课时作业24：1.1.3 导数的几何意义

1.1.3 导数的几何意义
一、选择题
1．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( )
A ．f ′(x 0)>0
B ．f ′(x 0)＝0
C ．f ′(x 0)<0
D ．f ′(x 0)不存在
2．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32
)处切线的倾斜角为( ) A ．1
B.π4
C.54π D ．－π4
3．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点P 处的切线平行于直线y ＝9x －1，则切线方程为( )
A ．y ＝9x
B ．y ＝9x －26
C ．y ＝9x ＋26
D ．y ＝9x ＋6或y ＝9x －26
4．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )
5．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0
f (1)－f (1－x )2x
＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )
A ．2
B ．－1
C ．1
D ．－2
6．设P 为曲线C ：y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[π4，π2
]，则点P 的横坐标的取值范围为( ) A ．(－∞，12
] B ．[－1,0] C ．[0,1]
D ．[－12，＋∞)
二、填空题
7．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a
＝________. 8．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋1在点M 处的瞬时变化率为－4，则点M 的坐标为________．
9．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12
x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 10．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．
三、解答题
11．若曲线y ＝f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16
，求a 的值．
12.已知抛物线y ＝f (x )＝2x 2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标．
(1)切线的倾斜角为45°；
(2)切线平行于直线4x －y －2＝0；
(3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.
13．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．
参考答案
1．C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.D 7.2
8．(－1,3) 9.3 10.4
11．解 ∵f ′(a )＝lim Δx →0 (a ＋Δx )3－a 3
Δx
＝3a 2，∴曲线在(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，切线与x 轴的交点为(23
a,0)． ∴三角形的面积为12|a －23a |·|a 3|＝16
，得a ＝±1. 12．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，
则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1
＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，
∴y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0
Δy Δx
＝4x 0， 即f ′(x 0)＝4x 0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1，
即f ′(x 0)＝4x 0＝1，解得x 0＝14
， ∴切点坐标为(14，98
)． (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，解得x 0＝1， ∴切点坐标为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，
∴k ·(－18
)＝－1，即k ＝8， ∴f ′(x 0)＝4x 0＝8，解得x 0＝2，
∴切点坐标为(2,9)．
13．解 ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0
[3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2]＝3x 20＋2ax 0－9， 即f ′(x )＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23
， 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取到最小值，为－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.
∴－9－a 23
＝－12，解得a ＝±3，
又a<0，∴a＝－3.。