .
则 f (x T) f (x)
即 cos 2 x T cos 2x
cos 2x 2T cos 2x
三角函数的周期性
世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变 化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种 现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期 性是函数的一个重要性质.
诱导公式 : 对任意的x R,
sin(2 x) sin x, cos(2 x) cosx
若记f(x)=sinx,则对于任意实 数x,都有f(x+2∏)=f(x)
x
o
4π
在周期函数y f ( x)中,T是周期,若x是定
义域内的一个值,则x kT k Z 也
一定属于定义域,因此周期函数的定义域一 定是无限集,而且定义域一定是无界的.
应用解题
例1 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s) 之间的函数关系如图所示：
(1)求该函数的周期;
(2)求t=10s时钟摆的高度
由诱导公式(四)sin x sin x
T .
周期求法：
1.定义法：
2.公式法：
一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数， 且 A≠0, ω≠0 ）的周期是:
T 2 ( 0)
函数y=Atan(ωx+φ) (A≠0, ω≠0)周期 为 T
令u 2x，则
cos u 2T cos u
对任意实数u都成立，
又 y cos u的周期为2， 2T T 2 ,即T .
等式f ( x T ) f ( x),强调： 自变量x本身加的常数才是周期, 例如:f (2x T ) f (2x),T不是周期,而应写成
f (2x T)
周期为
2
3
，求正数 k的值。
例 3 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是 π，且当 x∈0，π2时，f(x)＝sin x，求 f 53π的值．
解 ∵f(x)的最小正周期是 π， ∴f 53π＝f 53π－2π＝f －π3 ∵f(x)是 R 上的偶函数，
∴f －π3＝f π3＝sin π3＝ 23.∴f 53π＝ 23. 小结 解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性， 把自变量 x 的值转化到可求值区间内．
＝f－11＋2＝f11＝－15.
1、 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非 零常数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时， 都有f(x)＝f(x+T)，那么函数f(x)就叫做周期 函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
2、周期函数的周期与函数的定义域有关，周 期函数不一定存在最小正周期.
3、函数y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数 y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中A,ω,Ψ为常数， 且A≠0,ω>0)的周期T=2π/ω.
∴函数 y＝f(x)是周期函数，且 2a 就是它的一个周期．
已知函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(1)＝－5，则 f(f(5))＝____－__15__.
f(x＋2)＝f1x，若
解析 由已知 f(x＋4)＝fx＋1 2＝f(x)
∴f(x)是周期为 4 的函数
∵f(5)＝f(1)＝－5，于是 f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)
跟踪训练 若 f(x)是以π2为周期的奇函数，且 f π3＝1，求 f －56π 的值．
解 f －56π＝f －56π＋π2＝f －π3＝－f π3＝－1.
问题 满足条件：f(x＋a)＝－f(x) (a 为常数且 a≠0)的函数 y＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是， 说明理由．
思考：如何用数学语言刻画函数的周期性？
定义：对于函数f(x)，如果存在一 个非——零—常—数——T，使得当x取定义域内 的 —每—一—个—值时，都有f(x)＝f(x+T)，那 么函数 f(x)就叫做周期函数，非—零——常—数—T 叫做这个函数的周期。
注意：
1.T必须是常数，且不为零
2.对周期函数来说f(x+T)=f(x)必须对定义域内的任意x都成立
y=Acos(ωx+φ),x∈R(其中A,ω, φ为常 数，且A≠0,ω ≠ T 2
(3)f ( x) tan x
解:设f ( x) tan x的周期为T .
f ( x T ) tan x T
tan x f ( x) 由诱导公式(四)知
tan x = tan x
1.求下列函数的最小正周期
练 习
(1)
f
(x)
sin(2
x
);
(2)
f
(x)
1
cos(
x );
5
2 32
(3) y 3sin x , x R; (4) y cos(2x ), x R;
4
3
(5) y 3 tan(1 x ), x R.
24
2. 若函数 f ( x) sin(kx 5 ) 的最小正
个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。
结论: 2π是正弦、余 弦函数的最小正周期.
说明:今后所说周期,如不作 特殊说明,均指最小正周期.
问题4: 是否每一个周期函数都有最
小正周期?
否
下面函数是周期函数吗？如果是周期
函数，你能找出最小正周期吗？
f (x) 5
常数函数没有最小正周期
思考
y=sinx(x∈[0,4π])是周期函数吗？ y
答 ∵f(x＋a)＝－f(x)， ∴∴ff((xx＋＋22aa))＝＝ff([x()x．＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝－[－f (x)]＝f(x)． ∴函数 y＝f(x)是周期函数，且 2a 就是它的一个周期．
问题 满足条件：f(x＋a)＝－f1x(a 为常数且 a≠0)的函数 y ＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是， 说明理由． 答 ∵f(x＋a)＝－f1x， ∴ ∴ff((xx＋＋22aa))＝＝ff([x()x．＋a)＋a]＝－fx＋1 a＝－－1f1x＝f(x)．
h 60
55
50 50
45
40
35
30
25
2020
15
10 10
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
o
12 3
t
解：(1)由图象可知，该函数的周期 为1.5s.
(2)设h=f(t)， 由函数的周期为 1.5s,可知f(10)=f(1+6×1.5)=f(1)=20,
故t=10s时钟摆的高度为20mm.
应用
例2.求下列函数的周期 (1) f ( x) cos 2x,
2
sin
1 2
x
6
1 2
T
2
sin
1 2
x
6
令u
1 2
x
6
, 则 sin
u
1 2
T
sin
u
由y sin u周期为2
T 2 , 即T 4 .
2
函数
周期
y=4cosx
2π
y=sin4x
π /2
1 y 3 sin 3 x 4 6π
2
1 2
4
2
1 3
结论:
函数y=Asin(ωx+φ),x∈R及函数
函数f ( x)的周期为T .
结论:
函数y=Atan(ωx+φ),x∈R(其中
A,ω, φ为常数，且A≠0,ω ≠ 0)的周
期为T=π/|ω|
(4)f ( x) sin x 解:(4)设f ( x) sin x 的周期为T .
f ( x T ) sin x T
sin x f ( x)