华东师范大学第二附属中学2023届高一上数学期末调研试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．下列图象是函数图象的是 A. B. C. D.
2．设b a A a b =
+，其中a 、b 是正实数，且a b ，242B x x =-+-，则A 与B 的大小关系是（） A.A B ≥
B.A B >
C.A B <
D.A B ≤
3．若{}
{}2,0,1,,0a a b -=，则20172017a b +的值为 A.0
B.1
C.-1
D.2
4．已知全集U R =，则正确表示集合{-1,0,1}A =和2{x|}B x x ==关系的韦恩图是
A. B.
C. D.
5． “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用1S ，2S 分别表示乌龟和兔子所行的路程(t 为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（） A. B. C. D.
6．如图，三棱柱111A B C ABC -中，侧棱1AA ⊥底面，底面三角形是正三角形，E 是BC 中点，则下列
叙述正确的是
A.AC ⊥平面11ABB A
B.1CC 与1B E 是异面直线
C.111//AC B E
D.1AE BB ⊥
7．命题“x R ∀∈，2230x x -+>”的否定为（）
A.x R ∃∈，2230x x -+>
B.x R ∃∈，2230x x -+≤
C.x R ∀∈，2230x x -+<
D.x R ∀∈，2230x x -+≥
8．下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）
A.2y x =-
B.12y x =
C.1y x -=
D.3y x = 9．已知函数()()11123e
22x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a （ ） A.13-
B.12-
C.-3
D.-2
10．如果直线()ax 150b y +-+=和()10a x y b +--= 同时平行于直线x-2y+3=0，则a,b 的值为
A.a=1,02b -
= B.a=2,0b = C.a=1,02b = D.a=1,22
b -= 11．函数3log y x =的图象大致（ ）
A. B.
C. D.
12．已知集合{|lg 0}A x x =>，{|2}B x x =<，则（）
A.A B =∅
B.A B R =
C.B A ⊆
D.A B ⊆
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．如图，在ABC ∆中，34
AD AC =，23BP BD =，若AP BA BC λμ=+，则λμ+=_____.
14．如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________
15．若1sin()63πα-=，其中76
παπ<<，则2sin()3πα-的值为______ 16．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O 距离水面BC 的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P 的切始位置为点D （水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，t 分钟时，该盛水筒距水面距离为()()sin H f t A x b ωϕ==++0,0,,02A t πωϕ⎛
⎫>><≥ ⎪⎝⎭
，则()H f t ==___________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．已知1cos 7α=，13cos()14
αβ-=，且02πβα<<<. (1)求tan α的值；
(2)求β.
18．已知函数()1f x x x
=- （1）判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性，并用定义证明；
（2）求()f x 在区间[]1,2上的值域
19．为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理.我市工业园区某工厂的污水先排入净化池，然后加入净化剂进行净化处理.根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随
着时间x （单位：小时）变化的函数关系式近似为321,0318,321
x x x y x -⎧+≤≤⎪=⎨>⎪+⎩.若多次加进净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用.
（1）若投放1个单位的净化剂4小时后，求净化剂在污水中释放的浓度； （2）若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：lg 20.3≈，lg17 1.23≈）
（3）若第一次投放1个单位的净化剂，3小时后再投放2个单位的净化剂，设第二次投放t 小时后污水中净化剂浓度为()g t （毫克/立方米），其中03t <≤，求()g t 的表达式和浓度()g t 的最小值.
20．已知()(0)f x x x a a =->，
()1当2a =时，求函数()f x 在[]1,3-上的最大值；
()2对任意的1x ，[]21,1x ∈-，都有()()124f x f x -≤成立，求实数a 的取值范围
21．已知角θ的终边经过点(,22)(0)P m m m >
（1）求sin ,cos ,tan θθθ的值；
（2）求sin()cos sin()tan()2()cos(2)sin cos()2f πθθπθπθθππθθπθ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
的值 22．如图，在四边形OBCD 中，2CD BO =，2OA AD =，90D ∠=︒，且1BO AD ==.
（Ⅰ）用,OA OB 表示CB ；
（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值.
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、D
【解析】由题意结合函数的定义确定所给图象是否是函数图象即可.
