动态几何中的双动点最值问题的求解策略

动态几何中的双动点最值问题的求解策略
双动点问题将几何知识与数学知识融合一起，综合考查学生应用知识的能力．这类问题综合度高，立意深，对学生的能力要求高，往往形成学生学习中的难点，尤其是双动点问题中的最值问题，对学生思维要求更高．如何引导学生解决这类问题，成为中考复习的一个要点．本文以双动点中的线段最值问题、面积最值问题、情景最值问题为例，进行详解，以期找到解决这类问题的一般方法．
一、双动点形成的线段最值问题
例1 如图l，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和l，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．
解析由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，如图2，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形．∴BD=AB=AD=3．
∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1．∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．
点评本题需要综合应用菱形的性质，相切两圆的性质；等边三角形的判定和性质，才能使问题得以解决．在数学思维应用中要特别重视数形结合的思想，从中找到最值的条件是关键．
二、双动点问题形成的面积最值问题
例2如图3，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，
M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则
四边形MANB面积的最大值是．
解析如图4，过点O作OC垂直AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB．
∵∠AMB =45°，∴∠AOB =2∠AMB =90°, ∴△OAB 是等腰直角三角形,
∴ OA 而S 四边形MANB =S △MAB +S △NAB ，
∵当M 点到AB 的距离最大，△MAB 的面积最大；当N 点到AB
的距离最大，△NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E
点时，四边形MANB 面积最大．
∴四边形MANB 面积最大值：
S 四边形DAEB =S △DAB +S △EAB =
12AB ·CD+12AB·CE=12AB·(CD+CE)
=1
2AB·DE=1
2× 点评 本题将圆与三角形知识综合在一起，需要深刻理解垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，通过两动点运动，找到组成四边形的两三角形面积最值情景，从而使问题得以解决．
三、双动点问题中形成的情景最值问题
例3 如图5，直线y =4
3x -+8与x 轴交于A 点，与y 轴交于
B 点，动点P 从A 点出发，以每秒2个单位的速度沿AO 方向向
点O 匀速运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒1个单位的速度
沿BA 方向向点A 匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随
之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t (s)(0<t ≤3)．
(1)写出A ，B 两点的坐标；
(2)设△AQP 的面积为S ，试求出S 与t 之间的函数关系式；并求出当t 为何值时，△AQP 的面积最大；
(3)当t 为何值时；以点A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABO 相似?并直接写出此时点Q 的坐标．
解析 (1)令y =0，则43x -
+8=0，解得x =6；令x =0，则y =8．所以OA =6，OB =8，所以
点A (6，0)，B (0，8)
(2)在Rt △AOB 中，由勾股定理得，AB ．因为点P 的速度是每秒2个单位，点Q 的速度是每秒1个单位所以AP =2t ，AQ =AB-BQ =10-t ．所以点Q 到AP 的距离为
AQ·sin∠AOB=(10-t)×8
10=
4
5
(10-t)．所以△AQP的面积S=
1
2
2t·4
5
(10-t)=
4
5
-t2+5t
(0<t≤3)．又因为S=
4
5
-(t-5)2+20，
4
5
-<0，0<t≤3，所以当t=3时，△AQP的面积S最大=
84
5
.
(3) t=30
13
秒时，点Q的坐标是(
18
13
，
80
13
)．。