重庆市一中中考数学期末几何综合压轴题易错汇编

重庆市一中中考数学期末几何综合压轴题易错汇编
一、中考数学几何综合压轴题
1．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”．
（1）概念理解:
如图1,在ABC ∆中,6AC = ,3BC =.30ACB ∠=︒,试判断ABC ∆是否是“等高底”三角形，请说明理由.
（2）问题探究:
如图2, ABC ∆是“等高底”三角形,BC 是“等底”，作ABC ∆关于BC 所在直线的对称图形得到A BC '∆,连结AA '交直线BC 于点D .若点B 是AA C '∆的重心,求AC BC
的值. （3）应用拓展:
如图3,已知12l l //,1l 与2l 之间的距离为2.“等高底”ABC ∆的“等底” BC 在直线1l 上,点A 在直线2l 上,有一边的长是BC 的2倍.将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转45︒得到A B C ''∆,A C '所在直线交2l 于点D .求CD 的值.
解析：（1）证明见解析；（2）
13AC BC =（3）CD 21032 【解析】 分析：（1）过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ，可以得到AD =BC =3，即可得到结论；
（2）根据 ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，得到AD =BC ， 再由 ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称， 得到 ∠ADC =90°，由重心的性质，得到BC =2BD ．设BD =x ，则AD =BC =2x ， CD =3x ，由勾股定理得AC 13，即可得到结论；
（3）分两种情况讨论即可：①当AB 2BC 时，再分两种情况讨论；
②当AC 2时，再分两种情况讨论即可．
详解：（1）是．理由如下：
如图1，过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ，
∴ΔADC 为直角三角形，∠ADC =90°．
∵ ∠ACB =30°，AC =6，∴ AD =1
2AC =3，
∴ AD =BC =3，
即ΔABC 是“等高底”三角形．
（2）如图2， ∵ ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，∴AD =BC ，
∵ ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称， ∴ ∠ADC =90°．
∵点B 是ΔAA ′C 的重心， ∴ BC =2BD ．
设BD =x ，则AD =BC =2x ，∴CD =3x ，
∴由勾股定理得AC =13x ， ∴131322
AC x BC x ==．
（3）①当AB =2BC 时，
Ⅰ．如图3，作AE ⊥l 1于点E ， DF ⊥AC 于点F ．
∵“等高底” ΔABC 的“等底”为BC ，l 1//l 2，
l 1与l 2之间的距离为2， AB =2BC ，
∴BC =AE =2，AB =22，
∴BE =2，即EC =4，∴AC = 25．
∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ' B ' C ，∴∠CDF =45°．
设DF =CF =x ．
∵l 1//l 2，∴∠ACE =∠DAF ，∴
12DF AE AF CE ==，即AF =2x ． ∴AC =3x =25，可得x =253，∴CD =2x =2103
．
Ⅱ．如图4，此时ΔABC 是等腰直角三角形，
∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ' B ' C ，
∴ ΔACD 是等腰直角三角形，
∴ CD 2AC =22
②当AC=2BC时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形．
∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C，∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．
Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC，
∴AC=2BC=2AE，∴∠ACE=45°，
∴ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C时，点A′在直线l1上，
∴A′C∥l2，即直线A′ C与l2无交点．
综上所述：CD 2
10
3
222．
点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力．解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解．
2．问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD的值．
方法归纳：利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD就变换成Rt△ABE中的∠ABE．
问题解决：
（1）图1中tan∠BPD的值为________；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值；
思维拓展：
（3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD．
解析：（1）2；（2）22；（3）22 【分析】 （1）由题意可得BE ∥DC ，则∠ABE =∠DPB ，那么∠BPD 就变换到Rt △ABE 中，由锐角三角函数的定义可得出答案；
（2）过点A 作AE //CD ，连接BE ，那么∠BPD 就变换到等腰Rt △ABE 中，由锐角三角函数的定义可得出答案；
（3）以BC 为边长构造网格，然后把PC 平移到AN ，则∠CPD 就变换成Rt △ADN 中的∠NAD ，再由锐角三角函数的定义可得出答案．
【详解】
（1） 由勾股定理可得：22222222112AE BE =+==+=，， ∵CD//BE ，
∴tan ∠BPD ＝tan ∠ABE ＝2222
AE BE ==； （2）过点A 作AE //CD ，连接BE ，由图可知E 点在格点上，且∠AEB ＝90°，
由勾股定理可得：22221251310AE AB =+==+=，，
∴cos ∠BPD ＝cos ∠BAE ＝5510522102101010
AE AB ⨯====⨯
（3）如图3构造网格，过点A 作AN //PC ，连接DN ，由图可知N 点在格点上，且∠AND ＝90°，
由勾股定理可得：22221310,2425,DN AD +==+=
∴sin ∠CPD ＝sin ∠NAD ＝1010552225255DN AD ⨯=⨯
【点睛】
本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
3．（问题原型）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以AC为直径作O．求证：点B、D在O上．
请完成上面问题的证明，写出完整的证明过程．
（发现结论）矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上．
（结论应用）如图，已知线段2
AB=，以线段AB为对角线构造矩形ACBD．求矩形ACBD面积的最大值．
（拓展延伸）如图，在正方形ABCD中，2
AB=，点E、F分别为边AB、CD的中点，以线段EF为对角线构造矩形EGFH，矩形EGFH的边与正方形ABCD的对角线AC交于M、N两点，当MN的长最大时，矩形EGFH的面积为_____________________
解析：问题原型：见解析；结论应用：见解析；发现结论：2；拓展延伸：2
【分析】
问题原型：运用矩形对角线互相平分且相等，即可求证四点共圆；
结论应用：根据结论矩形面积最大时为正方形，利用对角线的长求得正方形的面积； 拓展延伸：由上一问的结论，可知四边形EGFH 为正方形, 证明四边形AEOH 是正方形，继而求得面积
【详解】
解：【问题原型】
∵AC 为O 直径，
∴OA 为O 半径.
