2021-2022学年杭州市萧山区重点达标名校中考数学全真模拟试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．关于x 的不等式组24351x x -<⎧⎨-<⎩
的所有整数解是（ ） A ．0，1 B ．﹣1，0，1 C ．0，1，2 D ．﹣2，0，1，2
2．如图，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 的边OA 在x 轴正半轴上，BC ∥x 轴，∠OAB ＝90°，点C （3，2），连接OC ．以OC 为对称轴将OA 翻折到OA ′，反比例函数y ＝k x 的图象恰好经过点A ′、B ，则k 的值是（ ）
A ．9
B ．133
C ．16915
D ．33
3．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0
B ．﹣2b a
=1 C ．a+b+c ＜0
D ．关于x 的方程ax 2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根
4．在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示．对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（ ）
A ．众数是90
B ．中位数是90
C ．平均数是90
D ．极差是15
5．1cm 2的电子屏上约有细菌135000个，135000用科学记数法表示为（ ）
A ．0.135×106
B ．1.35×105
C ．13.5×104
D ．135×103
6．计算232332x y x y xy ⋅÷的结果是（ ）．
A ．55x
B ．46x
C ．56x
D ．46x y 7．已知反比例函数y=8k x -的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞8 B ．k≥8 C ．k≤8 D ．k ＜8
8．要整齐地栽一行树，只要确定两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是（ ）
A ．两点之间的所有连线中，线段最短
B ．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
C ．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D ．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
9．一次函数y=ax+b 与反比例函数a b y x
-=，其中ab ＜0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ） A ． B ． C ．
D ．
10．全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A ．0.7×10﹣8
B ．7×10﹣8
C ．7×10﹣9
D ．7×10﹣10
11．已知二次函数y=-x2-4x-5，左、右平移该抛物线，顶点恰好落在正比例函数y=-x的图象上，则平移后的抛物线解析式为（）
A．y=-x2-4x-1 B．y=-x2-4x-2 C．y=-x2+2x-1 D．y=-x2+2x-2
12．(3分)如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是()
A．210B．41C．52D．51
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．含45°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中A(-2，0)，B(0，1)，则直线BC的解析式为______．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC的中点，点E在BA的延长线上，连接ED，若AE=2，则DE的长为_____．
15．若式子x1
x
有意义，则x的取值范围是．
16．据媒体报道，我国研制的“察打一体”无人机的速度极快，经测试最高速度可达204000米/分，将204000这个数用科学记数法表示为_____．
17．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为．
18．菱形ABCD 中，060A ，其周长为32，则菱形面积为____________.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC 是可以伸缩的起重臂，其转动点A 离地面BD 的高度AH 为3.4m ．当起重臂AC 长度为9m ，张角∠HAC 为118°时，求操作平台C 离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
20．（6分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查(每名学生必须选择且只能选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
请你根据图中信息，回答下列问题：
(1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
(3)九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？
21．（6分）某商店销售A 型和B 型两种电脑，其中A 型电脑每台的利润为400元，B 型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元．求y 关于x 的函数关系式；该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调a （0＜a ＜200）元，且限定商店最多购进A 型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
22．（8分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝10°，△CDE 是等边三角形，点D 在边AB 上．
（1）如图1，当点E 在边BC 上时，求证DE ＝EB ；
（2）如图2，当点E 在△ABC 内部时，猜想ED 和EB 数量关系，并加以证明；
（1）如图1，当点E 在△ABC 外部时，EH ⊥AB 于点H ，过点E 作GE ∥AB ，交线段AC 的延长线于点G ，
AG ＝5CG ，BH ＝1．求CG 的长．
23．（8分）已知抛物线y =x 2+bx +c （b ，c 是常数）与x 轴相交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）当A （﹣1，0），C （0，﹣3）时，求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P （m ，t ）为抛物线上的一个动点．
①当点P 关于原点的对称点P ′落在直线BC 上时，求m 的值；
②当点P 关于原点的对称点P ′落在第一象限内，P ′A 2取得最小值时，求m 的值及这个最小值．
24．（10分）如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．
25．（10分）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A 处测得雕塑顶端点C′的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B 处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）
26．（12分）如图，已知点C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，过点B 作⊙O 的切线交直线AC 于点D ，点E 为CH 的中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交AB 的延长线于G ．
（1）求证：AE•FD=AF•EC ；
（2）求证：FC=FB ；
（3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径r 的长．
27．（12分）如图,已知二次函数2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点,A 在B 左侧,点C 是点A 下方,且AC ⊥x 轴.