【详解】由函数的定义可知，函数的每一个自变量对应唯一的函数值，
选项A ,B 中，当0x =时，一个自变量对应两个函数值，不合题意，
选项C 中，当0x >时，一个自变量对应两个函数值，不合题意，
只有选项D 符合题意.
本题选择D 选项.
【点睛】本题主要考查函数的定义及其应用，属于基础题.
2、B
【解析】利用基本不等式结合二次函数的基本性质可得出A 与B 的大小关系.
【详解】因为a 、b 是正实数，且a b ，则2b a b a A a b a b =+>⋅=， ()2242222B x x x =-+-=--+≤，因此，A B >.
故选：B.
3、A
【解析】由题意得a 不等于零，21a a b =-=，或21a b a ，=-=,所以1
1a b =-=，或11b a =-=，,即20172017a b +的值为0，选A.
4、B 【解析】∵集合{}
2B x x x ==
∴集合{}0,1B =
∵集合{}1,0,1A =-
∴B A ⊆
故选B
5、B
【解析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况,即直线的斜率变化即可.
【详解】解：对于乌龟，其运动过程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，一直以匀速前进，其路程不断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；
对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快；
但是最终是乌龟到达终点用的时间短.
故选：B
【点睛】本题考查利用函数图象对实际问题进行刻画，是基础题.
6、D
【解析】因为三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面三角形ABC 是正三角形，E 是BC 中点，
所以对于A ,AC 与AB 夹角为60°,即两直线不垂直，所以AC 不可能垂直于平面ABB 1A 1；故A 错误；
对于B ,CC 1与B 1E 都在平面CC 1BB 1中不平行，故相交；所以B 错误；
对于C ,A 1C 1，B 1E 是异面直线；故C 错误；
对于D ,因为几何体是三棱柱,并且侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面三角形ABC 是正三角形，E 是BC 中点，所以BB 1⊥底面ABC ,所以BB 1⊥AE ,AE ⊥BC ,得到AE ⊥平面BCC 1B 1,所以AE ⊥BB 1；
故选D.
7、B
【解析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，判断即可.
【详解】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得，
命题“2230x R x x ∀∈-+>，”的否定为：2230x R x x ∃∈-+≤，.
故选：B.
8、C
【解析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.
【详解】对A ，
函数2y x =-的图象关于y 轴对称， 故2y x =-是偶函数，故A 错误；
对B ，函数12y x =的定义域为[)0,+∞不关于原点对称， 故12y x =是非奇非偶函数，故B 错误；
对C ，函数1y x -=的图象关于原点对称，
故1y x -=是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减，故C 正确；
对D ，函数3y x =的图象关于原点对称，
故3y x =是奇函数，但在(0,)+∞上单调递增，故D 错误.
故选：C.
9、C
【解析】注意到直线1x =是13e x y -=和1122x x y --=+的对称轴，故1x =是函数()f x 的对称轴，
若函数有唯一零点，零点必在1x =处取得，所以()21320f a a =--=，又0a <,解得3a =-.
选C.
10、A
【解析】由两直线平行时满足的条件，列出关于,a b 方程，求出方程的解即可得到,a b 的值. 【详解】直线()150ax b y +-+=和()10a x y b +--=同时平行于直线230x y -+=，
15123111
23a b a b -⎧=≠⎪⎪-∴⎨+--⎪=≠⎪-⎩， 解得1,02
a b =-=，故选A. 【点睛】本题主要考查两条直线平行的充要条件，意在考查对基础知识的理解与应用，属于基础题.
11、A
【解析】根据对数函数的图象直接得出.
【详解】因为31>，根据对数函数的图象可得A 正确.
故选：A.
12、B
【解析】解对数不等式求得集合A ，由此判断出正确选项.
【详解】lg lg10x >=，所以()1,A =+∞，
所以()1,2,,,A B A B R A B ⋂=⋃=没有包含关系，
所以ACD 选项错误，B 选项正确.
故选：B
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、13
-
【解析】根据平面向量基本定理，结合向量加法、减法法则，将向量BA 、BC 作为基向量,把向量AP 表示出来，即可求出λμ+. 【详解】23213611625162
AP AB BP
AB BD AB BC CA BA BA BC BA BC BA BC λμ=+=+
=++=-+
+=-+=+ 即：51,62
13λμλμ=-=
+=-
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用问题，解题时根据向量加法与减法法则将所求向量用题目选定的基向量表示出来，是基础题目.