令OA r =.
∵四边形ABCE 为矩形，
∴AC BD =，12OA OC AC ==
，.12
OB OD BD == ∴OB OD OA r ===.
∴点B 、D 在O 上.
【结论应用】
连续CD 交AB 于点O ，过点D 作DE AB ⊥于点E .
∴DE OD ≤.
由【发现结论】可知，点D 在以AB 为直径的圆上，即112
OD OA AB ==
=， ∴当1DE OD ==即AB CD ⊥时，矩形ACBD 的面积最大.
2AB CD ==
∴矩形ACBD 的面积最大值为
22112222
AB =⨯=. 【拓展延伸】
如图，连接GH ,设AC 与EF 的交点为O
四边形ABCD 是正方形
2AB ∴=,90BAD ADC ∠=∠=︒，//AE DF
点E 、F 分别为边AB 、CD 的中点
1AE EB CF FD ∴====,2EF =
∴四边形AEFD 是矩形
//EF AD ∴EF AB ⊥，
由【结论应用】可知，2EF =时，矩形EGFH 的面积最大为2122EF = 此时四边形EGFH 为正方形，此时MN 最大，
EF GH ∴⊥,112
EO OF OH OG EF ===== ∴四边形AEOH 是正方形
∴112AE AH AB ==
= ∴2222112EH AE AH =+=+=
∴正方形EGFH 的面积为：22(2)2EH ==
【点睛】
本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，灵活运用矩形，正方形的性质和判定是解题的关键．
4．[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为 ；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝10，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求
AM BM
的值； [拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠ACB ＝2∠A ，将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B ′处，折痕为CM ．
①求线段AC 的长；
②若点O 是边AC 的中点，点P 为线段OB ′上的一个动点，将△APM 沿PM 折叠得到△A ′PM ，点A 的对应点为点A ′，A ′M 与CP 交于点F ，求PF MF 的取值范围． 解析：（1）AM ＝BM ；（2）
169；（3）①AC ＝152；②310≤PF FM ≤34
． 【分析】 （1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）利用相似三角形的性质求出BM ，AM 即可．
（3）①证明△BCM ∽△BAC ，推出
BC BM CM AB BC AC == 由此即可解决问题．②证明△PFA ′∽△MFC ，推出
'PF PA FM CM =，因为CM =5，推出'5
PF PA FM =即可解决问题． 【详解】
解：（1）如图①中，
∵△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，
∴MN 垂直平分线段BC ，
∴CN ＝BN ，
∵∠MNB ＝∠ACB ＝90°，
∴MN ∥AC ，
∵CN ＝BN ，
∴AM ＝BM ．
故答案为：AM ＝BM ．
（2）如图②中，
∵CA ＝CB ＝6，
∴∠A ＝∠B ，
由题意MN 垂直平分线段BC ，
∴BM ＝CM ，
∴∠B ＝∠MCB ，
∴∠BCM ＝∠A ，
∵∠B ＝∠B ，
∴△BCM ∽△BAC ， ∴BC BM BA BC =， ∴6106
BM =， ∴BM ＝185
， ∴AM ＝AB ﹣BM ＝10﹣
183255=， ∴32
165189
5
AM BM ==； （3）①如图③中，
由折叠的性质可知，CB ＝CB ′＝6，∠BCM ＝∠ACM ，
∵∠ACB ＝2∠A ，
∴∠BCM ＝∠A ，
∵∠B ＝∠B ，
∴△BCM ∽△BAC ，
∴BC BM CM AB BC AC
==
∴696BM =， ∴BM ＝4，
∴AM ＝CM ＝5，
∴659AC
=， ∴AC ＝152
． ②如图③﹣1中，
∵∠A ＝∠A ′＝∠MCF ，∠PFA ′＝∠MFC ，PA ＝PA ′， ∴△PFA ′∽△MFC ，
∴PF PA FM CM
'=， ∵CM ＝5， ∴5
PF PA FM '=， ∵点P 在线段OB 上运动，OA ＝OC ＝
154，AB ′＝152﹣6＝32， ∴
32≤PA ′≤154， ∴310≤PF FM ≤34
． 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
5．在ABC 中，点D ，E 分别是AB AC ，边上的点，//DE BC ．
基础理解：
（1）如图1，若43AD BD ==，，求
AE AC 的值； 证明与拓展：
（2）如图2，将ADE 绕点A 逆时针旋转a 度，得到11AD E △，连接11,BD CE ； ①求证：11BD AD CE AE
=； ②如图3，若90,6,BAC AB AC AD ADE ∠=︒<=，在旋转的过程中，点1D 恰好落在DE 上时，连接1113,
4BD EE CE =，则11E D E 的面积为________． 解析：（1）47
；（2）①见详解；②13.44 【分析】
（1）利用平行线分线段定理，直接求解即可；、
（2）①先推出11AD AB AE AC
=，从而得11ABD ACE ∽，进而即可得到结论；②先推出AE =AE 1 =8，DE =D 1E 1=10，过点A 作AM ⊥DE 于点M ，则DM = 3.6，D 1E =2.8，再证明∠D 1EE 1=90°，进而即可求解．
【详解】
解：（1）∵//DE BC ，43AD BD ==，， ∴AE AC =44437
AD AB ==+； （2）①∵将ADE 绕点A 逆时针旋转a 度，得到11AD E △，
∴1AD =AD ，1AE =AE ，∠BAD 1=∠CAE 1，