(1)已知A(－3，0),B(－1，0),AC=OA ．
①求抛物线解析式和直线OC 的解析式；
②点P 从O 出发,以每秒2个单位的速度沿x 轴负半轴方向运动,Q 从O 出发,以每秒2个单位的速度沿OC 方向运动,运动时间为t.直线PQ 与抛物线的一个交点记为M,当2PM=QM 时,求t 的值(直接写出结果,不需要写过程)
(2)过C 作直线EF 与抛物线交于E 、F 两点(E 、F 在x 轴下方),过E 作EG ⊥x 轴于G ,连CG ,BF,求证：CG ∥BF
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、B
【解析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，据此即可得出答案．
【详解】
解不等式﹣2x ＜4，得：x ＞﹣2，
解不等式3x ﹣5＜1，得：x ＜2，
则不等式组的解集为﹣2＜x ＜2，
所以不等式组的整数解为﹣1、0、1，
故选：B ．
【点睛】
考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2、C
【解析】
设B （2k ，2），由翻折知OC 垂直平分AA′，A′G ＝2EF ，AG ＝2AF ，由勾股定理得OC ＝13，根据相似三角形或锐角三角函数可求得A′（526，613），根据反比例函数性质k ＝xy 建立方程求k ． 【详解】
如图，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过点A′作A′G ⊥x 轴于G ，连接AA′交射线OC 于E ，过E 作EF ⊥x 轴于F ，
设B （2
k ，2）， 在Rt △OCD 中，OD ＝3，CD ＝2，∠ODC ＝90°，
∴OC
=
由翻折得，AA′⊥OC ，A′E ＝AE ，
∴sin ∠COD ＝
AE CD OA OC
=， ∴AE
＝2k CD OA OC ⨯⋅==，
∵∠OAE+∠AOE ＝90°，∠OCD+∠AOE ＝90°，
∴∠OAE ＝∠OCD ，
∴sin ∠OAE ＝EF OD AE OC
=＝sin ∠OCD ， ∴EF
＝313OD AE k OC ⋅==， ∵cos ∠OAE ＝AF CD AE OC
=＝cos ∠OCD ，
∴213CD AF AE k OC =⋅=， ∵EF ⊥x 轴，A′G ⊥x 轴，
∴EF ∥A′G ， ∴
12
EF AF AE A G AG AA ===''， ∴6213A G EF k '==，4213
AG AF k ==， ∴14521326
OG OA AG k k k =-=-=， ∴A′（526
k ，613k ）， ∴562613k k k ⋅=， ∵k≠0， ∴169=15
k ， 故选C ．
【点睛】
本题是反比例函数综合题，常作为考试题中选择题压轴题，考查了反比例函数点的坐标特征、相似三角形、翻折等，
解题关键是通过设点B 的坐标，表示出点A′的坐标．
3、D
【解析】
试题分析：根据图像可得：a ＜0，b ＞0，c ＜0，则A 错误；12b a
->，则B 错误；当x=1时，y=0，即a+b+c=0，则C 错误；当y=－1时有两个交点，即2ax bx c 1++=-有两个不相等的实数根，则正确，故选D ．
4、C
【解析】
由统计图中提供的数据，根据众数、中位数、平均数、极差的定义分别列出算式，求出答案：
【详解】
解：∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；
∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（90+90）÷2=90；
∵平均数是（80×1+85×2+90×5+95×2）÷10=89；
极差是：95﹣80=1．
∴错误的是C ．故选C ．
5、B
【解析】
根据科学记数法的表示形式（a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数）．
【详解】
解：135000用科学记数法表示为：1.35×
1． 故选B ．
【点睛】
科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
6、D
【解析】
根据同底数幂的乘除法运算进行计算.
【详解】
3x 2y 2⋅x 3y 2÷xy 3＝6x 5y 4÷xy 3＝6x 4y.故答案选D.
