井冈山市第一中学八年级数学上册第二章实数1认识无理数教案新版北师大版2

第二章实数
1 认识无理数
【知识与技能】
1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的必要性.
2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数.
3.会判断一个数是有理数还是无理数.
【过程与方法】
让学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和合作精神，通过辨别一个数是有理数还是无理数，训练大家的思维判断能力.
【情感态度】
1.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神.
2.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.
【教学重点】
1.无理数的探索过程.
2.了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.
【教学难点】
把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
一、创设情境，导入新课
同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？
在小学我们学过自然数、小数、分数.
在初一我们还学过负数.
对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.
【教学说明】随着学习的深入，知识层次的提高，有理数的范围不能适应现代生活的需要，这就要对数进行扩充，为学生学习新知识作准备.
二、思考探究，获取新知
无理数的概念
拼一拼：
请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？
【教学说明】通过小组合作交流，动手操作得到一个大的正方形，学生非常高兴地投入到活动中，调动了学生的积极性.
同学们展示，拼图的结果.
下面大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？
【教学说明】探索拼图的过程，对于学生理解大正方形的边长是a是不是有理数很有帮助.
【归纳结论】因为12=1，22=4，32=9，……整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数，又(1/2)2=1/4，
(1/3)2=1/9，(2/3)2=4/9，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.
做一做：
大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.
【教学说明】结合图形，让学生进一步理解面积为2的正方形边长不是有理数，而是一种新数.
同学们能不能确定一下面积为2的正方形的边长为a的大致范围呢？
请大家用计算器探索，用表格的形式整理如下.
还可以进行下去吗？a是有限小数吗？
【教学说明】教师引导学生探索，让学生对这种不是有理数的新数有了初步的认识，为下面引出无理数的概念打下了基础.
【归纳结论】像这种无限不循环小数就叫做无理数.
如：圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1）也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.而3，45，0.38，.，它们都能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理数.
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三、运用新知，深化理解
1.判断题
（1）有理数与无理数的差都是有理数.
（2）无限小数都是无理数.
（3）无理数都是无限小数.
（4）两个无理数的和不一定是无理数.
2.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.351，-23，4.9·6·，3.14159，-5.2323332……（由相继的正整数组成）.
在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.
【教学说明】学生自主完成，加深了对无理数的理解以及有理数与无理数的区别所在，让学生的疑难及时得到矫正与强化.
【答案】1.（1）；（2）；（3）√；（4）√；
.，3.14159；-5.2323332……（由相继的正整数组成）.
2. 0.351，-2/3，496
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你是如何判断一个数是有理数还是无理数？还有哪些困难？
【教学说明】引导学生寻找知识点间的区别和联系，加深对易错点的理解，有助于学生正确解题.
2.完成练习册中本课时相应练习.
检测内容：期中检测
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(毕节中考)在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是(C)
A．2 cm，3 cm，4 cm B．3 cm，6 cm，6 cm
C．2 cm，2 cm，6 cm D．5 cm，6 cm，7 cm
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，P是边AB上的一个动点(不与顶点A重合)，则∠BPC的值可能是(B)
A．135° B．85° C．50° D．40°
第2题图第3题图第5题图
第6题图
3．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的是(D)
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝OD C．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD
4．(贵港中考)若点A(1＋m，1－n)与点B(－3，2)关于y轴对称，则m＋n的值是(D) A．－5 B．－3 C．3 D．1
5．将五边形纸片ABCDE按如图方式折叠，折痕为AF，点E，D分别落在E′，D′点．已知∠AFC＝76°，则∠CFD′等于(C)
A．15° B．25° C．28° D．31°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D)
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是(A)
A．1 B．2 C．3 D．4
第7题图 第8题图 第10题图
8．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF .若∠A ＝60°，∠ACF ＝48°，则∠ABC 的度数为(A )
A ．48°
B ．36°
C ．30°
D ．24°
9．在△ABC 中，高AD 和BE 所在的直线交于点H ，且BH ＝AC ，则∠ABC 等于(C )
A ．45°
B ．120°
C ．45°或135°
D ．45°或120°
10．如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线分别交AC ，AD 于E ，F 两点， M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接DM ，NE .下列结论：①AE ＝AF ；②AM ⊥EF ；③△AEF 是等边三角形，④DF ＝DN ，⑤AD ∥NE .其中正确的结论有(D )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(资阳中考)如图，AC 是正五边形ABCDE 的一条对角线，则∠ACB ＝__36°__．
第11题图 第12题图 第14题图
12．如图，BC ⊥ED ，垂足为M ，∠A ＝35°，∠D ＝25°，则∠ABC ＝__30°__．
13．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征
值”，记作K .若K ＝12
，则该等腰三角形的顶角度数为__36°__． 14．(镇江中考)如图，直线a ∥b ，△ABC 的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D .若△BCD 是等边三角形，∠A ＝20°，则∠1＝40°.
