圆锥曲线知识点总结

班级 姓名 学号 命题人： 审题人： 编号：2013-12-专题-02
圆锥曲线与方程 2013年12月
一. 椭圆与双曲线的基本性质:
椭圆方程及其几何性质 双曲线方程及其几何性质
定义 1212||||2(2||)MF MF a a F F +=>
1212||||2(2||)||MF MF a a F F -=<
定义 追踪 ①若2a=|F1F2|, 则M 的轨迹是线段
②若2a<|F1F2|, 则M 的轨迹不存在 ②若2a<|F 1F 2|，则M 的轨迹不存在
①若2a=|F1F2|, 则M 的轨迹是两条射线
②若2a>|F1F2|, 则M 的轨迹不存在 ②若2a>|F 1F 2|，则M 的轨迹不存在
焦点 焦点在x 轴上
焦点在y 轴上 焦点在x 轴上
焦点在y 轴上 标准 方程
22
22
1(0)x y a b a b +=>> 22
221(0)y x a b a b +=>> 22
221(,0)x y a b a b
-=> 22
221(,0)y x a b a b
-=> 一般方程
(已知过两点时用)
(已知过两点时用)
a,b,c 的
关系
2
22b a c -=
2
22b
a c +=
图形
范围 -a ≤x ≤a, -b ≤y ≤b -b ≤x ≤b, -a ≤y ≤a x ≥a 或x ≤-a,y ∈R y ≥a 或y ≤-a,x ∈R
顶点 1212(,0),(0,)A a B b ±±，， 1212(,0),(0,)B b A a ±±，，
12(,0)A a ±，
12(0,)A a ±，
对称性 关于原点, 轴, 轴对称；长轴长 , 短轴长
关于原点, 轴, 轴对称；实轴长 , 虚轴长
焦点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F -
焦距 )0(2||21>=c c F F
离心率
（离心率越大, 椭圆越扁）
（离心率越大, 开口越大）
渐近线
无
2222
0x y b
y x a a b -==±即
2222
0y x a y x b a b -==±即
焦点三角
形面积 122tan
2
F MF S b θ
∆= ()12F MF θ=∠
(当 为短轴顶点时 最大, 面积也最大)
(当P 为短轴顶点时θ最大，面积也最大)
122
tan
2
F MF b
S θ∆= ()12F MF θ=∠
先定型后定量
焦点在22,x y 分母大的坐标轴上 焦点在22,x y 项系数为正的坐标轴上
二. 椭圆与双曲线的补充性质:
1. 焦点弦的性质: 过椭圆或双曲线焦点的弦叫做焦点弦, 设焦点弦的两个端点坐标分别为 , 则 （1）若 过椭圆的一个焦点 , 则 的周长 ；
（2）若 过双曲线的一个焦点 , 并与双曲线一支相交, 且 , 则 的周长 ；
（3）通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）是最短的焦点弦, 在椭圆与双曲线中, 通径长都是 : 2. 双曲线渐近线的性质: 焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 ；
3. 由渐近线方程求双曲线方程的方法: （此方法一般适用于另一个条件为过一个点） (1)若双曲线渐近线方程为 , 则双曲线方程可设为
(2) 与双曲线122
22=-b y a x 共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b
λλ-=≠
4. 等轴双曲线 方程可设为 , 且具有以下性质:
(1) 离心率 , 即 （2）渐近线方程为 , 即渐近线互相垂直 5．椭圆上的点的设法: 若P 是椭圆 上一点, 则可设 （可用来解决椭圆中的最值问题）
三. 抛物线的基本性质
定义 平面内到一个定点F 的距离与它到一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹。

