安徽省黄山市新华中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析

安徽省黄山市新华中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知 ( )
A.-15
B.-5
C.-
3 D.-1
参考答案：
A
略
2. 两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法
（1）若r>0，则x增大时，y也相应增大；
（2）若r<0，则x增大时，y也相应增大；
（3）若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上，其中正确的有
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
参考答案：
C
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
(A) (B)2?
(C) (D)
参考答案：
A
4. 函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
B
5. 已知a，b∈R，则“a=0”是“a+bi为纯虚数”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件
参考答案：
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据复数的有关概念，以及充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：当a=0，b=0时，a+bi为实数，不是纯虚数，充分性不成立，
若a+bi为纯虚数，则a=0，且b≠0，则必要性成立，
故“a=0”是“a+bi为纯虚数”必要不充分条件，
故选：C
6. 若直线与圆相离，则点与圆的位置关系是（）
在圆上在圆外在圆内以上都有可能
参考答案：
C
略
7. 设集合，，则A∪B等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
8. 若不等式恒成立，则的取值范围是（）
A． B． C．或 D．或
参考答案：
B
略
9. 两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km), 灯塔A在C北偏东30°,B在C南偏东60°,则A,B之间相距（）
A．a (km) B．a(km) C．a(km) D．2a (km)参考答案：
C
略
10. 已知斜率为1的直线与曲线相切于点，则点的坐标是（）
A. B. C.或 D.
参考答案：
C 略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知x与y之间的一组数据：
已求得关于y 与x 的线性回归方程，则a 的值为______ ．
参考答案：
2.15
12. 设实数满足，，则的最大值是
.
参考答案：
27
略
13. 在的展开式中，若第七项系数最大，则的值可能是▲．
参考答案：
略
14. 表示不超过的最大整数．
那么．
参考答案：
15. 不等式log (+ 1 ) – log (– 1 ) < –的解集是 。

参考答案：
( 1，17 + 12
)
16. 已知F 1、F 2
分别是双曲线﹣=1的左右焦点，P 是双曲线上任意一点，的最小值为
8a ，则此双曲线的离心率e 的取值范围是 ．
参考答案：
（1，3]
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由定义知：|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，|PF 1|=2a+|PF 2|，
=
+4a+|PF 2|≥8a，当且仅当
=|PF 2|，即|PF 2|=2a 时取得等号．再由焦半径公式得双曲线的离心率e ＞1的取值范围．
【解答】解：由定义知：|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，|PF 1|=2a+|PF 2|，
∴=+4a+|PF 2|≥8a，
当且仅当
=|PF 2|，即|PF 2|=2a 时取得等号
设P （x 0，y 0） （x 0≤﹣a ）
由焦半径公式得：|PF 2|=﹣ex 0﹣a=2a ，∴ex 0=﹣3a
e=﹣
≤3
又双曲线的离心率e ＞1 ∴e∈（1，3] 故答案为：（1，3]．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意焦半径公式的合理运用．
17. 由命题“Rt ABC 中，两直角边分别为a,b,斜边上的高为h,则得
”由此可类比出命
题“若三棱锥S-ABC 的三条侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，长分别为a,b,c ，底面ABC 上的高为h,则得
____________________.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：
ρsin 2θ=2cos θ，过点p （﹣3，﹣5）的直线
（t 为参数）与曲线C 相交于点M ，N
两点．
（1）求曲线C 的平面直角坐标系方程和直线l 的普通方程； （2）求
的值．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可求曲线C 的平面直角坐标系方程和直线l 的普通方程；
（2）将直线l 的参数方程为程代入曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x ，利用参数的几何意义，即可求
的值．
【解答】解：（1）由ρsin 2θ=2cosθ，得ρ2sin 2θ=2ρcosθ，∴y 2=2x ． 即曲线C 的直角坐标方程为y 2
=2x ．
消去参数t ，得直线l 的普通方程x ﹣y ﹣2=0．
（2）将直线l 的参数方程为程代入曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x ， 得
．
由韦达定理，得
，t 1t 2=62，
所以t1，t2同为正数，
则=．
19. 已知函数
（I）若k=1，求g(x)在处的切线方程；
（Ⅱ）证明：对任意正数k，函数f(x)和g(x)的图像总有两个公共点.参考答案：
（I）时，则
在处的切线的斜率
又时，即切点，
所以在处的切线方程为：
，即
（Ⅱ）法一：
记
则（已知）.
因为有意义，
所以
所以在单调递减，在单调递增，
故
记
因为所以在单调递增，在单调递减，
故
故恒成立，即
又时，时，，
故在和各有一个零点，
即和的图像在和各有且只有一个公共点.
法二：函数和的图像总有两个公共点，等价于总有两个实数根.
显示不是该方程的根.
当时，
记
则
再记
因为
所以在单调递增，在单调递减
所以
即
从而在和均单调递增，
又时，时，时，，
又时，时，时，，
的草图如图：
故对任意的正数，直线与的图像总有两个公共点，
即方程总有两个根，
即函数和的图像总有两个公共点，命题得证.
20. （本题12分）已知命题函数在定义域上单调递增；
命题不等式对任意实数恒成立．
若是真命题，求实数的取值范围.
参考答案：
命题P函数y＝log a(1－2x)在定义域上单调递增；
∴0<a<1.
又∵命题Q不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立；
∴a＝2或
即－2<a≤2.
∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是－2<a≤2
21. 已知函数.
（1）的最小正周期和单调递增区间；
（2）已知a，b，c是△ABC三边长，且△ABC的面积.求角C及a，b的值. 参考答案：
（Ⅰ）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x+1
=sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+）+1，
∵ω=2，∴T==π；
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
则函数f（x）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=2，得到2sin（2C+）+1=2，即sin（2C+）=，
∴2C+=或2C+=，
解得：C=0（舍去）或C=，
∵S=10，∴absinC=ab=10，即ab=40①，
由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即49=a2+b2﹣ab，
将ab=40代入得：a2+b2=89②，
联立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．
22. 已知函数
（I）若函数在点处的切线过点(－1,0)，求实数a的值；
（II）已知函数的定义域为[0,+∞)，若函数存在极值点，求实数a的取值范围. 参考答案：
（I）因为，
容易得函数在点处的切线；
因为过点，所以
（II）
因为函数在区间存在极值点
在有解得经检验：排除
所以。