山西省太原市小店区高二数学上学期9月月考试题(new)

2017—2018学年第一学期高二年级9月测试
数学试题
（考试时间:90分钟 满分：100分 内容：必修四、必修五）
一、选择题（每题3分，共36分)
1．若0<<b a ，则下列不等式成立的是（ ） A. 2b ab < B 。

b
a 1
1> C 。

2a ab > D 。

||||b a < 2．10sin
3
π
的值是( ）
A. 12。

1
2
-
3．已知角α的终边与单位圆交于点1,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
，则cos α的值为( )
A 。

2 B. 12 C 。

1
2
- D. 2- 4．已知向量()()2,1,1,3a b =-=-，则（ )
A 。

//a b
B 。

a b ⊥ C. ()a a b ⊥- D 。

()//a a b -
5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11a a ==，则7S 等于( ） A. 13 B. 35 C. 49 D 。

63
6．同时具有性质“①最小正周期是π;②图象关于直线3x π
=对称；③在,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是增函数”的一个函数是( ) A. sin 2
6x y π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
B 。

cos 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C. sin 26y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
D 。

cos 26y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
7．若不等式210ax bx >＋＋
的解集为1|1 3x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭
，则a b +的值为 ( ） A. 5 B. 5- C 。

6 D. 6-
8．已知()12
tan ,tan 25
ααβ=-=-，那么()tan 2αβ-的值为（ ）
A. 112 B 。

34 C 。

98- D 。

98
9．下列各函数中，最小值为4的是 ( ） A. 4y x x =+
B. 4
sin (0)sin y x x x
π=+<< C. 34log log 3x y x =+ D 。

4x x y e e -=+
10．在边长为1的正ABC ∆中， D ， E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近于点B ），AD AE ⋅等于( )
A 。

16 B. 29 C. 1318 D 。

1
3
11．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2
A
B C =，则下面等式一定成立的为（ ）
A 。

A
B = B 。

A
C = C 。

B C = D. A B C == 12．已知
34a -和4的等比中项为2b ，且1a >,则221
1a b
+-的最小值为（ ) A. 4 B 。

5 C 。

6 D. 8 二、填空题（每题4分，共16分）
13．已知{}n a 为等比数列， 472a a +=， 298a a =-,则110a a +=
14．在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足2PA PB PC AB ++=，则APC ∆与ABC ∆的面积比为 15．已知函数()2sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示,则ϕ=
16．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A 处测得正前方河流的两岸B ， C 的俯角分别为75︒， 30︒，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC 等于 米
三、解答题（17、18每题8分,19、20每题10分,21题12分）
17．已知函数)32sin(2sin )(π
++=x x x f 。

(1）求函数)(x f 的单调递增区间; (2）若将函数)(x f y =的图像向右平移
6
π
个单位，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数)(x g 的图像,求函数的解析式并求其图像的对称轴方程。

18．已知(4,1,3a b ==-。

（1）若//a b ，求a 的坐标；
（2）若a 与b 的夹角为0120,求a b -.
19．在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,面积为S ，已知225
2cos 2cos 222
C A a c b +=。

（1）求证： ()23a c b +=； (2）若1
cos 4
B =
, 15S =b 。

20．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且n a 是2与n S 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21
n n
n b a -=
，求数列{}n b 的前n 项和n T .
21．已知向量33cos
,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， cos ,sin 22x x b ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，函数 ()1f x a b m a b =⋅-++， ,,34x m R ππ⎡⎤
∈-∈⎢⎥⎣⎦
.
（1）若()f x 的最小值为—1，求实数m 的值； （2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+
， ,34x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
有四个不同的零点?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
9月数学答案
一、选择题（每题3分,共36分）
1．若0<<
b a ,则下列不等式成立的是（ ） A 。

2b ab <2a ab > D 。

||||b a < 2．10sin
3
π
的值是
( ） A 。

12 B 。

2。

1
2
-
3．已知角α的终边与单位圆交于点12P ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，则
cos α的值为（ ） A 。

12 C 。

1
2
-4．已知向量()()2,1,1,3a b =-=-,则（ ）
A. //a b B 。

a b ⊥ C 。

()a a b ⊥- D. ()//a a b -
5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11a a ==，则7S 等于（ ) A. 13 B. 35 C 。

49 D 。

63
6．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π
=对称；③在,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是增函数"的一个函数是（ ） A 。

sin 2
6x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
B. cos 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
cos 26y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
7．若不等式210ax bx >＋＋的解集为1|1 3x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭
，则a b +的值为 ( ) A. 5 B. 5- C 。

6 D. 6-
8．已知()12
tan ,tan 25
ααβ=-=-，那么()tan 2αβ-的值为( ）。

34 C 。

98- D 。

98
9．下列各函数中，最小值为4的是 （ ) A 。

4y x x =+
B. 4
sin (0)sin y x x x
π=+<< C. 34log log 3x y x =+ D 。

4x x y e e -=+
10．在边长为1的正ABC ∆中， D ， E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近于点B ）,AD AE ⋅等于（ )
A 。