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘除运算，解题的关键是知道：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
7、A
【解析】
本题考查反比例函数的图象和性质，由k-8＞0即可解得答案．
【详解】
∵反比例函数y=
8
k
x
-
的图象位于第一、第三象限，
∴k-8＞0，
解得k＞8，
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．8、B
【解析】
本题要根据过平面上的两点有且只有一条直线的性质解答．
【详解】
根据两点确定一条直线．
故选：B．
【点睛】
本题考查了“两点确定一条直线”的公理，难度适中．
9、C
【解析】
根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．
【详解】
A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y=a b
x
-
的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，满足ab<0，
∴a−b<0，
∴反比例函数y=a b
x
-
的图象过二、四象限，
所以此选项不正确；
C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y=a b
x
-
的图象过一、三象限，
所以此选项正确；
D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab>0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；
故选C.
【点睛】
此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a、b的大小
10、C
【解析】
本题根据科学记数法进行计算.
【详解】
因为科学记数法的标准形式为a×10n(1≤|a|≤10且n为整数),因此0.000000007用科学记数法法可表示为7×9
10﹣，
故选C.
【点睛】
本题主要考察了科学记数法，熟练掌握科学记数法是本题解题的关键.
11、D
【解析】
把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数y=﹣x的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，而平移时，顶点的纵坐标不变，即可求得函数解析式．
【详解】
解：∵y=﹣x1﹣4x﹣5=﹣（x+1）1﹣1，∴顶点坐标是（﹣1，﹣1）．
由题知：把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数y=﹣x的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数．
∵左、右平移时，顶点的纵坐标不变，∴平移后的顶点坐标为（1，﹣1），∴函数解析式是：y=﹣（x－1）1－1=﹣x1+1x ﹣1，即：y=﹣x1+1x﹣1．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律，上下平移时，点的横坐标不变；左右平移时，点的纵坐标不变．同时考查了二次函数的性质，正比例函数y=﹣x的图象上点的坐标特征．
12、B
【解析】
根据三角形数列的特点，归纳出每一行第一个数的通用公式，即可求出第9行从左至右第5个数.
【详解】
根据三角形数列的特点，归纳出每n9行从左至右第5个数是
故选B
【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，根据每一行第一个数的取值规律，利用累加法求出第9行第五个数的数值是解决本题的关键，考查学生的推理能力．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、
1
1
3
y x
=-+
【解析】
过C作CD⊥x轴于点D，则可证得△AOB≌△CDA，可求得CD和OD的长，可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式．
【详解】
如图，过C作CD⊥x轴于点D．
∵∠CAB=90°，∴∠DAC+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAC=∠ABO．
在△AOB和△CDA中，∵
ABO CAD
AOB CDA
AB AC
∠∠
∠∠
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，∴△AOB≌△CDA（AAS）．
∵A（﹣2，0），B（0，1），∴AD=BO=1，CD=AO=2，∴C（﹣3，2），设直线BC解析式为y=kx+b，∴
32
1
k b
b
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得：
1
3
1
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，∴直线BC解析式为y
1
3
=-x+1．
故答案为y
1
3
=-x+1．
【点睛】
本题考查了待定系数法及全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求得C点坐标是解题的关键．
14、25
【解析】
过点E作EF⊥BC于F，根据已知条件得到△BEF是等腰直角三角形，求得BE＝AB＋AE＝6，根据勾股定理得到BF＝EF＝32，求得DF＝BF−BD＝2，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：过点E作EF⊥BC于F，
∴∠BFE＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝2
∴△BEF是等腰直角三角形，
∵BE＝AB＋AE＝6，
∴BF ＝EF ＝，
∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝
∴DF ＝，
∴DE ＝
故答案为
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
15、x 1≥-且x 0≠
【解析】
∵式子x
在实数范围内有意义， ∴x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥-1且x≠0.
故答案为x≥-1且x≠0.
16、2.04×
1 【解析】
科学记数法的表示形式为a ×
10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n 是非负数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【详解】
解：204000用科学记数法表示2.04×
1． 故答案为2.04×
1． 点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×
10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
17、1．
【解析】
试题分析：如图，当AB=AD 时，满足△PBC 是等腰三角形的点P 有且只有3个，△P 1BC ，△P 2BC 是等腰直角三角形，△P 3BC 是等腰直角三角形（P 3B=P 3C ），则AB=AD=1，故答案为1．
考点：矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；分类讨论．
18、323
【解析】
分析：根据菱形的性质易得AB=BC=CD=DA=8，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，再判定△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=BD=8，从而得OB=4，在Rt△AOB中，根据勾股定理可得OA=43，继而求得
AC=2AO=83，再由菱形的面积公式即可求得菱形ABCD的面积.
