专题28不等式选讲《2021年高考数学备考艺考生百日冲刺系列(通用)》(解析版)

专题2.8不等式选讲
本专题高考考查的主要数学素养是逻辑推理与数学运算.主要考向有：①考查含绝对值不等式的解法；②绝对值不等式性质的应用；③恒成立与存在性问题；④不等式的证明方法；⑤往往与含绝对值函数（分段函数）相结合.
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a ，b 是实数，那么|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立. 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －b |≤|a －c |＋|c －b |，当且仅当(a －c )(c －b )≥0时，等号成立. 2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解集：
①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . 3．常用结论：
|a ＋b |与|a |－|b |，|a －b |与|a |－|b |，|a |＋|b |之间的关系： (1)|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当ab ≤0且|a |≥|b |时，等号成立.
(2)|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时，左边等号成立，当且仅当ab ≤0时，右边等号成立. 4．比较法
作差比较法与作商比较法的基本原理： (1)作差法：a －b >0⇔a >b . (2)作商法：a b
>1⇔a >b (a >0，b >0). 5．综合法与分析法
(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法.
(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.这是一种执果索因的思考和证明方法. 6．反证法
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法. 7．放缩法
证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法. 8．柯西不等式
设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2
＋b 2
)(c 2
＋d 2
)≥(ac ＋bd )2
，等号当且仅当ad ＝bc 时成立. 9.常用结论： （1）a 2
≥0(a ∈R ).
（2）(a －b )2
≥0(a ，b ∈R )，其变形有a 2
＋b 2
≥2ab ，⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥12(a ＋b )2.
（3）若a ，b 为正实数，则
a ＋b
2
≥ab ，特别地，b a ＋a
b
≥2.
（4）a 2
＋b 2
＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .
【典例1】（2020·江苏省高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2
(2,)3
- 【解析】
1224x x x <-⎧⎨
---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧
⎨++<⎩
21x ∴-<<-或10x -≤≤或203
x <<
所以解集为：2
(2,)3
-
【典例2】（2020·全国高考真题（理））已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；
（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出． 【详解】
（1）因为()3,1
151,1313,3x x f x x x x x ⎧
⎪+≥⎪
⎪
=--<<⎨⎪
⎪
--≤-⎪⎩
，作出图象，如图所示：
（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：
由()3511x x --=+-，解得76
x =-
． 所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭
． 【典例3】（2019·全国高考真题（文））已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞ 【解析】
（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；
当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2
(1)0x ->，显然成立， 此时解集为(,1)-∞；
当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集； 当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2
(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集；
综上，原不等式的解集为(,1)-∞；
（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；
当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a
-≤<⎧=⎨
--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意； 综上，a 的取值范围是[1,)+∞.
【典例4】（2018年全国卷Ⅲ文）设函数f (x )=|2x +1|+|x −1|． （1）画出y =f (x )的图像；
（2）当x ∈[0 ， +∞)，f (x )≤ax +b ，求a +b 的最小值．
【答案】（1）见解析（2）5 【解析】
（1）f(x)={−3x,x <−1
2,
x +2,−12
≤x <1,3x,x ≥1.
y =f(x)的图像如图所示．
（2）由（1）知，y =f(x)的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f(x)≤ax +b 在[0,+∞)成立，因此a +b 的最小值为5． 【典例5】（2020·全国高考真题（理））已知函数2
()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 【答案】（1）32
x x ⎧
≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.
【解析】 【分析】
（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到()()2
1f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】 （1）当2a =时，()43f x x x =-+-.
当3x ≤时，
()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：3
2
x ≤；
当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；
当4x ≥时，
()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112
x ≥
； 综上所述：()4f x ≥的解集为32
x x ⎧≤
⎨⎩
或112x ⎫≥⎬⎭.
（2）()(
)()()2
2
2
2
2121211f x x a x a x a
x a a
a a =-+-+≥---+=-+-=-（当
且仅当221a x a -≤≤时取等号），
()2
14a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，
a ∴的取值范围为(][),1
3,-∞-+∞.
