第4讲平面向量应用举例

第4讲平面向量应用举例
第4讲 平面向量应用举例
1．向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
a ⊥
b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21 x 22＋y 22
(θ为a 与b 的夹角)． 2．向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．
3．向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
一个手段
实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．
两条主线
(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．
(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．
考点自测
1．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB
→－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )．
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．无法确定
2．(2013·银川模拟)若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠|b |，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( )．
A ．一次函数且是奇函数
B ．一次函数但不是奇函数
C ．二次函数且是偶函数
D ．二次函数但不是偶函数
3．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值、最小值分别是( )．
A ．4,0
B ．16,0
C ．2,0
D ．16,4
4．(2012·江西)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段
CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2
|PC |2＝( )．
A ．2
B ．4
C ．5
D ．10
5．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA
→＝4，则点P 的轨迹方程是______________________________________________．
A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于
( )． A ．1 B ．－1 C. 3 D.22
2．(2013·九江模拟)若|a |＝2sin 15°，|b |＝4cos 15°，a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值是
( )． A.32 B. 3 C ．2 3 D.12
3.(2012·哈尔滨模拟)函数y ＝tan π4x －π2
的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB
→＝ ( )．
A ．4
B ．6
C ．1
D ．2 4．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，
E ，
F 为边
BC 的三等分点，则AE →·AF
→＝
( )． A.53 B.54 C.109 D.158 二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·温州适应性测试)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD
＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD
→＝________. 6．(2013·东北三校一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
(3b －c )cos A ＝a cos C ，S △ABC ＝2，则BA →·AC
→＝________.
三、解答题(共25分)
7．(12分)(2012·北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
若AB →·AC →＝BA →·BC
→＝k (k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状；
(2)若c ＝2，求k 的值．
8．(13分)已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，3π2. (1)若|AC
→|＝|BC →|，求角α的值； (2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α
的值．。