15．(永州中考)已知∠AOB ＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D 为OC 上一点，过点D 作直线DE ⊥OA ，垂足为E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若DE ＝2，则DF ＝4．
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
16．如图，在△ABC 中，点D 为BC 边的中点，点E 为AC 上一点，将∠C 沿DE 翻折，使点C 落在AB 上的点F 处，若∠AEF ＝50°，则∠A 的度数为__65°__．
17．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，若AB ＝18，AC ＝12，△ABC 的面积等于36，则DE ＝__12
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__．
18．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，下面四个结论：①∠AFE ＝∠AEF ；②AD 垂直平分EF ；③S △BFD S △CED ＝BF CE ；④EF 一定平行于BC .其中正确的有①②③(填序号).
三、解答题(共66分)
19．(6分)(宜昌中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E .
(1)求∠CBE 的度数；
(2)过点D 作DF ∥BE ，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．
解：(1)∵∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝90°－∠A ＝50°，
∴∠CBD ＝130°.∵BE 是∠CBD 的平分线，∴∠CBE ＝12
∠CBD ＝65° (2)∵∠ACB ＝90°，∠CBE ＝65°，∴∠CEB ＝90°－65°＝25°.∵DF ∥BE ，∴∠F ＝∠CEB ＝25°
20．(6分)在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点均在格点上，点A 的坐标是(－3，－1).
(1)将△ABC 沿y 轴正方向平移3个单位长度得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标；
(2)画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标．
解：(1)点B 1的坐标为(－2，－1)，图略
(2)点C 2的坐标为(1，1)，图略
21．(8分)(温州中考)如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作CF ∥AB 交ED 的延长线于点F .
(1)求证：△BDE ≌△CDF ；
(2)当AD ⊥BC ，AE ＝1，CF ＝2时，求AC 的长．
解：(1)证明：∵CF ∥AB ，∴∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F ，
∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，∴△BDE ≌△CDF (AAS)
(2)∵△BDE ≌△CDF ，∴BE ＝CF ＝2，∴AB ＝AE ＋BE ＝1＋2＝3，
∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴AC ＝AB ＝3
22．(10分)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥AB 于点E ，AD ＝AC ，AF 平分∠CAB 交CE 于点F ，DF 的延长线交AC 于点G .
求证：(1)DF ∥BC ；(2)FG ＝FE .
证明：(1)∵AF 平分∠CAB，
∴∠CAF ＝∠DAF.
在△ACF 和△ADF 中，
∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，∠CAF ＝∠DAF，AF ＝AF ，
∴△ACF ≌△ADF(SAS ).∴∠ACF＝∠ADF.
∵∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，∴∠ACE ＋∠CAE＝90°，∠CAE ＋∠B＝90°.
∴∠ACF ＝∠B，∴∠ADF ＝∠B.∴DF∥BC
(2)∵DF∥BC，BC ⊥AC ，∴FG ⊥AC.
∵FE ⊥AB ，又AF 平分∠CAB，∴FG ＝FE
23．(10分)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AB 的中点，连接DE 并延长，交CB 的延长线于点F ，点G 在边BC 上，且∠GDF ＝∠ADF .