∵//DE BC ， ∴AD AE AB AC =，即AD AB AE AC
=， ∴11AD AB AE AC
=， ∴11ABD ACE ∽， ∴1111BD AD AD CE AE AE
==；
②由①可知11ABD ACE ∽， ∴111134BD AD CE AE ==， ∵将ADE 绕点A 逆时针旋转，得到11AD E △，点1D 恰好落在DE 上，
∴AD 1=AD =6，∠D 1AE 1=∠DAE =90°，
∴AE =AE 1=43
AD 1=8，DE =D 1E 1=226810+=， 过点A 作AM ⊥DE 于点M ，则DM =D 1M =AD ×cos ∠ADE = AD ×AD DE =6×610
=3.6，
∴D 1E =10-3.6 ×2=2.8，
∵∠D 1AE 1=∠DAE =90°，
∴∠DAD 1=∠EAE 1，
又∵AD 1=AD ，AE =AE 1，
∴∠ADE =11118018022
DAD EAE AEE ︒-∠︒-∠==∠， ∴∠AED +1AEE ∠=∠AED +∠ADE =90°，即：∠D 1EE 1=90°，
∴22110 2.89.6EE -，
∴11E D E 的面积=12D 1E ∙EE 1=12
×2.8×9.6=13.44． 故答案是：13.44．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
6．（了解概念）
在凸四边形中，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边．
（理解运用）
（1）在邻等四边形ABCD 中，40A ∠=︒，60B ∠=︒，若CD 是这个邻等四边形的邻等边，则C ∠的度数为__________；
（2）如图，凸四边形ABCD 中，P 为AB 边的中点，ADP PDC ∽，判断四边形ABCD 是否为邻等四边形，并证明你的结论；
（拓展提升）
（3）在平面直角坐标系中，AB 为邻等四边形ABCD 的邻等边，且AB 边与x 轴重合，已
知(2,0)A -，(,3)C m ，(2,4)D ，若在边AB 上使DPC BAD ∠=∠的点P 有且仅有1个，则m 的值是__________．
解析：（1）130°；（2）四边形ABCD 是邻等四边形，理由见解析；（3）﹣6【分析】
（1）根据邻等四边形的定义即可求解；
（2）由△ADP ∽△PDC ，可得
AP AD PC PD =，∠DAP ＝∠DPC ，∠APD ＝∠PCD ，由P 为AB 的中点，可得AP ＝BP ，则
PB AD PC PD
=，可证△BPC ∽△ADP ，由相似三角形的性质得出∠A ＝∠B 即可；
（3）①若点B 在点A 右侧，如图，由AB 为邻等边，则有∠DAB ＝∠ABC ＝∠DPC ，可证△ADP ∽△BPC ，可得AP BC ＝AD BP ，设点P （n ，0），由等腰直角三角形可求∠BAD ＝45°，可求B 、C 横坐标之差为3，B （m +3，0），将AP ，BP ，AD ，BC ，代入得：
4232n 2+（m +1）n +2m ﹣18＝0，由题意可知n 只有一个解，可求得m ＝﹣6；②若点B 在点A 左侧，可求得∠BAD ＝135°，可证△ADP ∽△BPC ，可得AP BC ＝AD BP ，可求得B 、C 横坐标之差为34232
=m ＝﹣5﹣6． 【详解】
解：（1）∵CD 为邻等边，
∴∠C ＝∠D ，
又∵40A ∠=︒，60B ∠=︒，
∴∠C ＝∠D ＝（360°﹣∠A ﹣∠B ）÷2＝130°，
∴∠C ＝130°．
故答案为：130°；
（2）四边形ABCD 是邻等四边形，
理由如下：∵△ADP ∽△PDC ， ∴AP AD PC PD
=，∠DAP ＝∠DPC ，∠APD ＝∠PCD ，∠ADP ＝∠PDC ， 又∵P 为AB 的中点，
∴AP ＝BP ，
∴PB AD
PC PD
=，
∴PB PC
AD PD
=，
∵∠APD+∠BPC＝180°﹣∠DPC，∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠DPC，且∠APD＝∠PCD，
∴∠BPC＝∠PDC，
∵∠ADP＝∠PDC，
∴∠ADP＝∠BPC，
∴△BPC∽△ADP，
∴∠B＝∠A，
∴四边形ABCD为邻等四边形；
（3）若点B在点A右侧，如图，
∵AB为邻等边，则有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，
又∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，
∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，
∴∠DAB＝∠DPC，∠ADP＝∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴AP
BC ＝
AD
BP
，
设点P（n，0），
∵A（﹣2，0），D（2，4），
∴∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝45°，
过点C作CE⊥x轴于点E，
则∠CEB＝90°，∠BCE＝∠ABC＝45°，∴CE＝BE，
∵点C（m，3），
∴CE＝3，
∴BE＝3，
∴B（m+3，0），
∴AP＝n+2，BP＝m+3﹣n，
∴AD＝22
(22)4
++＝42，BC＝22
33
+＝32，
代入AP
BC
＝
AD
BP
得：
242
3
32
n
m n
+
=
+-
，
整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，由题意可知n只有一个解，
∴△＝（m+1）2+4（2m﹣18）＝0，
解得：m＝﹣5±46，
又∵点C在点D右侧，
∴m＝﹣5+46；
②若点B在点A左侧，如图，
此时，∵A（﹣2，0），D（2，4），
∴∠OAD＝45°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠DPC＝135°，
∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，
∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，
∴ADP＝∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴AP
BC ＝
AD
BP
，
由①得：B（m+3，0），C（m，3），P（n，0），AP＝﹣2﹣n，BP＝n﹣m﹣3，AD＝42BC＝32∴42
32
=，
解得：m＝﹣6
又∵点C在点D左侧，
∴m＝﹣5﹣6；
综上所述：m＝﹣6．
【点睛】
本题是相似综合题，考查新定义图形，仔细阅读题目，抓住定义中的性质，会验证新定义图形，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式，利用相似三角形的性质构造关于n 的一元二次方程是解题关键．
7．（问题情境）如图1，点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，连接BE 、CE ．
求证：BCE 1S 2=S 平行四边形ABCD ．（说明：S 表示面积） 请以“问题情境”为基础，继续下面的探究
（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD 的边AD 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边相切于点H ，与BD 相交于点M ．若AD ＝6，BD ＝y ，AM ＝x ，试求y 与x 之间的函数关系式．
（探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F 在CD 上，连接AF 、BF ，AF 与CE 相交于点G ，若AF ＝CE ，求证：BG 平分∠AGC ．
（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，过D 分别作DG ⊥AF 于G ，DH ⊥CE 于H ，请直接写出DG ：DH 的值．
解析：【问题情境】见解析；【探究应用1】18y x =
；【探究应用2】见解析；【迁移拓1927
【分析】
（1）作EF ⊥BC 于F ，则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ，即可得出结论； （2）连接OH ，由切线的性质得出OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3，求出平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝18，由圆周角定理得出AM ⊥BD ，得出△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9，即可得出结果；
（3）作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，得出12AF×BM ＝12CE×BN ，证出BM ＝BN ，即可得出BG 平分∠AGC ．
（4）作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，由平行四边形的性质得出∠ABP ＝60°，得出∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，由直角三角形的性质得出BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝3＝3，由已知得出BE ＝2x ，BF ＝2x ，得出BQ ＝x ，EQ 3，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理求出AF 22AP PF +＝7，CE 22EQ QC +19，连接
DF 、DE ，由三角形的面积关系得出AF×DG ＝CE×DH ，即可得出结果．
【详解】
（1）证明：作EF ⊥BC 于F ，如图1所示：
则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ， ∴12BCE ABCD S S =．
（2）
解：连接OH ，如图2所示：
∵⊙O 与BC 边相切于点H ， ∴OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3，
∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18，
∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠AMD ＝90°，
∴AM ⊥BD ，
∴△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9，
即12xy ＝9， ∴y 与x 之间的函数关系式y ＝
18x ； （3）
证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示：
同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，
∴1
2AF×BM ＝1
2CE×BN ， ∵AF ＝CE ，
∴BM ＝BN ，
∴BG 平分∠AGC ．
（4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示：
∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，
∴∠ABP ＝60°，
∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，
∴BP ＝1
2AB ＝2x ，BQ ＝1
2BE ，AP ＝，
∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，
∴BE ＝2x ，BF ＝2x ，