16
B 。

291
3
11．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2
A
B C =,则下面等式一定成立的为（ )
A. A B =
B. A C = C 。

B C = D 。

A B C ==
12．已知
34a -和4，且1a >，则221
1a b
+-的最小值为（ ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 二、填空题（每题4分，共16分）
13．已知{}n a 为等比数列， 472a a +=， 298a a =-，则110a a += 7-
14．在ABC ∆所在平面上有一点P ,满足2PA PB PC AB ++=，则APC ∆与ABC ∆的面积比为
13
15．已知函数()2sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=
3
π 16．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A 处测得正前方河流的两岸B ， C 的俯角分别为75︒, 30︒，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC 等于 米
(
)
120
31-米
三、解答题（17、18每题8分，19、20每题10分，21题12分）
17．已知函数)32sin(2sin )(π
++=x x x f 。

(1）求函数)(x f 的单调递增区间; （2）若将函数)(x f y =的图像向右平移
6
π
个单位，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数)(x g 的图像，求函数的解析式并求其图像的对称轴方程.
试题解析：
(1)
令,解得
所以的单调增区间为:。

（2）由已知，对称轴方程为:
18．已知(4,1,3a b ==-. （1）若//a b ，求a 的坐标；
（2）若a 与b 的夹角为0120，求a b -.
试题解析:（1）∵(1,3b =-,∴2b =，与b 共线的单位向量为
13,22b
c b ⎛⎫=±=±- ⎪ ⎪⎝⎭
. ∵4,//a a b =,∴(
2,23a a c ==-或(2,23-.
（2）∵04,2,,120a b a b ===，∴cos ,4a b a b a b ⋅==-, ∴()2
22228a b a a b b -=--⋅+=，∴27a b -=。

19．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，已知2252cos 2cos 222
C A a c b +=. （1)求证： ()23a c b +=; (2)若1
cos 4
B =
， 15S =b 。

试题解析：(1)由条件： ()()5
1cos 1cos 2
a C c A
b +++=，
由于: cos cos a C c A b +=,所以: 3
2
a c
b +=，
即： ()23a c b +=. （2） 1
cos 4
B =
,所以： 15sin 4B =。

11
sin 151528
S ac B ac =
== 8ac =. 又： ()()2
2222cos 21cos b a c ac B a c ac B =+-=+-+，
由()
23
a c b
+=，
所以：
2
51
161
44
b⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
，所以：4
b=。

20．已知数列{}n a的前n项和n S，且n a是2与n S的等差中项。

（1）求数列{}n a的通项公式;
（2）若
21
n
n
n
b
a
-
=，求数列{}n b的前n 项和n T 。

试题解析:
(1）∵a n是2与S n的等差中项，
∴2a n＝2＋S n ，①
∴2a n －1＝2＋S n －1，(n≥2) ②
①－②得，2a n －2a n－1＝S n－S n－1＝a n，
即＝2(n≥2)．
在①式中，令n＝1得，a1＝2．
∴数列{a n｝是首项为2,公比为2的等比数列，∴a n＝2n。

（2）b n＝＝．
所以T n＝＋＋＋…＋＋，①则T n＝＋＋＋…＋＋，②①－②得,
T n＝＋＋＋＋…＋－
＝＋2（＋＋＋…＋）－
＝＋2×－
＝－．
所以T n ＝3－
．
21．已知向量33cos
,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝
⎭， cos ,sin 22x x b ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,函数 ()1f x a b m a b =⋅-++， ,,34x m R ππ⎡⎤
∈-∈⎢⎥⎣⎦。

（1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值； （2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+
， ,34x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
有四个不同的零点?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 试题解析：（1）∵33cos
cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫
⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭
, 33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛
⎫+=+- ⎪⎝
⎭，
∴22
33cos cos sin sin 2222x x x x a b ⎛
⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222cos24cos x x +=
∵,34x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
∴24cos 2cos a b x x +==，
()cos22cos 1f x x m x =-+ 22cos 2cos x m x =-，令1cos ,12t x ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
，
∴222y t mt =-∵min 1y =-，对称轴为2m
t =， ①当
122m <即1m <时，当1
2
t =时， min 112y m =-=-∴3
2
m =舍， ②当112m ≤≤即12m ≤≤时，当2
m
t =时， 2min 12m y =-=-∴2m =， ③当
12m >即2m >是,当1t =时， min 221y m =-=-∴3
2
m =舍， 综上, 2m =。

(2）令()()224049m g x f x =+=，即22
242cos 2cos 049
m x m x -+=，
∴
3
cos
7
m
x=或
4
7
m
，∵()
y g x
=, ,
34
x
ππ
⎡⎤
∈-⎢⎥
⎣⎦
有四个不同的零点，
∴方程
3
cos
7
m
x=和
4
cos
7
m
x=在,
34
x
ππ
⎡⎤
∈-⎢⎥
⎣⎦
上共有四个不同的实根,
∴
3
1
7
4
1
27
34
77
m
m
m m
≤<
≤<
≠
∴
7
63
7
{
84
m
m
m
≤<
≤<
≠
∴
7
64
m
≤<.
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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