(1)求证：△ADE ≌△BFE ；
(2)连接EG ，判断EG 与DF 的位置关系并说明理由．
解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADE ＝∠BFE.∵点E 为AB 的中点，∴AE ＝BE.在△ADE
和△BFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE＝∠BFE，∠AED ＝∠BEF，AE ＝BE ，
∴△ADE ≌△BFE(AAS)
(2)EG 与DF 的位置关系是EG 垂直平分DF.理由：∵∠GDF ＝∠ADE ，∠ADE ＝∠BFE，∴∠GDF ＝∠BFE.∴FG＝DG.∴△FGD 为等腰三角形．由(1)中△ADE≌△BFE 得DE ＝FE ，即GE 为DF 上的中线，∴GE 垂直平分DF
24．(12分)如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB ＝100°，∠BOC ＝α.以OC 为一边作等边三角形OCD ，连接AD .
(1)当α＝150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；
(2)探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？
解：(1)∵△OCD 是等边三角形，∴OC ＝CD .
∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC .∵∠ACB ＝∠OCD ＝60°，∴∠BCO ＝∠ACD ，在
△BOC 与△ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝CD ，∠BCO ＝∠ACD ，BC ＝AC ，
∴△BOC ≌△ADC ，∴∠BOC ＝∠ADC ，而∠BOC ＝α＝150°，∠ODC ＝60°，∴∠ADO ＝150°－60°＝90°，∴△ADO 是直角三角形
(2)∠AOD ＝360°－∠AOB －∠α－∠COD ＝360°－100°－∠α－60°＝200°－∠α，
∠ADO ＝∠ADC －∠CDO ＝∠α－60°，
∠OAD ＝180°－∠ADO －∠AOD ＝180°－(∠α－60°)－(200°－∠α)＝40°. 若∠ADO ＝∠AOD ，即∠α－60°＝200°－∠α，解得∠α＝130°；
若∠ADO ＝∠OAD ，则∠α－60°＝40°，解得∠α＝100°；
若∠OAD ＝∠AOD ，即40°＝200°－∠α，解得∠α＝160°.
即当α为130°或100°或160°时，△AOD 是等腰三角形
25．(14分)已知在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED ＝EC .
(1)【特殊情况，探索结论】
如图①，当点E 为AB 的中点时，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE __＝__DB (填“＞”“＜”或“＝”)；
(2)【特例启发，解答题目】
如图②，当点E 为AB 边上任意一点时，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE __＝__DB (填“＞”“＜”或“＝”)，并给出证明；
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在线段CB 的延长线上，且ED ＝EC ，若△ABC 的边长为1，AE ＝2，求CD 的长．
解：(2)AE ＝DB .证明：过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，
∵△ABC 为等边三角形，∴△AEF 为等边三角形，∴AE ＝EF ，BE ＝CF .
∵ED ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD .∵∠DEB ＝60°－∠D ，∠ECF ＝60°－∠ECD ，∴∠DEB ＝
∠ECF ，在△DBE 和△EFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝CE ，∠DEB ＝∠ECF ，BE ＝FC ，
∴△DBE ≌△EFC (SAS)，∴DB ＝EF ，∴AE
＝DB
(3)如图所示，点E 在AB 延长线上时，过点E 作EF ∥BC ，交AC 的延长线于点F ，同(2)仍可证得△DBE ≌△EFC ，∴DB ＝EF ＝2，BC ＝1，
则CD ＝BC ＋DB ＝3
第十四章：勾股定理
知识点内容备注
平方根概念:如果一个数的平方等于a，
那么这个数叫做a的平方根
算术平方根：正数a的正的平方
根
记作：
性质：正数有两个平方根，它们
互为相反数，0的平方根是0，负
数没有平方根
考点：
（a的取值范围a）
②()
③(a的取值范围为任意实
数)
④=
例：=（）
=5
⑤=a(a为任意实数)
例：=2, =—2
立方根概念：如果一个数的立方等于a,
那么这个数叫做a的立方根
性质：任何实数的立方根只有一
个，正数的立方根是正数，负数
的立方根是负数，0的立方根是0
11。