∴BQ ＝x ， ∴EQ ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，
由勾股定理得：AF ＝，CE ，
连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，
∴AF×DG ＝CE×DH ，
∴DG ：DH ＝CE ：AF ＝19x :27x 19:27=．
【点睛】
本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
8．（感知）如图1，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为(0,0.5)，点A 的坐标为(1,0)，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，过点B 作BM y ⊥轴，垂足为点M ，易知AOC CMB ∆∆≌，得到点B 的坐标为(0.5,1.5)．
（探究）如图2，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,)(0)m m >，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ．
（1）求点B 的坐标．（用含m 的代数式表示）
（2）求出BC 所在直线的函数表达式．
（拓展）如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点C 在y 轴上，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，连结BO 、BA ，则BO BA +的最小值为_______．
解析：【探究】（1）点B 坐标为(,1)m m +；（2）1y x m m
=+5
【分析】
探究:（1）证明△AOC ≌△CMB （AAS ），即可求解；
（2）根据点B 的坐标为（m ，m+1），点C 坐标()0,m ，即可求解；
拓展：BO+BA=2222(1)(1)(1)m m m m +++-++，BO+BA 的值，相当于求点P （m ，m ）到点M （1，-1）和点N （0，-1）的最小值，即可求解．
【详解】
解：探究：（1）过点B 作BM y ⊥轴，垂足为点M ．
BMC 90∠∴=︒，
MCB B 90∠∠∴+=︒．
线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，
BCA 90CB CA ∠∴=︒=，．
MCB ACO 90∠∠∴+=︒．
B ACO ∠∠∴=．
ACO 90∠=︒，
ΔAOC ΔCMB ∴≌，
MC OA,MB OC ∴==．
点C 坐标()0,m ，点A 坐标()1,0，
∴点B 坐标为()m,m 1+
（2）∵点B 的坐标为（m ，m+1），点C 为（0，m ），
设直线BC 为：y=kx+b ，
1b m km b m =⎧⎨+=+⎩，解得：1k m b m
⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴1y x m m
=+； 则BC 所在的直线为：1y x m m =
+； 拓展：如图作BH ⊥OH 于H ．
设点C 的坐标为（0，m ），
由（1）知：OC=HB=m ，OA=HC=1，
则点B （m ，1+m ），
则：BO+BA=2222(1)(1)(1)m m m m +++-++，
BO+BA 的值，相当于求点P （m ，m ）到点M （1，-1）和点N （0，-1）的最小值，
相当于在直线y=x 上寻找一点P （m ，m ），使得点P 到M （0，-1），到N （1，-1）的距离和最小，
作M 关于直线y=x 的对称点M′（-1，0），
易知PM+PN=PM′+PN≥NM′，
22(11)(01)5--++ 故：BO+BA 5
5
【点睛】
本题为一次函数综合题，主要考查的是三角形全等的思维拓展，其中拓展，将BO+BA 的值转化点P （m ，m ）到点M （1，-1）和点N （0，-1）的最小值，是本题的新颖点 9．问题背景 如图1，点E 在BC 上，AB ⊥BC ，AE ⊥ED ，DC ⊥DC ，求证：=AE BE DE DC ．
尝试应用 如图2，在▱ABCD 中，点F 在DC 边上，将△ADF 沿AF 折叠得到△AEF ，且点E 恰好为BC 边的中点，求FC FD 的值． 拓展创新 如图3，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，∠AFE ＝∠D ，AE ⊥FE ，FC ＝2．EC ＝6．请直接写出cos ∠AFE 的值．
解析：（1）见解析；（2）
12FC FD =；（3）cos ∠AFE =25
． 【分析】
(1) 根据相似三角形的判定定理证△ABE ∽△ECD 即可；
(2) 在AB 边取点G ，使GE =BE ，则∠B =∠BGE ，证△AGE ∽△ECF ，列比例式即可；
(3) 作FM =FD ，FN ⊥AD ，同（2）构造△AMF ∽△FCE ，证△AEF ∽△FHD ，求出AM 长即可．
【详解】
解：（1）∵ AB ⊥BC ，AE ⊥ED ，DC ⊥DC
∴∠B =∠C =90° ，∠BAE +∠AEB =90°，∠CED +∠AEB =90°，
∴∠BAE =∠CED ，
∴△ABE ∽△ECD
∴AE BE DE DC =． （2）在AB 边取点G ，使GE =BE ，则∠B =∠BGE
又∵∠B +∠C =180° ，∠BGE +∠AGE =180°
∴∠AGE =∠C
∵∠B =∠D =∠AEF
又∵∠B +∠BAE =∠AEF +∠FEC
∴∠BAE =∠FEC ，
∴△AGE ∽△ECF
∴FC EF EG AE =，即FC EG EF AE =
∵EF =FD ， ∴FC EG FD AE = ∵GE =BE ，AE =BC =2BE ， ∴12
FC BE FD BC == （3）cos ∠AFE =25
如图：作FM =FD ，FN ⊥AD ，
由（2）同理可证△AMF ∽△FCE ，
∴3FM EC AM FC
== 设AM =x ，FM =FD =3x ，则AD =CD =32x +，MD =22x +，ND =1x +
