市中学2014年高中数学 4.1.1 圆的标准方程教案 新人教A必修2

某某省德宏州某某市芒市中学2014年高中数学 圆的标准方程教案
新人教A 必修2
一、内容及解析
1、内容：运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用
2、解析：在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.
二、目标及解析
1、目标：
（1）使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径；
（2）会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力；
（3）理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等..
2、解析：
由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.
三、数学问题诊断分析
教科书在得到方程2
22)()(r b y a x =-+-之后，用“曲线与方程”的思想，解释了坐标满足方程的点一定在曲线上，对于这点部分学生可能难以理解。

四、教学支持条件
本节内容联系生活，应用广泛，数形结合，可以采取多样化的学生感兴趣的例子帮助学生分析掌握，若有条件可以利用多媒体教学。

五、教学过程设计
（一）教学基本流程
创设问题，引入新课
↓
新知探究
↓
例题讲解
↓
小结
（二）导入新课
同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.
（三）新知探究
问题1：已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?
问题2：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
问题3：图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
图1
问题4：我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?
问题5：如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?
问题6：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？
问题7：根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?
问题8：确定圆的方程的方法和步骤是什么?
问题9：坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?
师生活动：学生思考，回答。

教师总结后得出讨论结果：
1、根据两点之间的距离公式221221)()(y y x x -+-,得 |AB|=212)59()62(22=
++-, |CD|=22)8()3(++-y x .
2、平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).
3、圆心C 是定点,圆周上的点M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r ,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.
4、确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.
5、确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a ,b ),半径为r (其中a 、b 、r 都是常数,r ＞0).设M(x ,y )为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r },由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的 22)()(b y a x -+-=r .①
将上式两边平方得(x -a )2+(y -b )2=r 2
.
化简可得(x -a )2+(y -b )2=r 2.②
若点M(x ,y )在圆上,由上述讨论可知,点M 的坐标满足方程②,
反之若点M 的坐标满足方程②,这就说明点M 与圆心C 的距离为r ,
即点M 在圆心为C 的圆上.方程②就是圆心为C(a ,b ),半径长为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.
6、这是二元二次方程,展开后没有xy 项,括号内变数x ,y 的系数都是1.点(a ,b )、r 分
别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x 2+y 2=r 2.
7、圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2=r 2中,有三个参数a 、b 、r ,只要求出a 、b 、r 且r
＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
8、确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ,b )和半径r ,一般步骤为：
1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2=r 2；
2°根据已知条件,建立关于a 、b 、r 的方程组；
3°解方程组,求出a 、b 、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.
9、点M(x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的关系的判断方法：
当点M(x 0,y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标满足方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.
当点M(x 0,y 0)不在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标不满足方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.
用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:
1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外⇔(x 0-a )2+(y 0-b )2＞r 2,点在圆外;
2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上⇔(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2,点在圆上;
3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内⇔(x 0-a )2+(y 0-b )2＜r 2,点在圆内.
（四）应用示例
例1：写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M 1(5,-7),M 2(-5,-1)是否在这个圆上.
解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是
(x -2)2+(y +3)2=25,
把点M 1(5,-7),M 2(-5,,-1)分别代入方程(x -2)2+(y +3)2
=25, 则M 1的坐标满足方程,M 12的坐标不满足方程,M 2不在圆上
变式训练：写出下列各圆的标准方程：
（1）圆心在原点,半径是3；
（2）经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；
解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x -0)2+(y -0)2=32,即x 2+y 2=9.
(2)方法一:圆的半径r =|CP|=25)31()85(22=
++-=5, 因此所求圆的标准方程为(x -8)2+(y +3)2=25.
方法二:设圆的标准方程为(x -8)2+(y +3)2=r
2 因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r 2,r 2=25,
因此所求圆的标准方程为(x -8)2+(y +3)2=25.
点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.
例2：△ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程
师生活动：教师引导学生从圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2入手,要确定圆的标准方程,可用
待定系数法确定a 、b 、r 三个参数.另外可利用直线AB 与AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.
解:法一:设所求的圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆
上,
它们的坐标都满足方程(x -a )2+(y -b )2=r 2,于是
⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-)
3(.)8()2()2()3()7()1(,)1()5(222222222r b a r
b a r b a 解此方程组得⎪⎩
⎪⎨⎧=-==.5,3,2r b a 所以△ABC 的外接圆的方程为(x -2)2+(y +3)2=25.
法二:线段AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,
所以线段AB 的垂直平分线的方程为y +1=2
1(x -6).① 同理线段AC 的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,
所以线段AC 的垂直平分线的方程为y +3.5=3(x -3.5).②
解由①②组成的方程组得x =2,y =-3,
所以圆心坐标为(2,-3),半径r =22)31()25(++-=5,
所以△ABC 的外接圆的方程为(x -2)2+(y +3)2=25.
变式训练：已知△ABC 的三个顶点的坐标是A(4，0),B(0，3),C(0，0),求它的外接圆的方程 答案：2
22)25()23()2(=-+-y x
点评:△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心,它是△ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.
（五）小结
①圆的标准方程.
②点与圆的位置关系的判断方法.
③根据已知条件求圆的标准方程的方法.
④利用圆的平面几何的知识构建方程.
⑤直径端点是A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的圆的方程是(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0.
设计意图：回顾和总结本节课的主要内容。