定义追踪 若F 在l 上则轨迹是一条直线
焦点 焦点在x 正半轴上
焦点在x 负半轴上
焦点在y 正半轴上 焦点在y 负半轴上
标准方程
22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->
图形
焦点坐标 ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭
0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
0,2p F ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
范围 x ≥0, y ∈R
x ≤0, y ∈R
y ≥0, x ∈R
y ≤0,x ∈R
准线方程 2p x =-
2
p
x =
2p y =- 2p y =
焦半径公式 0||2p
MF x =+
0||2p MF x =- 0||2p
MF y =+
0||2p
MF y =-
先定型后定量
一次项定轴, 符号定开口
四. 抛物线的补充性质:
1. 统一方程:
（1）焦点在x 轴上的抛物线统一方程可设为 , 焦点坐标为 , 准线方程为 （2）焦点在y 轴上的抛物线统一方程可设为 , 焦点坐标为 , 准线方程为 2. 抛物线焦点弦的性质:
设直线 过抛物线 的焦点 , 并与抛物线相交于两点
x y
O F 1
F 2 A 1 A 2 M
O x
y
F 1
F 2
A 1 A 2
M
),0,0(12
2
n m n m ny mx ≠>>=+2
21(0)mx ny mn +=<x y O
M
F 1 F 2 A 1 A 2
B 1
B 2 x
y
O M F 1 F 2
A 1
A 2
B 1
B 2
（1）两个定值: , （2）焦点弦长；
（3）轴时, 此时的焦点弦叫做通径, 通径是最短的焦点弦, 且通径长
（4）以为直径的圆必与准线相切；（5）若在准线上的射影分别为, 则五. 直线与圆锥曲线的位置关系:
1．类比点和圆的位置关系, 得点和椭圆的位置关系的判断方法：
（1）P在椭圆内⇔
22
00
22
1
x y
a b
+<（2）P在椭圆上⇔
2
2
2
2
b
y
a
x
+＝1 （3）P在椭圆外⇔
22
00
22
1
x y
a b
+>
2. 过圆锥曲线上一点的切线方程: 类比过圆上一点的切线方程为, 得
（1）过椭圆
22
22
1
x y
a b
+=上一点()
00
,
P x y的切线方程为00
22
1
x x y y
a b
+=；
（2）过双曲线
22
22
1
x y
a b
-=上一点()
00
,
P x y的切线方程为00
22
1
x x y y
a b
-=；
（3）过抛物线上一点的切线方程为, 即；
3. 直线与圆锥曲线的位置关系:
（1）交点个数问题: 联立直线方程与曲线方程, 消去y得到方程Ax2+Bx+C=0, 则
①当A=0时, 直线与曲线相交且只有一个交点（双曲线中也可能直线与渐近线重合, 此时无公共点）；
②当A≠0时, △>0 相交（两个公共点）；△=0 相切（一个公共点）；△<0 相离（无公共点）
（2）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点, 则
||
AB===
（3）中点弦问题: 涉及弦长的中点问题, 常用“点差法”设而不求整体求解。

已知中点为, 设, 则点差法的解题步骤为:
第一步, 代点: 将分别代入圆锥曲线方程, 得到两条方程式；
第二步, 作差: 将两条方程式相减, 然后运用平方差公式、中点公式和斜率公式得到弦所在直线方程的斜率.
第二步, 检验, 即验证直线与圆锥曲线有两个公共点（也即验证△>0）
六. 典型例题:
例1设圆C：(x-1)2+y2=1, 过原点作圆的弦OA, 求OA的中点B的轨迹方程.
例2 在直线上取一点P, 过点P以椭圆的焦点为焦点作椭圆, 求长轴最短时的椭圆方程.
例3 如图, 已知定点, 椭圆, P是椭圆上任意一点, 求
（1）|PF2|+|PB|的最小值；（2）|PF2|+|PA|的最大值和最小值. 例4 已知椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 斜率为1且过椭圆右焦点F的直线, 交椭圆于A,B两点, 与共线. （1）求椭圆的离心率；（2）设M是椭圆上任一点且, 证明：为定值.
例5设双曲线C: 与直线相交于两个不同的点A.B.
（1）求双曲线C的离心率的取值范围；（2）设直线与轴的交点为P, 且,求的值.。