详解：∵菱形ABCD中，其周长为32，
∴AB=BC=CD=DA=8，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵0
60
A
∠=，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=8，
∴OB=4,
在Rt△AOB中，OB=4，AB=8，
根据勾股定理可得OA=43，
∴AC=2AO=83，
∴菱形ABCD的面积为：11
838
22
AC BD
⋅=⨯⨯=323.
点睛：本题考查了菱形性质:1.菱形的四个边都相等；2.菱形对角线相互垂直平分，并且每一组对角线平分一组对角；
3.菱形面积公式=对角线乘积的一半.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、操作平台C离地面的高度为7.6m．
【解析】
分析：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可．
详解：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，
易得四边形AHEF为矩形，
∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，
∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=118°-90°=28°，
在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=CF AC
，
∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，
∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），
答：操作平台C离地面的高度为7.6m．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算．
20、（1）共调查了50名学生；统计图见解析；（2）72°；（3）.
【解析】
（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数,先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图；
（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：(1)14÷28%＝50，
∴本次共调查了50名学生．
补全条形统计图如下．
(2)在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝72°.
(3)设一班2名学生为数字“1”，“1”，二班2名学生为数字“2”，“2”，画树状图如下．
共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，
∴抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率P＝＝.
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21、(1) =﹣100x+50000；(2) 该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；
(3)见解析.
【解析】
【分析】（1）根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；
（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；
（3）据题意得y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，②a=100时，y=50000，③当100＜m＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【详解】（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；
（2）∵100﹣x≤2x，
∴x≥100
3
，
∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正数，
∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，
331
3
≤x≤60，
①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②a=100时，a﹣100=0，y=50000，
即商店购进A型电脑数量满足331
3
≤x≤60的整数时，均获得最大利润；
③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y取得最大值．
即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【点睛】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，弄清题意，找出题中的数量关系列出函数关系式、找出不等关系列出不等式是解题的关键.
22、（1）证明见解析；（2）ED=EB，证明见解析；（1）CG=2．
【解析】
(1)、根据等边三角形的性质得出∠CED=60°，从而得出∠EDB=10°，从而得出DE=BE；
(2)、取AB的中点O，连接CO、EO，根据△ACO和△CDE为等边三角形，从而得出△ACD和△OCE全等，然后得出△COE和△BOE全等，从而得出答案；
(1)、取AB的中点O，连接CO、EO、EB，根据题意得出△COE和△BOE全等，然后得出△CEG和△DCO全等，设CG=a，则AG=5a，OD=a，根据题意列出一元一次方程求出a的值得出答案．
【详解】
(1)∵△CDE是等边三角形，
∴∠CED=60°，
∴∠EDB=60°﹣∠B=10°，
∴∠EDB=∠B，
(2) ED=EB，理由如下：
取AB的中点O，连接CO、EO，
∵∠ACB=90°，∠ABC=10°，
∴∠A=60°，OC=OA，
∴△ACO为等边三角形，
∴CA=CO，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠ACD=∠OCE，
∴△ACD≌△OCE，
∴∠COE=∠A=60°，
∴∠BOE=60°，
∴△COE≌△BOE，
∴EC=EB，
∴ED=EB；
(1)、取AB的中点O，连接CO、EO、EB，由（2）得△ACD≌△OCE，∴∠COE=∠A=60°，
∴∠BOE=60°，△COE≌△BOE，
∴EC=EB，
∴ED=EB，