六、目标检测
1、写出下列圆的标准方程：
（1）圆心在C （-3，4），半径长为5；
（2）圆心在C （8，-3），且经过点M （5，1）.
2、已知两点)3,6(),9,4(21P P ，求以线段21P P 为直径的圆的方程，并判断点M （6，9），N （3，3），Q （5，3）在圆上、在圆内、还是在圆外（可用计算器）？
设计意图：通过课本中的原型习题考察学生运用新知识来解决实际问题的掌握程度。

七、配餐作业
A 组
1、 平面内与的点的集合（轨迹）是圆，定点就是，定长就是；
2、已知圆的圆心为（b a ,），半径为r ，则圆的标准方程是；
3、已知圆的圆心为原点，半径为r ，则圆的标准方程是；
4、已知圆心为O （3，4），半径为5的圆的标准方程为；
设计意图：对课本中的习题作同等程度或降低程度的变式，考察学生对基础知识的掌握。

预计完成时间20分钟。

B 组
1、若一圆的标准方程为3)5()1(22=++-y x ，则此圆的圆心和半径为 （ ）
A.（-1，5），3
B.（1，-5），3
C.（-1，5），3
D.（1，-5），3
2、点)5,(2m P 与圆2422=+y x 的位置关系是 （ ）
A.在圆外
B.在圆上
C.在圆内
D.不确定
3、求适合下列条件的圆的方程：
（1）求经过两点A （-1，4），B （3，2）且圆心在y 轴上的圆的方程；
（2）求圆心在x 轴上，半径为5，且过点A （2，-3）的圆的标准方程。

4、圆心在直线y=-2x 上，且与直线y=1-x 相切于点（2，-1），求圆的方程。

设计意图：适当提高难度，考察学生的基本思维和数学思想方法。

预计完成时间20分钟。

C 组
1、圆心在点C （3，4），半径是5的圆的标准方程 （ ）
A.5)4()3(22=-+-y x
B.5)4()3(22=+++y x
C.5)4()3(22=-+-y x
D.5)4()3(22=+++y x
2、点（1，1）在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则a 的取值X 围是（ ）
A.11<<-a
B.10<<a
C.11>-<a a 或
D.1±=a
3、若实数x,y 满足1
2,122--=+x y y x 求的最小值。

4、求过A （1，-1），B （-1，1）且圆心在x+y-2=0上的圆的方程。

设计意图：使学生对函数的画法和对函数的运用有更深层次的理解，并会运用函数知识解决稍微复杂的问题。

预计完成时间15分钟。

教学反思：。