14、【解析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果 详解：
由题意知底面圆的直径AB ＝2，
故底面周长等于2π.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °
， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝4π180
n ， 解得n ＝90，
所以展开图中∠PSC ＝90°，
根据勾股定理求得PC ＝5
所以小虫爬行的最短距离为5故答案为5点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决
三、
15、22； 【解析】2sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭sin()cos()266πππαα=+-=- 因为76παπ<<，所以2512(,)cos()1sin ()1666693
ππππαπαα-∈∴-=--=-=- 点睛：三角函数求值三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
16、3sin() 1.536t -+ππ
【解析】根据图象及所给条件确定振幅、周期、b ，再根据0=t 时求ϕ即可得解.
【详解】由题意知，3A =，6T =， 1.5b =
263
ππω∴==， 当0=t 时，0H =，
3sin 1.50∴+=ϕ，即1sin 2ϕ=-
， 2π
ϕ<
∴6πϕ=-，
所以()3sin() 1.536
H f t t ==-+ππ， 故答案为：3sin() 1.536
t -+ππ
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17、（1）3π.
【解析】（1）先根据1cos 7α=，且02πα<<，求出sin α=，再求tan α；（2）先根据13cos()14αβ-=，02a π
β<-<，求出sin()αβ-，再根据cos cos[()]βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-求解即可.
【详解】（1）因1cos 7α=且02
πβα<<<，
所以sin α==
，
所以sin tan cos a αα==（2）因为02πβα<<<
， 所以02a π
β<-<，
又因为13cos()14
αβ-=，
所以sin()14
αβ-==， cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-
12
==，
所以3π
β=.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角
18、（1）()f x 在区间()0,∞+上单调递增，证明见解析
（2）30,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】（1）利用定义法，设出12,x x ，通过做差比较()()12、f x f x 的大小，即可证明；
（2）根据第（1）问得到()f x 在区间()0,∞+上的单调性，在区间[]1,2直接赋值即可求解值域.
【小问1详解】 ()f x 在区间()0,∞+上单调递增，证明如下：
()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，有
()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ ()()()1212121212211212
111x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=-+-=-+=+ ⎪⎝⎭ 因为()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，所以120x x >，120x x -< 于是()121212
10x x x x x x -+<，即()()12f x f x < 故()f x 在区间()0,∞+上单调递增
【小问2详解】
由第（1）问结论可知，因为()f x 在区间()0,∞+上单调递增,
()1f x x x
=- ()10f =，()322f =
所以()f x 在区间[]1,2上的值域为30,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 19、（1）6毫克/立方米
（2）7.1 （3）()()1822121
t t g t =+++，03t <≤； ()g t 的最小值为12毫克/立方米 【解析】（1）由函数解析式，将4x =代入即可得解；
（2）分03x ≤≤和3x >两种情况讨论，根据题意列出不等式，从而可得出答案；
（3）根据题意写出函数()g t 的解析式，再根据基本不等式即可求得最小值.
【小问1详解】 解：由321,0318,321
x x x y x -⎧+≤≤⎪=⎨>⎪+⎩，
当4x =时，4318621
y -==+， 所以若投放1个单位的净化剂4小时后，净化剂在污水中释放的浓度为6毫克/立方米；
【小问2详解】
解：因为净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用，
当03x ≤≤时，令()4214x +≥，得20x ≥恒成立，
所以当03x ≤≤时，起到净化污水的作用，
当3x >时，令3184421
x -⋅≥+，得32118x -+≤，则2lg17 1.233log 17 4.1lg 20.3x -≤=≈=， 所以37.1x <≤，
综上所述当07.1x ≤≤时，起到净化污水的作用，
所以若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达7.1小时；
【小问3详解】
解：因为第一次投入1个单位的净化剂，3小时后再投入2个单位净化剂，要计算的是第二次投放t 小时后污水中净化剂浓度为()g t ，
所以()()()()33181822122121
21t t t x g t +-=++=++++，03t <≤， 因为210t +>，
所以()()18182212221122121
t t t t ++≥⋅+=++， 当且仅当
()1822121
t t =++，即1t =时取等号， 所以()()1822121t t g t =+++，03t <≤， 当1t =时，()g t 取最小值12毫克/立方米.