【方法总结】
1．解绝对值不等式的两个要点：
(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号.
(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”.
2.形如x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：
（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，
(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进
行求解，然后取各个不等式解集的并集．
（2）图象法：作出函数1y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解． 【典例6】（2016·全国高考真题（文））选修4-5：不等式选讲 已知函数11
()22
f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；
（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+. 【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 【解析】
（I ）12,,
211
(){1,,22
12,.
2
x x f x x x x -≤-=-<<≥
当1
2
x ≤-
时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-；
当11
22x -
<<时，()2f x <； 当1
2
x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <.
所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而
22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，
因此1.a b ab +<+
【典例7】（2018·全国高考真题（文））设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[2,3]-；(2) ][()
,62,-∞-⋃+∞. 【解析】 【详解】
分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：（1）当1a =时，
()24,1,
2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．
而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][()
,62,-∞-⋃+∞． 【规律方法】
不等式恒成立问题常见解法：
①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)； ③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.
【典例8】（2019·全国高考真题（理））已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）
222111
a b c a b c
++≤++； （2）3
3
3
()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】
（1）1abc =
111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫
∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭
()()()()
2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++
当且仅当a b c ==时取等号
(
)
22211122a b c a b c ⎛⎫
∴++≥++ ⎪⎝⎭
，即：222111a b c a b c ++++≥
（2）()()()
()()()333
3a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等
号
又a b +≥b c +≥，a c +≥a b c ==时等号同时成立）
()()()333
3a b b c c a ∴+++++≥⨯=
又1abc = ()()()3
3
3
24a b b c c a ∴+++++≥
【典例9】（2020·安徽高三期末（文））已知函数()421f x x x =---的最大值为m . （1）求不等式()1f x >的解集；
（2）若a 、b 、c 均为正数，且满足a b c m ++=，求证：222
3b c a
a b c
++≥.
【答案】（1）51,3⎛
⎫- ⎪⎝
⎭；
（2）证明见解析. 【解析】
（1）当1x ≤时，()()()4214212f x x x x x x =---=---=+， 令()1f x >，即21x +>，解得1x >-，此时11x -<≤；
当14x <<时，()()()42142136f x x x x x x =---=---=-+， 令()1f x >，即361x -+>，解得53x <
，此时513
x <<； 当4x ≥时，()()()4214212f x x x x x x =---=---=--， 令()1f x >，即21x -->，解得3x <-，此时x ∈∅. 综上所述，不等式()1f x >的解集为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
； （2）由（1）知，当1x ≤时，()23f x x =+≤； 当14x <<时，()()366,3f x x =-+∈-； 当4x ≥时，()26f x x =--≤-.
综上所述，函数()y f x =的最大值为3m =，3a b c ∴++=.
由基本不等式得222
222222a b c a b c a b c c a b a b c c a b c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 当且仅当1a b c ===时，等号成立，所以222
3b c a a b c a b c
++≥++=.
【典例10】（2019·全国高考真题（理））设,,x y z R ∈，且1x y z ++=. （1）求2
2
2
(1)(1)(1)x y z -++++的最小值； （2）若2
2
2
1
(2)(1)()3
x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a ≥-. 【答案】(1) 4
3
；(2)见详解. 【解析】 (1)
22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4
x y z x y z x y z -++++++≥-++++=+++=故2
2
2
4
(1)(1)(1)3
x y z -++++≥
等号成立当且仅当111x y z -=+=+而又因
1x y z ++=，解得531313x y z ⎧=⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
⎪=-⎪⎩
时等号成立
所以2
2
2
(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为4
3
. (2)
因为2
2
2
1(2)(1)()3
x y z a -+-+-≥
，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥. 根据柯西不等式等号成立条件，当21x y z a -=-=-，即22321323a x a y a z a +⎧=-⎪⎪
+⎪
=-⎨⎪
+⎪=-⎪⎩时有
22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立.
