2019-2020年高一下学期期中复习：第三章不等式单元综合测试

2019-2020年高一下学期期中复习：第三章不等式单元综合测试
一、填空题(每小题5分，共70分) 1．不等式x 2≥2x 的解集是( )
2．已知m ，n ∈R ＋
，且m ＋n ＝2，则mn 有最大值( )
3．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则N 与M 的大小关系 ( ) 4．设x ，y >0，且x ＋2y ＝3，则1x ＋1
y 的最小值为( )
5．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0x ＋y ≥0
x ≤0
，则z ＝3x ＋2y 的 最小值是( )
6．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12，1
3
)，则a －b 等于( )
7．某人要买房，调查数据显示：随着楼层的升高，上下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第n 层楼时，环境不满意度为8
n ，
则此人应选( )
8．设函数f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，若当0≤θ<π
2时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的
取值范围是( )
9．不等式x －x 2>0的解集是________．
10．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________．
11．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．那么这种汽车使用________年时，它的平均费用最少．
12．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－
a ≥0在区间上恒成立，则实数a 的取值范围为________．
13．已知则不等式≤5的解集是 ．
14．已知a ＞0，b ＞0，且，则的最大值是 ．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共90分) 15．(本小题14分)已知a >0，试比较a 与1
a
的大小．
16．(本小题14分)已知a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1
c .
17、(本小题15分)已知实数x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，求
(a 1＋a 2)2
b 1b 2
的取值范围（）
18、(本小题15分)设集合A、B分别是函数y＝
1
x2＋2x－8
与函数y＝lg(6＋x－x2)的定义
域，C＝{x|x2－4ax＋3a2<0}．若A∩B⊆C，则实数a的取值范围（）．
19．(本小题16分)某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种规格的金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？
20、(本小题16分)如图3所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长度应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小值．
图3
第三章不等式单元综合测试答案
1、x ≤0或x ≥2.
2、mn ≤(m ＋n 2)2
＝1. 3、解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2
≥0，所以M ≥N . 4、解析：1x ＋1y ＝13(3x ＋3y )＝13(x ＋2y x ＋x ＋2y y )＝13(2y x ＋x y ＋3)≥13(22＋3)＝2
32
＋1，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝32－3，y ＝3－3
2
2时取等号．
5解析：在坐标平面内画出已知不等式组表示的平面区域，此区域是以O (0,0)，A (0,1)，B (－12，1
2)为顶点的三角形内部(含边界)．当x ＝y ＝0时，x ＋2y 取最小值0，所以z ＝3x ＋2y 的
最小值是1.
6、解析：∵2a ＝(－12)×13＝－16，∴a ＝－12.又－b a ＝－12＋13＝－1
6，∴b ＝－2，∴a －b ＝－10.
7、解析：只需求不满意度n ＋8n 的最小值．由均值不等式得n ＋8n ≥42，当且仅当n ＝8
n ，
即n ＝22≈3时，n ＋8
n
取得最小值．
8、解析：∵f (x )＝x 3＋x ，x ∈R 是奇函数且是增函数，∴f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，即f (m sin θ)>f (m －1)，∴m sin θ>m －1，即m <11－sin θ
.∵θ∈上恒成立，只要a ≤0.
13．； 14． 15、解：a －1a ＝a 2
－1a ＝(a －1)(a ＋1)
a
.
因为a >0，所以当a >1时，(a －1)(a ＋1)a >0，有a >1
a ；当a ＝1时，(a －1)(a ＋1)a ＝0，有a
＝1a ；当0<a <1时，(a －1)(a ＋1)a <0，有a <1
a
. 综上，当a >1时，a >1a ；当a ＝1时，a ＝1a ；当0<a <1时，a <1a .
16、解：方法1：∵a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1
bc
＋1ca
＋1ab
<1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋
1
b 2＝1a ＋1b ＋1c
.故原不等式成立． 方法2：∵a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1
c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2
＋
ab ＋bc
2
>abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .故原不等式成立． 17．解：因为x ，a 1，a 2，y 成等差数列，所以x ＋y ＝a 1＋a 2. 因为x ，b 1，b 2，y 成等比数列，所以xy ＝b 1b 2，且xy ≠0. 所以(a 1＋a 2)2b 1b 2＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2
xy
＋2.
当x 、y 同号时，x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，等号成立，又xy ≠0，所以上式≥2xy xy ＋2
＝4；
当x 、y 异号时，x 2＋y 2≥2|xy |，当且仅当|x |＝|y |时，等号成立，又xy ≠0，所以上式≤2|xy |
xy
＋
2＝0. 故(a 1＋a 2)2
b 1b 2
的取值范围为(－∞，0]∪
图2
设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，用料面积为z ，则约束条件为
⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋6y ≥45，
5x ＋6y ≥55，x ≥0，y ≥0，
目标函数z ＝2x ＋3y .
作出可行域，如右图2所示的阴影部分．
目标函数z ＝2x ＋3y 即直线y ＝－23x ＋z 3，其斜率为－23，在y 轴上的截距为z
3，且随z 变化
的一族平行线．
由图知，当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上的点M 时，截距最小，z 最小．
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
5x ＋6y ＝55，
3x ＋6y ＝45，
得M 点的坐标为(5,5)，
此时z min =2×5＋3×5＝25(m 2)，
即两种金属板各取5张时，用料面积最省．
20、解：设AN 的长为x 米(x >2)，由|DN ||AN |＝|DC ||AM |，得|AM |＝3x
x －2
，
∴S 矩形AMPN =|AN |·|AM |＝
3x 2x －2. (1)由S 矩形AMPN >32，得3x 2
x －2
>32，
又x >2，则3x 2－32x ＋64>0，解得2<x <83或x >8，即AN 长的取值范围为(2，8
3)∪(8，＋∞)．
(2)y ＝3x 2
x －2＝3(x －2)2＋12(x －2)＋12
x －2
＝3(x －2)＋12x －2
＋12≥2
3(x －2)×12
x －2
＋12＝24，
当且仅当3(x －2)＝12
x －2
，即x ＝4时，取等号，
∴当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．。