20、（1）3；（2）02a <≤.
【解析】（1）由2a =，得出函数()f x 的解析式，根据函数图象，得函数()f x 的单调性，即可得到函数()f x 在
[]1,3-上的最大值；
（2）对任意的[]12,1,1x x ∈-，都有()()124f x f x -≤成立，等价于对任意的[]12,1,1x x ∈-，()()max min 4f x f x -≤成立，再对a 进行讨论，即可求出实数a 的取值范围.
试题解析：（1）当2a =时，()()(
)2,222,2x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-<⎪⎩， 结合图像可知，函数()f x 在[]
1,1-上是增函数，在()1,2上是减函数，在()2,3上是增函数，
又()11f =，()33f =，
所以函数()f x 在[]
1,3-上的最大值为3. （2）()()(
),,x x a x a f x x a x x a ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ (0)a >，由题意得：()()max min 4f x f x -≤成立. ①12
a ≥时，2a ≥，函数()f x 在[]1,1-上是增函数， 所以()max 11f f a ==-，()()min 11f f a =-=-+，
从而()()1124a a a ⎡⎤---+=≤⎣⎦，解得2a ≤，
故2a =.
②因为224a a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()24a x x a =-，得：22440x ax a --=， 解得：122x a +=或1202
x a -=<（舍去） 当12122a a +<<时，()2212a -<<，此时2max 24a a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，()()min 11f f a =-=-+， 从而()()22211124444
a a a a a ⎡⎤--+=++=+<⎣⎦成立， 故()2212a -<<
当1212a +≥时，()
221a ≤-，此时()max 11f f a ==-，()()min 11f f a =-=-+， 从而()()1124a a ⎡⎤---+=<⎣⎦成立，
故()
221a ≤-， 综上所述：02a <≤.
点睛：（1）对于形如，对任意的12,x x I ∈，()()12f x f x M -≤恒成立的问题，可转化为()()max min f x f x M -≤恒成立的问题，然后根据函数的单调性将函数不等式转化为一般不等式处理；（2）解决不等式的恒成立问题时，要转化成函数的最值问题求解，解题时可选用分离参数的方法，若参数无法分离，则可利用方程根的分布的方法解决，解题时注意区间端点值能否取等号
21、（1）22sin θ=
1cos 3θ=，tan 22θ=； （2）64.
【解析】（1）直接利用三角函数的坐标定义求解；
（2）化简4()tan f θθ=，即得解. 【小问1详解】
解：3==r m ，
有sin 33m θ==，1cos 33m m θ==，tan m
θ== 【小问2详解】 解：4(sin )sin sin tan ()tan cos cos (cos )
f θθθθθθθθθ-==-，
将tan θ=4()64f θ==
22、（Ⅰ）CB 32OA OB =--（Ⅱ）cos PCB ∠=
【解析】(Ⅰ)直接利用向量的线性运算即可 (Ⅱ)以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.可得
55,cos 33CP CB CP AP AC PCB CP CB
⋅⎛⎫=-=--∠= ⎪⎝⎭⋅，代入各值即可 【详解】（Ⅰ）因为 2OA AD =，
所以 32DO AO =
.因为 2CD BO =， 所以 =++CB CD DO OB 322
BO AO OB =++ 32OA OB =-- （Ⅱ）因 2CD BO =，
所以 OB CD .因为 2OA AD =，
所以点,,O A D 共线.
因为90D ∠=︒，
所以90O ∠=︒.
以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
因为 1BO AD ==，2CD BO =，2OA AD =，
所以 ()()()2,0,0,1,3,2A B C .
所以 ()1,2AC =，()2,1AB =-.
因为 点P 在线段AB 上，且3AB AP =，
所以 121,333AP AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
所以 5
5,33CP AP AC ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭.
因为 ()3,1CB =--，
所以 55253cos 55
2103CP CB
PCB CP CB +⋅∠===⋅. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题。