∵∠AEF =∠FND =90°，∠AFE ＝∠D ，
∴△AEF ∽△FND ，
∴
EF AF ND FD =，即EF ND AF FD =， ∵
FC EF AM AF =， FC ND AM FD
∴= ∴
213x x x +=， 解得，5x =，经检验，是原方程的解；
∴ cos ∠AFE =
25EF FC AF AM ==． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形，解题关键是依据已知条件构造相似三角形，列比例式解决问题．
10．（探究函数y=x+
的图象与性质） （1）函数y=x+的自变量x 的取值范围是 ；
（2）下列四个函数图象中函数y=x+
的图象大致是 ；
（3）对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．
请将下列的求解过程补充完整．
解：∵x＞0
∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+
∵（﹣）2≥0
∴y≥．
[拓展运用]
（4）若函数y=，则y的取值范围．
解析：（1）x≠0；（2）C（3）4；4；（4）y≥13
【解析】
试题分析：根据反比例函数的性质，一次函数的性质；二次函数的性质解答即可.试题解析：（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是x≠0；
（2）函数y=x+的图象大致是C；
（3）解：∵x＞0
∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+4
∵（﹣）2≥0
∴y≥4．
（4）y==x+﹣5═（）2+（）2﹣5=（+）2+13
∵（﹣）2≥0，
∴y≥13．
考点：1.反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数的性质.
11．（1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE 的中心O ，作FG HP ⊥，将它分成4份．所分成的四部分和以BC 为边的正方形恰好能拼成以AB 为边的正方形．若12,5AC BC ==，求EF 的值；
（3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N 的边长为定值n ，小正方形,,,A B C D 的边长分别为a b c d ,,,．已知123α∠=∠=∠=，当角9(0)0αα︒<<︒变化时，探究b 与c 的关系式，并写出该关系式及解答过程（b 与c 的关系式用含n 的式子表示）．
解析：（1）见详解；（2）EF =
172或72
；（3）c +b =n ，理由见详解 【分析】
（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得到结论；
（2）设EF =a ，FD =b ，由图形的特征可知：a +b =12，a -b =±5，进而即可求解；
（3）设正方形E 的边长为e ，正方形F 的边长为f ，由相似三角形的性质可知：
22e cn f bn ==，，结合勾股定理，可得222e f n +=，进而即可求解．
【详解】
（1）证明：∵在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
∴c 2＝1
2ab ×4＋（b −a ）2，
化简得：a 2＋b 2＝c 2；
（2）由题意得：正方形ACDE 被分成4个全等的四边形，
设EF =a ，FD =b ，
∴a +b =12，
∵正方形ABIJ 是由正方形ACDE 被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM 拼成， ∴E F EF ''=，KF FD '=，5E K BC '==，
当EF >DF 时，
∵E F KF E K ''''-=， ∴a -b =5，
∴125
a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：a =172， ∴EF =172
； 同理，当EF <DF 时，EF =72
故EF =172或72
（3）设正方形E 的边长为e ，正方形F 的边长为f ，
∵123α∠=∠=∠=，
∴图中①与②与③，三个直角三角形相似，
∴c e b f e n f n
==，，即：22e cn f bn ==，， ∵图形③是直角三角形，
∴222e f n +=，
∴2
cn bn n
+=，即：c+b=n，
【点睛】
本题主要考查勾股定理及其证明过程，相似三角形的判定和性质，找准图形中线段长和面积的数量关系，是解题的关键．
12．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，
GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：AG
BE
的值为：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD于点H．若AG=6，GH=22，则BC=．
解析：（1）①四边形CEGF是正方形；22）线段AG与BE之间的数量关系为2；（3）5
【分析】
（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；
②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG 2CE =、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得； （2）连接CG ，只需证ACG ∽BCE 即可得；
（3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH
==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AG
GH AC AH =得2
AH a 3=、1
