物体冷却过程的数学模型

衡阳师范学院数学与计算科学系
学生实验报告
实验课程名称：数学建模
实验内容物体冷却过程的数学模型
系别：数学年级：12 级专业班：应用数学 2 班学生姓名邬婧刘斯丽郭丹
学号
开课时间：2014年上学期
成绩
实验指导教师宫兆刚
物体冷却过程的数学问题
1.将物体放置于空气中，在时刻t0 时，测量得它的温度为
u0 150 C，10 分钟后测量得温度为u
1100
C。

我们要求此物体的温度
u 和时间t的关系，并计算20分钟后物体的温度。

这里我们假
定空气温度保持为u a24 C 。

解：已知热力学的一些基本规律：
⑴热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；
⑵牛顿冷却定律：在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例。

设物体在时刻 t 的温度为u u(t) ，则温度的变化速度以du
来表示．注意到热量dt
总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而 u0 u a，所以温差 u u a恒正；
又因物体将随时间而逐渐冷却，因此由牛顿冷却定律得到：du k ( u u
0 ) dt
这里 k 0 是比例常数，温度变化速度du
恒负．将方程改写成d(u u a ) kdt dt u u a
的形式，这样变量 u 和t可以分离开来．两边同时积分，得到：ln( u u a )
~ kt c
~
这里的 c 是任意常数，对两边取对数，得到：
u u a e
~ kt c
令 c
~
，得到： u u a ce
kt e c
将 t 0 时，u u0代入可以得到： c u0u a
再根据条件 t 10,u u1，可以得到：k
1 ln u0 u a 0.051
10 u1 u a
所以： u 24
126e 0.051t 将 t=20 带入得U= C。