∵EH⊥AB，
∴DH=BH=1，
∵GE∥AB，
∴∠G=180°﹣∠A=120°，
∴△CEG≌△DCO，
∴CG=OD，
设CG=a，则AG=5a，OD=a，
∴AC=OC=4a，
∵OC=OB，
∴4a=a+1+1，
解得，a=2，
23、（1）抛物线的解析式为y=x3﹣3x﹣1，顶点坐标为（1，﹣4）；（3）①m=333
2
±
；②P′A3取得最小值时，m的值
是214
2
，这个最小值是
15
4
．
【解析】
（1）根据A（﹣1，3），C（3，﹣1）在抛物线y=x3+bx+c（b，c是常数）的图象上，可以求得b、c的值；
（3）①根据题意可以得到点P′的坐标，再根据函数解析式可以求得点B的坐标，进而求得直线BC的解析式，再根据点P′落在直线BC上，从而可以求得m的值；
②根据题意可以表示出P′A3，从而可以求得当P′A3取得最小值时，m的值及这个最小值．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=x3+bx+c（b，c是常数）与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，3），C（3，﹣1），
∴
2
110
3
b c
c
⎧-+⨯-+=
⎨
=-
⎩
（）（）
，解得：
2
3
b
c
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，∴该抛物线的解析式为y=x3﹣3x﹣1．
∵y=x3﹣3x﹣1=（x﹣1）3﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（3）①由P（m，t）在抛物线上可得：t=m3﹣3m﹣1．
∵点P和P′关于原点对称，∴P′（﹣m，﹣t），当y=3时，3=x3﹣3x﹣1，解得：x1=﹣1，x3=1，由已知可得：点B（1，3）．
∵点B（1，3），点C（3，﹣1），设直线BC对应的函数解析式为：y=kx+d，
30
3
k d
d
+=
⎧
⎨
=-
⎩
，解得：
1
3
k
d
=
⎧
⎨
=-
⎩
，∴直线
BC的直线解析式为y=x﹣1．
∵点P′落在直线BC上，∴﹣t=﹣m﹣1，即t=m+1，∴m3﹣3m﹣1=m+1，解得：m=333
2
±
；
②由题意可知，点P′（﹣m，﹣t）在第一象限，∴﹣m＞3，﹣t＞3，∴m＜3，t＜3．
∵二次函数的最小值是﹣4，∴﹣4≤t＜3．
∵点P（m，t）在抛物线上，∴t=m3﹣3m﹣1，∴t+1=m3﹣3m，过点P′作P′H⊥x轴，H为垂足，有H（﹣m，3）．又∵A（﹣1，3），则P′H3=t3，AH3=（﹣m+1）3．在Rt△P′AH中，P′A3=AH3+P′H3，∴P′A3=（﹣m+1）3+t3=m3﹣
3m +1+t 3=t 3+t +4=（t +12）3+154，∴当t =﹣12时，P ′A 3有最小值，此时P ′A 3=154，∴12-=m 3﹣3m ﹣1，解得：m =2142±． ∵m ＜3，∴m =2142-，即P ′A 3取得最小值时，m 的值是2142
-，这个最小值是154．
【点睛】
本题是二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
24、解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P （
1-132，13-12
）；（1）Q 点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，－1）或（0，－1）.
【解析】
（1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解.
（2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.
（1）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.
【详解】
解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2，
∴y ＝2x ﹣6，
令y ＝0，解得：x ＝1，
∴B 的坐标是（1，0）．
∵A 为顶点，
∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，
把B （1，0）代入得：4a ﹣4＝0，
解得a ＝1，
∴y ＝（x ﹣1）2﹣4＝x 2﹣2x ﹣1．
（2）存在．
∵OB ＝OC ＝1，OP ＝OP ，
∴当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ，
此时PO 平分第二象限，即PO 的解析式为y ＝﹣x ．
设P （m ，﹣m ），则﹣m ＝m 2﹣2m ﹣1，解得m ＝1-132（m ＝1+132＞0，舍）， ∴P （1-132，13-12）． （1）①如图，当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ，
∴1DQ AD OD DB =，即56=135
DQ ，∴DQ 1＝52， ∴OQ 1＝
72，即Q 1（0，-72）； ②如图，当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ，
∴
2OQ OB OD OB =，即2363
OQ =， ∴OQ 2＝32，即Q 2（0，32）； ③如图，当∠AQ 1B ＝90°时，作AE ⊥y 轴于E ，
则△BOQ 1∽△Q 1EA ，
∴33OQ OB Q E AE =，即33341
OQ OQ =- ∴OQ 12﹣4OQ 1+1＝0，∴OQ 1＝1或1，
即Q1（0，﹣1），Q4（0，﹣1）．
综上，Q点坐标为（0，-7
2
）或（0，
3
2
）或（0，﹣1）或（0，﹣1）．
25、该雕塑的高度为（2+23）米．【解析】
过点C作CD⊥AB，设CD=x，由∠CBD=45°知BD=CD=x米，根据tanA=CD
AD
列出关于x的方程，解之可得．
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，
设CD=x米，
∵∠CBD=45°，∠BDC=90°，
∴BD=CD=x米，
∵∠A=30°，AD=AB+BD=4+x，
∴tanA=CD
AD
，即
3
34
x
x
=
+
，
解得：3
答：该雕塑的高度为（3
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是根据题意构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．
26、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）2.
