全等三角形全套练习题之欧阳语创编

全等三角形
一、全等三角形
1、定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

特征：形状相同、大小相等、完全重合。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

平移、翻折、旋转前后的图形全等。

2、全等三角形的表示：
“全等”用“≌”表示，“∽”表示两图形的形状相同，“=”表示大小相等，读作“全等于”。

注意：记两三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。

全等三角形的对应元素：对应顶点，对应边，对应角
3、全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

4、全等三角形的判定
（1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”）
（2）边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”）
（3）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”）
（4）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”）
（5）斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”）
5、证明两个三角形全等的基本思路：
二、角的平分线
1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意的问题
（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；
（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”。

F
E D
B A （一） 三角形全等的判定一（SSS ）
1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？
２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．
求证△ACD ≌△CBE ．
３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，
AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ．求证∠A=∠
D ． ４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D. ５．如图，AD ＝BC ，AB ＝DC ，D
E ＝BF.求证：BE ＝DF.
（二） 三角形全等的判定二（SAS ）
1．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA=OC ，OB=OD ．求证DC ∥AB ．
2．如图，△ABC ≌△A B C '''，AD ，A D ''分别是△ABC ，△A B C '''的对应边上的中线，AD 与A D ''有什么关系？证明你的结论．
3．如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论． 4．已知：如图，AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA ．
C A A C E A C E
D B
A D C B
H F E D C
B A 5．已知：如图AD ∥B
C ，AD=CB ，AE=CF 。

求证：△AF
D ≌△CEB ．
6．已知，如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。

求证：△ABD ≌△ACE ． 7．已知：如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB ∥DE ，
且AB=DE ，BE=CF.求证：AC ∥DF ．
8．已知：如图，AD 是BC 上的中线，且
DF=DE ．求证:BE ∥CF ．
9．如图，在△ABC 中，分别延长中线BE 、CD
至F 、H ，使EF ＝BE ，DH ＝CD ，连结AF 、AH ． 求证：（1）AF ＝AH ；
（2）点A 、F 、H 三点在同一直线上；
（3）HF ∥BC. 10．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ，直线EF 交AC 于F ，交AB 于E ，交BC 的延长线于D ，连结AD 、BF ，CF ＝CD. 求证：BF ＝AD ，BF ⊥AD.
11．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．（提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）
12．证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对
A E
B
C F D
2
A
C B E
D 1 A B
E F
应相等，那么这两个三角形全等．
13.已知：如图，正方形ABCD ，BE=CF ，求证：
(1)AE=BF ；（2）AE ⊥BF.
14．已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分∠EBC ，交CD 于F ，求证BE=AE+CF.（提示：旋转构造等腰）
15.如图，△ABD 和△ACE 是△ABC 外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=900.
（1）判断CD 与BE 有怎样的数量关系；
（2）探索DC 与BE 的夹角的大小；
（3）取BC 的中点M ，连MA ，探讨MA 与DE 的位置关系.
（三）（四） 三角形全等的判定三、四（ASA 、AAS ）
1．如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，FB=CE ，AB ∥
ED ，AC ∥FD ．求证AB=DE ，AC=DF ．
2．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于
D ，AD=2.5cm ，DE=1.7cm ．
求BE 的长．
3．已知，D 是△ABC 的边AB 上的一点，DE 交AC 于点E ，DE=FE ，FC ∥AB.
求证：AE=CE. 4．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ．求证：△ABD ≌△CDB.
A D E F
G F E D C A B A
D B C
F E
A B C D E F 5．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，CE ⊥AB 于E ，AF 平分∠CAB 交CE 于点F ，过F 作FD ∥BC 交AB 于点D.求证：AC ＝AD.
6．如图，AD ∥BC ，AB ∥DC ，MN ＝PQ. 求证：DE ＝BE.
7．如图, 在ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分B ，DE ⊥BC 于E ，且BE ＝EC.
（1）求∠ABC 与∠C 的度数；
（2）求证：BC ＝2AB.
8．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 上一点，且AE 、BE 分别平分∠BAD 、∠ABC.
（1）求证：AE ⊥BE ；
（2）求证：E 是CD 的中点；
（3）求证：AD+BC=AB.
9．已知，如图Rt △ABC ，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，D 为垂
足，∠ABD 的平分线交AD 于E 点，EF ∥AC ，求证：AE=EF. 10．△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°，AB=AC.
（1）若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN.
（2）若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N. 问DM 和DN 有何数量关系？
11．已知：C 点的坐标为（4，4），A 为y 轴负半轴上一
B C
E A D A
B E
动点，连CA ，CB ⊥CA 交x 轴于B.
（1）求证：CA ＝CB ；
（2）问OB －OA 是否为定值，是定值并求其定值.
12．已知A （－4，0），B （0，4），C （0，－4），过O 作OM ⊥ON 分别交AB 、AC 于M 、N
（1）求证：OM ＝ON ；
（2）连MN ，MN 交x 轴于Q ，若M 点的纵坐标为3，求M 与N 的坐标。

