《精编》浙江省余杭高级中学高三数学第二次阶段性检测试题 理 新人教A版.doc

余杭高级中学2021届高三第二次阶段性检测数学(理科)试卷
考生须知:
1. 本卷总分值150分, 考试时间120分钟.
2. 答题前, 在答题卷密封区内填写、班级和姓名.
3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.
4. 考试结束, 只需上交答题卷.
选择题局部
一、选择题: 本大题共10小题, 每题5分,共50分．在每题给出的四个选项中, 只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．i z i -=⋅+)1(，那么复数z 对应的点位于复平面内的〔 ▲ 〕 A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．设集合{}
{}
1log ,0122
<=>-=x x B x x A ，那么B A 等于〔▲ 〕
A ．{|1}x x <-
B ．{}
20<<x x C ．{}21<<x x D ．{|11}x x x ><-或
3．如果对于任意实数x ，＜x ＞表示不小于x 的最小整数，例如＜1.1＞2=，＜ 1.1-＞
1=-，那么“||1x y -<〞是“x y <>=<>〞的 ( ▲ )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，那么8a 的值为〔 ▲ 〕
A ．15
B ． 16
C ．49
D ． 64
5．8月在北京召开了国际数学家大会, 会标如图示, 它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形, 假设直角三角形中较小的锐角为θ, 大正方形面积
是1, 小正方形面积是
25
1, 那么θθ2
2cos sin -的值是〔 ▲ 〕 A ．2524- B ．257- C ．2524 D ．25
7
6．非零向量a ，b 满足|a + b | =|a –b |=
23
3
|a |，那么a + b 与a –b 的夹角为〔 ▲ 〕 A ． 30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒
7．设函数2
)()(x x g x f +=，曲线)(x g y =在点))1(,1(g 处的切线方程为12+=x y ，那
么曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线的斜率为〔 ▲ 〕
A ． 4
B ． 41-
C ． 2
D ． 2
1- 8．函数)0,0,0)(cos()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 为奇函数，该函
数的局部图象如以下列图，EFG ∆是边长为2的等边三角形，那么)1(f 的
值为 ( ▲ )
A ．2
3-
B ．2
6
-
C ．3
D ． 3- 9．定义一种运算⎩⎨⎧>≤=⊗b
a b b a a b a ,,，令45)sin (cos )(2
⊗+=x x x f ，且]2,0[π∈x ，那么
函数)2
(π
-x f 的最大值是 〔 ▲ 〕
A ．45
B ． 4
5- C ． 1 D ． 1-
10．2*11()2,()(),()(())(2,)n n f x x x c f x f x f x f f x n n N -=-+==≥∈，假设函数
()n y f x x =-不存在零点，那么c 的取值范围是〔 ▲ 〕 A ．14c < B ．34c ≥ C ．94c > D ．9
4
c ≤
非选择题局部
二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．
11．向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，假设()a c -∥b ，那么k = ▲ ． 12．假设函数x x f x
2log 12)(-+=，那么)4(f = ▲ . 13．设)cos 1(22cos )(x x x f +-=的最小值为 ▲ ．
14．数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈那么=2012a ▲ ．
15．1tan()42π
α+=，且02π
α-<<，那么22sin sin 2cos()4
ααπα+=- ▲ ．
16．当一个非空数集F 满足条件“如果F b a ∈,，那么F b a b a b a ∈⋅-+,,，并且当0≠b 时，F b
a ∈〞时，我们就称F 为一个数域。

以下四个关于数域命题：①0是任何数域的元素；②假设数域F 中有非零元素，那么F ∈2011；③集合{}
Z k k x x p ∈==,3是一个数域；④有理数是一个数域。

其中正确命题的序号为 ▲ ． 17．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为
120． 如以下列图，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,那么x y +的最大值是 ▲ ．
三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解容许写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 18. 〔本小题总分值14分〕
在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，4
102sin =C 。

〔1〕求C cos 的值；
〔2〕假设ABC ∆的面积为
4
153，且C B A 22
2sin 1613sin sin =+，求c b a ,,的值。

19．〔本小题总分值14分〕
设首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，30,257=-=S a 。