【解析】
（1）由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可．
（2）证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可．（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，连接OC，BC，求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切线，由切割线定理（或△AGC∽△CGB）得出（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出
BG 2=FG 2﹣BF 2，推出FG 2﹣4FG ﹣12=0，求出FG 即可，从而由勾股定理求得AB=BG
的长，从而得到⊙O 的半径r ．
27、 (1)①y =－x 2－4x －3；y =x ；② ；（2）证明见解析. 【解析】
(1)把A(－3，0),B(－1，0)代入二次函数解析式即可求出；由AC=OA 知C 点坐标为(-3,-3),故可求出直线OC 的解析式；②由题意得OP =2t ,P (－2t ，0)，过Q 作QH ⊥x 轴于H ,
得OH =HQ =t ,可得Q (－t ,－t ),直线 PQ 为y ＝－x －2t ，过M 作MG ⊥x 轴于G ,由12
PG PM GH QM ==，则2PG ＝GH ，由2P G G H x x x x -=-，得2P M M Q x x x x -=-， 于是22M M t x x t --=+，解得533
M M x t x t =-=-或，从而求出M (－3t ,t )或M （51,33
t t --），再分情况计算即可； (2) 过F 作FH ⊥x 轴于H ，想办法证得tan ∠CAG =tan ∠FBH ，即∠CAG =∠FBH ，即得证.
【详解】
2y x bx c =-++
解：(1)①把A(－3，0),B(－1，0)代入二次函数解析式得09301b c b c =--+⎧⎨=--+⎩解得43b c =-⎧⎨=-⎩
∴y =－x 2－4x －3；
由AC=OA 知C 点坐标为(-3,-3),∴直线OC 的解析式y =x ；
②OP =2t ,P (－2t ，0)，过Q 作QH ⊥x 轴于H ,
∵QO ,∴OH =HQ =t ,
∴Q (－t ,－t ),∴PQ ：y ＝－x －2t ，
过M 作MG ⊥x 轴于G , ∴12
PG PM GH QM ==， ∴2PG ＝GH ∴2P G G H x x x x -=-，即2P M M Q x x x x -=-，
∴ 22M M t x x t --=+， ∴5
33
M M x t x t =-=-或，
∴M (－3t ,t )或M （51,33t t --）
当M (－3t ,t )时：29123t t t =-+-，
∴t =当M （5
1,33t t --）时：2125203393
t t t -=-+-，
∴6350
t ±=
综上：t =
6350t ±= (2)设A (m ,0)、B (n ,0),
∴m 、n 为方程x 2－bx －c =0的两根，
∴m +n =b ,mn ＝－c ,
∴y ＝－x 2+(m +n )x －mn ＝－(x －m )(x －n ),
∵E 、F 在抛物线上，设()()2111E x x m n x mn -++-，、()()
2222,F x x m n x mn -++-， 设EF ：y ＝kx +b ,
∴E E F
E y kx b y kx b =+⎧⎨=+⎩ ， ∴()E
F E F y y k x x -=- ∴()()2212121212
E F E F x x m n x x y y k m n x x x x x x -+++--===+---- ∴()()()()12111:F y m n x x x x x m x n =+------，令x ＝m
∴()()()()12111c y m n x x m x x m x n =+------
＝()()()()112112+m x m n x x x n m x m x -+---=--
∴AC=()()12m x m x ---,
又∵1A E AG x x m x =-=-,
∴tan ∠CAG =2AC x m AG
=-， 另一方面：过F 作FH ⊥x 轴于H ，
∴()()22FH x m x n =--，2BH x n =-，
∴tan ∠FBH =2FH x m BH
=- ∴tan ∠CAG =tan ∠FBH
∴∠CAG =∠FBH
∴CG ∥BF
【点睛】
此题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质及正确作出辅助线进行求解.。