所以2
(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a ≥-. 【总结提升】
1．作差比较法证明不等式的步骤
(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负. 2．作商比较法证明不等式的步骤
(1)作商；(2)变形；(3)判断与1的大小关系；(4)得出结论.其中“作商”要注意两式的正、负，不能随意作商. 3.综合法证明不等式的方法
（1）综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.
（2）在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件. 4.分析法的应用条件
当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a 2
＋b 2
≥2ab )、基本不等式
⎝ ⎛⎭
⎪⎫ab ≤a ＋b 2，a >0，b >0没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来
寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆. 5. 柯西不等式证明不等式
（1）利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题.
（2）利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的条件.
1．（2021·四川成都市·高三月考（文））已知函数()12f x x x =-+． （1）解不等式()2f x ≥；
（2）若()f x 的最小值为A ，且正实数m ，n 满足m n A +=，求11m n m n ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
的最小值．
【答案】（1）[)1,1,3
⎛
⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
；
（2）254
【解析】
（1）利用零点分界法去绝对值即可求解.
（2）由（1）求出1A =，即1m n +=，再将式子展开可得2
2mn mn
+-，再利用基本不等式可得10,4
mn ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
，代入式子即可求解.
【详解】
解：（1）由()13,01,0131,1x x f x x x x x -≤⎧⎪
=+<<⎨⎪-≥⎩
，
当0x ≤，由()121323
f x x x ≥⇒-≥⇒≤-
当01x <<，由()2121f x x x ≥⇒+≥⇒≥（舍） 当1≥x ，由()23121f x x x ≥⇒-≥⇒≥
综上：1
3
x ≤-或1≥x ，即不等式的解集为[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
（2）由（1）当0x ≤时，()131f x x =-≥， 当01x <<时，()()11,2f x x =+∈，
当1≥x 时，()312f x x =-≥，所以()1f x ≥， 即1A =，则1m n +=，
由()()()222
2212111mn m n mn m n mn m n m n mn mn +++++-+⎛⎫⎛⎫++==
⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()2
222
2mn mn mn mn mn
-+=
=+-
由110,44m n mn mn ⎛⎤
+≥⇒≤
⇒∈ ⎥⎝⎦
, 当且仅当1
2
m n ==
时取等号， 当14
mn =时，原式取最小值为25
4. 2．（2021·宁夏吴忠市·高三一模（理））已知函数()1f x x =+． （1）解不等式()421f x x <--；
（2）已知1(0,0)m n m n +=>>，若13a -≤≤，求证11
()2x a f x m n
+-≤
+-． 【答案】（1）4
43
3x
x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩
⎭
∣；（2）证明见解析. 【解析】
（1）利用零点分界法去绝对值，解不等式即可.