〔1〕求1a 及d ；
〔2〕假设数列{}n b 满足)(32321*∈++++=N n n
nb b b b a n
n ，求数列{}n b 的通项公式。

20．〔本小题总分值14分〕
函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，当01≤<-x 时， x
e x
f -=)(；当10≤<x 时，
144)(2+-=x x x f 。

〔1〕求函数)(x f 的单调区间；
〔2〕假设)0()()(>-=k kx x f x g ，求函数)(x g 在]5,0[∈x 时的零点个数。

21．〔本小题总分值15分〕
向量b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos
2(令π
ππ。

〔1〕求当)3
2,2(π
π∈x 时函数)(x f 的值域； 〔2〕是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π假设存在，那么求出x 的值；假设不存在，那么证明之。

22．〔本小题总分值15分〕
设函数x b x x f ln )1()(2+-=，其中b 为常数。

〔1〕当1-=b 时，求函数)(x f 的单调区间；
〔2〕假设函数)(x f 有极值点，求b 的取值范围及)(x f 的极值点； 〔3〕证明：对任意不小于3的正整数n ，不等式n n n n 1ln )1ln(12
<-+<都成立。

余杭高级中学2021届高三第二次阶段性检测
数 学〔参考答案及评分标准〕
三、解答题
18．解：〔1〕 4
1
451)410(212sin 21cos 22
-=-=⨯-=-=C C ………… 6分
〔2〕 C B A 2
2
2
sin 1613sin sin =
+ ，由正弦定理可得：22216
13c b a =+
由〔1〕可知4
15
cos 1sin 0,4
1cos 2
=-=∴<<-=C C C C π …………8分 4
15
3sin 21=
=∆C ab S ABC
，得到6=ab 由
余
弦
定
理
C
ab b a c cos 2222-+=可得
316
132
2+=
c c 4,0,162=∴>=c c c ………12分
由⎩⎨⎧==+6
132
2
ab b a 可得⎩⎨⎧==23b a 或⎩⎨⎧==32b a ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧===423c b a 或⎪⎩
⎪⎨⎧===432
c b a …………14分
19．解：〔1〕因为{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列
⎩⎨⎧=+=-=+=30
105261517d a S d a a 解得⎩⎨
⎧-==210
1d a …………6分 〔2〕由题可知： n n na nb b b b =++++ 32132 ①
11321)1()1(32---=-++++n n a n b n b b b )2(≥n ②
① - ② 可得 1)1(---=n n n a n na nb )2(≥n …………9分 由〔1〕可知n a n 212-= …………11分
所以 )2(414)]1(212)[1()212(≥-=-----=n n
n
n n n n n b n (13)
分
1011==a b 符合，所以n
n
b n 414-=
…………14分 20. 解：
〔1〕由题可知⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<-=-1
0,1440
1,)(2x x x x e x f x
由)()1(x f x f -=+可知)()2(x f x f =+，即函数)(x f 是以2为最小正周期的周期函
数
由图可知，函数)(x f 的单调递减区间为)](2
1
2.12(Z k k k ∈+
-， 递增区间为)](12.2
1
2[Z k k k ∈++
…………6分
21．解：〔1〕)4
2tan()42tan()42sin(22cos 2)(π
ππ-+++⋅=⋅=x x x x b a x f
)4
sin(2cos sin 1)2cos 2(sin 2cos
2π
+=+=-+=x x x x x x ……… 5分 由)12
11,43(4),32,2(πππππ∈+∈x x ，所
以
)2
2
,426()4sin(-∈+πx ……………… 8分
所以函数)(x f 的值域为)1,2
1
3(- ……………… 10分
〔2〕0sin cos cos sin )()(=-++='+x x x x x f x f ， 即0cos =x ，],0[π∈x ，所以2
π
=
x 。