DH a 3=、10CH a 3=，由AG
AH
AC CH =可得a 的值．
【详解】
（1）①∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC ，
∴四边形CEGF 是正方形；
②由①知四边形CEGF 是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴2CG
CE =，GE ∥AB ，
∴2AG CG
BE CE ==，
故答案为2；
（2）连接CG ，
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，
在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，
CE
CG 2
CB
CA 2
，
∴CG CE =2CA
CB =
∴△ACG ∽△BCE ，
∴2AG CA BE CB ==， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ； （3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG ∽△BCE ，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG ，
∴△AHG ∽△CHA ，
∴AG GH AH AC AH CH
==， 设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，
则由AG GH AC AH =得6222AH
a =， ∴AH=23
a ， 则DH=AD ﹣AH=13a ，CH=22CD DH +=103
a ， ∴由AG AH AC CH =得2632103
a a a =， 解得：a=35，即BC=35，
故答案为35．
【点睛】
本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
13．如图1，在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
① 当0α︒=时，
AE BD = ；② 当时，
AE BD = （2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，
AE DB 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决
当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.
解析：（1）①52,②52.（2）无变化；理由参见解析.（3）45，1255
. 【分析】 （1）①当α=0°时，在Rt △ABC 中，由勾股定理，求出AC 的值是多少；然后根据点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，分别求出AE 、BD 的大小，即可求出
AE BD 的值是多少． ②α=180°时，可得AB ∥DE ，然后根据AC BC AE BD =，求出AE BD
的值是多少即可． （2）首先判断出∠ECA=∠DCB ，再根据
52EC AC DC BC ==，判断出△ECA ∽△DCB ，即可求出AE BD 的值是多少，进而判断出AE BD
的大小没有变化即可． （3）根据题意，分两种情况：①点A ，D ，E 所在的直线和BC 平行时；②点A ，D ，E 所在的直线和BC 相交时；然后分类讨论，求出线段BD 的长各是多少即可．
【详解】
（1）①当α=0°时，
∵Rt △ABC 中，∠B=90°，
∴AC=2222(82)845AB BC +=÷+=，
∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，
∴45252AE =
=,BD=8÷2=4， ∴25542
AE BD ==． ②如图1，
，
当α=180°时，
可得AB ∥DE ，
∵
AC BC AE BD =， ∴455AE AC BD BC =
（2）如图2，
，
当0°≤α＜360°时，AE BD 的大小没有变化， ∵∠ECD=∠ACB ， ∴∠ECA=∠DCB ，
又∵52
EC AC DC BC ==， ∴△ECA ∽△DCB ， ∴52
AE EC BD DC ==． （3）①如图3，
，
∵AC=45，CD=4，CD ⊥AD ，
∴AD=2222(45)480168AC CD -=-=-=
∵AD=BC ，AB=DC ，∠B=90°，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴BD=AC=45．
②如图4，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P ，
，
∵AC=45CD=4，CD ⊥AD ，
∴2222(45)480168AC CD ---，
∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，
∴DE=111(82)4222AB =⨯÷=⨯=2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
由（2），可得 52AE BD =， ∴BD=6125552
=．
综上所述，BD 的长为45或
1255
． 14．(1)问题发现
如图1,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D 在一条直线上.
填空:线段AD,BE 之间的关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE 的关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,线段PA=3,点B 是线段PA 外一点,PB=5,连接AB,将AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B 的位置的变化,直接写出PC 的范围.