（2）利用绝对值三角不等式可得12a -≤，再利用基本不等式可得11
22m n
+-≥，即证. 【详解】
（1）()421f x x <--等价于1421x x +<--， 当1x <-时，原不等式化为(1)4(21)x x -+<+-，
即43x >-，∴4
13x -<<-； 当1
12
x ≤≤-时，原不等式化为()1421x x +<+-，
即2x >-，∴1
12
x ≤≤-；
当1
2
x >时，原不等式化为1421x x +<-+，
即4
3x <
，∴1423
x <<； 综上可得，原不等式的解集为4
43
3x
x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩
⎭
∣． （2）证明：||()1()(1)1x a f x x a x x a x a +-=+-+≤+-+=-， ∵13a -≤≤，∴212a -≤-≤，即12a -≤， ∴()2x a f x +-≤， ∵1(0,0)m n m n +=>>，
∴
1124m n m n n m
m n m n m n +++=+=++≥， ∴
1122m n +-≥，∴11
()2x a f x m n
+-≤+-． 3．（2020·安徽淮北市·高三一模（文））已知不等式14x x x +-<+的解集为(),m n . （1）求m ，n 的值；
（2）若0x >，0y >，()10n x y m -++=，求证：9x y xy +≥. 【答案】（1）1,5m n =-=；（2）证明见详解. 【解析】
⑴绝对值函数去绝对值得到分段函数，分别求得对应x 范围内不等式的解集，即求. ⑵由(1)可得91x y +=，则()114x y x y xy x y ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，展开后利用均值不等式即可得证 【详解】
(1) 解：原不等式可化为：
()014x x x x ≤⎧⎨
---<+⎩或()0114x x x x <<⎧⎨--<+⎩或()114x x x x ≥⎧
⎨+-<+⎩
所以10-<≤x 或01x <<或15x ≤<，即15x -<< 所以1,5m n =-=
(2)证明：由(1)知410,x y +-=即41x y +=，且00x y >>，
所以(
)1144559x y y x x y xy x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当3
11
6x y =
=，时取“=” 所以9x y xy +≥
4．（2021·陕西咸阳市·高三一模（理））已知函数()|2||1|,f x x x x =+-∈R ． （Ⅰ）求()2f x 的解集；
（Ⅱ）若()f x kx =有2个不同的实数根，求实数k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{1x x ∣或13
x -}；（Ⅱ）23k <<．
【解析】
（1）利用零点分段法，解不等式；（2）问题转化为()y f x =与y kx =有两个交点，利用数形结合，求实数k 的取值范围. 【详解】
（I ）31,0
()1,0131,1x x f x x x x x -+⎧⎪
=+<<⎨⎪-⎩
，
312x x ≤⎧⎨
-+≥⎩
或0112x x <<⎧⎨+≥⎩ 或1312x x ≥⎧⎨-≥⎩， 解得：{1x x ≥或1
}3
x ≤-
()2f x 的解集是{1x x ≥或1}3
x ≤-
（Ⅱ）问题转化为()y f x =与y kx =有两个交点，由图易知：20
2,310
OA OB AC k k k -====-， A o OB k k k ∴<<，即23k <<．
5．（2021·江西上饶市·高三一模（文））已知函数()215f x x x =-++. （1）求不等式()7f x >的解集；
（2）若()a f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|1x x <-或}1x >；（2）11,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
. 【解析】
（1）对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；
（2）()a f x ≤恒成立只需()min f x a ≥即可，利用单调性求出()min 111
22
f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，进而可得结论. 【详解】
（1）()34,512156,52134,2x x f x x x x x x x ⎧
⎪--<-⎪
⎪
=-++=-+-≤<⎨⎪
⎪
+≥⎪⎩
若()7f x >，则有5347x x <-⎧⎨-->⎩或15267x x ⎧
-≤<⎪⎨⎪-+>⎩或12
347
x x ⎧≥
⎪⎨⎪+>⎩， 解得5x <-或51x -≤<-或1x >.