………… 13分
因为22ππ+≠k x ，且)(,2
32Z k k x ∈+
≠π
π ，所以x 不存在。

………… 15分 22
．
解
：〔
1
〕
当
1
-=b 时，函数
x
x x f ln )1()(2--=，
)0(2
1
221)1(2)(2>--=--='x x x x x x f
此时)(x f 有惟一极小值点2
3
12211+=
-+=b x ， ……………… 3分
那么当)231,0(+∈x 时，0)('<x f ，所以)(x f 在)2
3
1,0(+上为减函数， 当),231(+∞+∈x 时，0)('>x f ，所以)(x f 在),2
3
1(+∞+上为增函数。

……………… 5分
〔2〕由题意得，)(x f 的定义域为()∞+,0，x
b x x b x x f 21
)21(222)(2'-+-=+-=， …… 6分①当2
1>b 时，0)('
>x f ，函数)(x f 在定义域()∞+,0上单调递增。

此时函数)(x f 无
极值点；…7分
②当21=b 时，02)12()(2'
=-=
x x x f 有两个相同的解21=x ，但当⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈21,0x 时，0)('>x f ；
当⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+∈,21x 时，0)('
>x f ，所以当21=b 时，函数)(x f 在),1(∞+-上无极值点；……
8分 ③当21<
b 时，0)('
=x f 有两个不同解，2
211,221121b x b x -+=--=，
④当0≤b 时，),0(02
2111∞+∉≤--=
b
x ，舍去。

而),0(12
2112∞+∈≥-+=b
x ，此时，当),0(2x x ∈时，)(,0)('x f x f <单调递减，
当),(2∞+∈x x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增，
所以当0≤b 时)(x f 有惟一极小值点2
2112b
x -+=。

………………9分 当2
1
0<
<b 时，1021<<<x x ，此时，当),0(1x x ∈时0)('>x f ，)(x f 单调递增， 当),(21x x x ∈时， )(,0)('x f x f <单调递减，
当),(2∞+∈x x 时0)('>x f ，)(x f 单调递增，所以当2
1
0<
<b 时，
)(x f 有一个极大值点2
2111b
x --=
和一个极小值点
2
2112b
x -+=
……………10分 综上所述，当且仅当21
<b 时，)(x f 有极值点：当0≤b 时)(x f 有惟一
极小值点2
211b x -+=；
当210<
<b 时，)(x f 有一个极大值点2211b x --=和一个极小值点
2
211b
x -+=
……11分 解法二：〔Ⅰ〕由题意得，)(x f 的定义域为()∞+,0，
()()
/2()2200220b
f x x x b x x x x
=-+≥>⇔≥->
()2
112022b x x ⎛
⎫⇔≥--+> ⎪⎝
⎭ … 7分
如图作出函数()()2
112022g x x x ⎛
⎫=--+> ⎪⎝
⎭的图象，
当21<
b 时，由()g x b =可解得2
211,221121b
x b x -+=--= …………… 9分
由图象可知： 当210<
<b 时，)(x f 有一个极大值点2
211b
x --=和一个极小值点2
211b x -+=………
11分
〔3〕由〔1〕知1-=b 时，函数x x x f ln )1()(2
--=，)(x f 有惟一极小值点
2
3
12211+=-+=
b x ，
且)231,0(+∈x 时，0)('<x f ，所以)(x f 在)2
3
1,0(+上为减函数。

因为当3≥n 时，2
3
1341110+<≤+<<n ，所以恒有)11()1(n f f +>，……12分
即恒有)11ln(102n n +->。

所以当3≥n 时恒有21
ln )1ln(n
n n >-+成立。

……………
13分
令函数)0(ln )1()(>--=x x x x h ，那么x
x x x h 1
11)('
-=-
=， 所以当1>x 时，0)('>x h ，
又)(x h 在1=x 处连续，所以[)∞+∈,1x 时)(x h 为增函数。

…… 14分
因为当3≥n 时，n 111+<，所以)1()11(h n h >+，即0)1
1ln(1>+-n n ， 所以n n n n 1
)11ln(ln )1ln(<+=-+，
综上可知，当3≥n 时不等式n n n n
1
ln )1ln(12<-+<都成立 (15)
分。