解析：(1) AD=BE ，AD ⊥BE ．(2) AD=BE ，AD ⊥BE ．(3) 5-32≤PC≤5+32．
【分析】
（1）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），得AD=BE ，∠EBC=∠CAD ，延长BE 交AD 于点F ，由垂直定义得AD ⊥BE ．
（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；
（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32.
【详解】
（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．
理由：如图1中，
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，
∠ACB=∠ACD=90°，
在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD
延长BE 交AD 于点F ，
∵BC ⊥AD ，
∴∠EBC+∠CEB=90°，
∵∠CEB=AEF ，
∴∠EAD+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．
∴AD=BE ，AD ⊥BE ．
故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ．
（2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．
理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，
∴ACD=∠BCE ，
在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，
∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠OHB=90°，
∴AD⊥BE，
∴AD=BE，AD⊥BE．
（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，∴PC=BE，
图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-32，图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，
即5-32≤PC≤5+32．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
15．（问题）
如图1，在Rt ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，过点C 作直线l 平行于
AB ．90EDF ∠=︒，点D 在直线l 上移动，角的一边DE 始终经过点B ，另一边DF 与AC 交于点P ，研究DP 和DB 的数量关系．
（探究发现）
（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P 与点C 重合时，通过推理就可以得到DP DB =，请写出证明过程；
（数学思考）
（2）如图3，若点P 是AC 上的任意一点（不含端点A C 、），受（1）的启发，这个小组过点D 作DG CD ⊥交BC 于点G ，就可以证明DP DB =，请完成证明过程；
（拓展引申）
（3）如图4，在（1）的条件下，M 是AB 边上任意一点（不含端点A
B 、），N 是射线BD 上一点，且AM BN =，连接MN 与B
C 交于点Q ，这个数学兴趣小组经过多次取M 点反复进行实验，发现点M 在某一位置时BQ 的值最大．若4AC BC ==，请你直接写出BQ 的最大值．
解析：【探究发现】（1）见解析；【数学思考】（2）见解析；【拓展引申】（3）22AM =BQ 有最大值为2．
【分析】
根据等腰三角形的性质及平行的定义即可解得
根据证明()CDP GDB ASA ≌即可推出DP DB =
过点M 作MH MN ⊥交AC 于点H ，连接,CM HQ ，可证明()AMH BNQ ASA ≌，再推出ACM BMQ ∽即可得
AC AM BM BQ =42AM BQ
AM =-，则22AM = 【详解】
证明：【探究发现】
（1）∵90,ACB AC BC ∠=︒=
∴45CAB CBA ∠=∠=︒
∵CD AB
∴45CBA DCB ∠=∠=︒，且BD CD ⊥
∴45DCB DBC ∠=∠=︒
∴DB DC =
即DB DP =
【数学思考】
（2）∵,45DG CD DCB ⊥∠=︒
∴45DCG DGC ∠=∠=︒
∴,135DC DG DCP DGB =∠=∠=︒，
∵90BDP CDG ∠=∠=︒
∴CDP BDG ∠=∠，且,135DC DG DCP DGB =∠=∠=︒，
∴()CDP GDB ASA ≌
∴BD DP =
【拓展引申】
（3）如图4，过点M 作MH MN ⊥交AC 于点H ，连接,CM HQ ，
∵MH MN ⊥，
∴90AMH NMB ∠+∠=︒
∵,90CD AB CDB ∠=︒∥
∴90DBM ∠=︒
∴90NMB MNB ∠+∠=︒
∴HMA MNB ∠=∠，且,45AM BN CAB CBN =∠=∠=︒
∴()AMH BNQ ASA ≌
∴AH BQ =
∵90,4ACB AC BC ∠=︒==， ∴42,AB AC AH BC BQ =-=-
∴CH CQ =
∴45CHQ CQH CAB ∠=∠=︒=∠
∴HQ AB ∥
∴HQM QMB ∠=∠
∵90ACB HMQ ∠=∠=︒
∴点H ，点M ，点Q ，点C 四点共圆，
∴HCM HQM ∠=∠
∴HCM QMB ∠=∠，且45A CBA ∠=∠=︒
∴
ACM BMQ ∽ ∴AC AM BM BQ = ∴442AM BQ AM
=- ∴2(22)24
AM BQ --=+ ∴22AM =时，BQ 有最大值为2．
【点睛】
本题考查等腰三角形，解题关键在于熟练掌握等腰三角形的性质.
16．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．
①求证：DQ AE =；
②推断：GF AE
的值为 ； （2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，
BC k AB =（k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE CP 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当23k =
时，若3tan 4
CGP ∠=，210GF =，求CP 的长．
解析：（1）①证明见解析；②解：结论：
1GF AE
=．理由见解析；（2）结论：FG k AE =．理由见解析；（3）955PC =． 【解析】。