因此不等式()7f x >的解集为{|1x x <-或}1x >；
（2）()a f x ≤恒成立只需()min f x a ≥即可，
而()34,512156,52134,2x x f x x x x x x x ⎧
⎪--<-⎪
⎪=-++=-+-≤<⎨⎪
⎪
+≥⎪⎩
在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上递增，
所以()min 11111152222f x f a ⎛⎫==+=⇒≤
⎪⎝⎭
， ∴11,
2a ⎛
⎤∈-∞ ⎥⎝⎦
6．（2021·安徽马鞍山市·高三一模（文））已知函数f (x )=2|x -1|+|x +2|. （1）求不等式f (x )≥6的解集; （2）若2
()f x m m
≥+
对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(][),22,-∞-+∞．（2）()[],01,2-∞⋃．
【解析】
（1）根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后可解不等式；
（2）分类讨论去绝对值符号后求得函数()f x 的最小值，然后解关于m 的不等式，注意按分母m 的正负分类求解． 【详解】
（1）由不等式()6f x ≥可得：()2|1||2|6f x x x =-++≥，
可化为：22226x x x ≤-⎧⎨---≥⎩或212226x x x -<<⎧⎨-++≥⎩或1
2226x x x ≥⎧⎨
-++≥⎩
解得：2x -≤或2x ≥，所以原不等式的解集为(]
[),22,-∞-+∞．
（2）因为()3,2
212=4,213,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪
=-++-+-<<⎨⎪≥⎩
，
所以()f x 在(),1-∞上单调递减，在[)1
+∞，上单调递增， 所以min
()
(1)3f x f ==．
要()2f x m m ≥+对任意R x ∈恒成立，只需23m m ≥+，即：232
0m m m
-+≤，
所以()()1200
m m m ⎧--≤⎨
>⎩或()()1200
m m m ⎧--≥⎨
<⎩，解得：12m ≤≤或0m <，
所以，实数m 的取值范围为()[],01,2-∞⋃．
7．（2021·安徽淮南市·高三一模（文））设函数()214f x x x =+--． （1）解不等式()0f x >；
（2）若关于x 的方程2
()34230f x x m m +--+=没有实数根，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）(,5)(1,)-∞-+∞；（2）3
32
m -<<.
【解析】
（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；
（2）先将题意转化为()2
()3423g x f x x m m =+-=-没有实数根， 再求()g x 值域，
利用223m m -取值为()g x 值域的补集，计算即得结果. 【详解】
解：（1）当4x ≥时，()21(4)50f x x x x =+--=+>， 得5x >-，所以4x ≥； 当1
42
x -
≤<时，()214330f x x x x =++-=->， 得1x >，所以14x <<； 当1
2
x <-
时，()50f x x =-->，得5x <-，所以5x <-． 综上，原不等式的解集为(,5)
(1,)-∞-+∞；
（2）方程()2
34230f x x m m +--+=没有实数根，即()2
3423f x x m m +-=-没有实数根，
令()()3421242128212()89g x f x x x x x x x x =+-++-++-≥+-==-=， 当且仅当()()21280x x +-≤时，即1
42
x -
≤≤时等号成立，即()g x 值域为[)9,+∞， 若()2
23g x m m =-没有实数根，则2239m m -<，即22390m m --<，
所以实数m 的取值范围为3
32
m -
<<． 8．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知函数()()32f x x x m m =-+->的最小值为1．
（1）求不等式()2f x x m +->的解集﹔ （2）若2
2
2
3
232
a b c m ++=
，求2ac bc +的最大值． 【答案】（1）()13,3,3⎛⎫
-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
；（2）3． 【解析】
（1）根据条件利用绝对值三角不等式，求出()f x 的最小值，然后得到关于m 的方程，求出
m 的值，再利用零点分段法解不等式即可；
（2）根据条件，利用基本不等式得到2222222232()2(2)a b c a c b c ac bc ++=++++，然后求出2ac bc +的最大值． 【详解】
解：（1）∵333x x m x x m m -+-≥-+-=-， 当且仅当()()30x x m --≥时，()f x 取得最小值3m -． 又∵()3f x x x m =-+-的最小值为1，∴31m -=． ∵2m >，∴4m =．
∴()2f x x m +->，等价于3242x x -+->．
当3x ≤时，所求不等式等价于3112x -+>，解得3x <，符合题意； 当34x <<时，所求不等式等价于52x -+>，解得3x <，与条件矛盾； 当4x ≥时，所求不等式等价于3112x ->，解得13
3
x >，符合题意． 综上，原不等式的解集为()13,3,3⎛⎫
-∞⋃+∞
⎪⎝⎭
． （2）∵4m =，∴222
3
2362
a b c m ++=
=．
∴(
)()22222
22
623222a b c a c b c ac bc =++=+++≥+．
∴23ac bc +≤．
当且仅当1a b c ===±时，2ac bc +取得最大值3．
9．（2021·河南郑州市·高三一模（文））已知0a b >>，函数()()
1
f x x b a b =+-
（1）若1a =，1
2
b =
，求不等式()2f x >的解集﹔ （2）求证：()2
4f x x a +-≥.
【答案】（1）{
2x x >-或}6x <- ；（2）证明见解析. 【解析】
（1）由题意可得()4f x x =+，解不等式42x +>即可求解； （2）由题意可得需证()
21
4x x a b a b +
+-≥-，利用绝对值三角不等式可得
()()
2211
x x a a b a b b a b +
+-≥+--，再利用基本不等式结合0a b >>即可求证.
【详解】
（1）由1a =，1
2
b =
可得()4f x x =+， 则()2f x >即42x +>，所以42x +>或42x <-＋， 解得：2x >-或6x <-
故不等式()2f x >的解集为{
2x x >-或}6x <-， （2）由题意即证，()
21
4,x x a b a b +
+-≥-
因为()()()()
222111
x x a x x a a b a b b a b b a b +
+-≥+--=+---，
因为0a b >>，所以0a b ->，
所以()2
224b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭
，
所以()(
)22221144a a a b a b b a b a +=+≥+≥=-- 当且仅当224a a b a b
⎧=⎪⎨⎪=-⎩
即a =
2b =时，等号成立， 所以()()
22114x x a a b a b b a b ++-≥+≥-- 故()24f x x a +-≥成立.
10．（2021·陕西榆林市·高三一模（文））已知函数()|||23|=++-f x x a x .
（1）当1a =时，求()f x 的最小值；
（2）当[,22]x a a ∈-时，不等式()|5|+f x x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）最小值为
52；（2）122,5⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 【解析】 （1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案；
（2）先得到a 的取值范围，判断各项的正负，去掉绝对值，转化为28a x ≤-+在[,22]x a a ∈-时恒成立，得到412a a ≤-+，从而得到a 的取值范围.
【详解】
（1）当1a =时，23,13()1234,12332,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩
， 由解析式可知，()f x 在(),1-∞-和31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在1x =-处连续，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，
故()f x 在32x =
处取得最小值，且3225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小值为52. （2）[,22]x a a ∈-，22a a ∴->，2a ∴>，
又[,22]x a a ∈-，0x a +>，230x ->，50x +>，
()5|||23|5235f x x x a x x x a x x ∴≤+⇒++-≤+⇒++-≤+.
即28a x ≤-+在[,22]x a a ∈-上恒成立，
令28y x =-+在[,22]x a a ∈-上单调递减，min 2(22)8412y a a =-⨯-+=-+ 412a a ∴≤-+，解得：125a ≤
， 综上，a 的取值范围为122,5⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 11.（2019·辽宁高考模拟（文））已知函数()f x x a =-，不等式()3f x ≤的解集为[]6,0-．
（1）求实数a 的值；
（2）若()()52f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）3a =-；（2）52m ≤
【解析】
（1）由()3f x ≤，得3x a -≤，∴33a x a -≤≤+，
又()3f x ≤的解集为[]6,0-．解得：3a =-；
（2）()()5385f x f x x x ++=+++≥．
又()()52f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，525,2m m ∴≤≤
12．（2020·重庆高三月考（文））已知函数()|2||2|f x x x =+--，设不等式()2f x ≤的解集为M .
（1）求集合M ；
（2）若,x y M ∈，求证：2
(2)42x y x y +≥+-.
【答案】（1）{|11}M x x =-≤≤（2）见解析
【解析】
（1）当2x ≥时，|()|224f x x x =+-+=，不满足()2f x ≤； 2x <-时，|()|224f x x x =--+-=，不满足()2f x ≤；
当22x -≤<时，|()||2|211f x x x =≤⇒-≤≤； 综上，{|11}M x x =-≤≤；
（2）222
(2)424442x y x y x y xy x y +--+=++--+ 2244(1)(1)1x y x y y =+-+-++
2(21)11x y y y =-+++≥+
y M ∈，10y ∴+≥，2(2)42x y x y ∴+≥+-.。