（五） 三角形全等的判定五（HL ）
1．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高．求证：
(1)BD=CD ；(2)∠BAD ＝∠CAD ．
2．如图，AC ⊥CB ，DB ⊥CB ，AB ＝DC ．求
证：∠ABD ＝∠ACD ．
3．已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，
E ，
F 是垂足，DE BF =．
求证：（1）AF CE =；（2）AB CD ∥． 4．如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，
且DB=DC ，求证：EB=FC
5．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥
AC ，垂足分别是E ，F ，BE=CF ．
求证：AD 是△ABC 的角平分线．
A C
B A
D E
C B F A B C O
（六）角的平分线的性质
1．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD 相交于点O，OB=OC．
求证∠1=∠2．
2．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD ⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E．F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证DF=EF．
3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．
求证：AD是△ABC的角平分线．
4．如图，在ABC中，∠A＝90°，BD平分B，DE⊥BC于E，且BE＝EC.
（1）求∠ABC与∠C的度数；
（2）求证：BC＝2AB.
（七）倍长中线法与截长补短法
1．在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边的中线，则AD的长的取值范围是（）.
A.1<<4
B.3<<5
C.2<<3
D.0<<5
2．AD是△ABC中BC边上的中线，AB=4，AC=6，则AD 的取值范围是.
3．如图，△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角
形，∠BAD=∠CAE=900.
（1）判断CD 与BE 有怎样的数量关系；
（2）探索DC 与BE 的夹角的大小；
（3）取BC 的中点M ，连MA ，探讨MA 与DE 的位置关系.
4．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 上一点，且AE 、BE 分别平分∠BAD 、∠ABC.
（1）求证：AE ⊥BE ；
（2）求证：E 是CD 的中点；
（3）求证：AD+BC=AB.
5．如图△ABC 中，∠A=500，AB>AC ，D 、E 分别在AB
AC 上，且BD=CE,∠BCD=∠CBE ，BE 、CD 相交于O 点，
求∠BOC 的度数.
6．△ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥DF ，E 在AB 边上，F 在AC 边上，判断并证明BE+CF 与EF 的大小？.
7．已知：如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠1=∠2，求证：BC=AB+AD ．
（分别用截长法和补短法各证一次）
8．已知，如图，在正方形ABCD 中
AB=AD ，∠B ＝∠D ＝90°．
（1）如果BE ＋DF ＝EF ，求证：①∠
EAF ＝45°；②FA 平分∠DFE ．
（2）如果∠EAF ＝45°，求证：①BE ＋
O E D B A A B C
D E F A B C
D E F A
2 1 C B D
DF＝EF．②FA平分∠DFE．
（3）如果点F在DC的延长线上，点E在CB的延长线上，且DF－BE＝EF，求证：①∠EAF＝45°；②FA平分∠DFE．（画图并证明）
（八）全等三角形检测
一、选择题：
1.在△ABC、△DEF中如果∠C=∠D，∠B=∠E，要使△ABC≌△FED，还需要的条件是（）
A.AB=ED
B.AB=FD
C.AC=FD
D.∠A=∠F
2.如图：AB∥CD，AD∥BC，AC、BD交
于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F
点，那么图中全等三角形共有（）
A.5对
B.6对
C.7对
D.8对
3.如图，D在AB上，E在AC上且∠B=
∠C,那么补充下列一个条件后，仍无
法判定△ABE≌△ACD的是（）
A.AD=AE
B.∠AEB=∠ADC
C.BE=CD
D.AB=AC
4.如图：某同学把一块三角形玻璃打碎成了三
块，现有要到玻璃店去配一块完全一样的玻
璃，那么最省事的办法是（）
A.带①去
B.带②去
C.带③去
D.带①和②去
5.下列说法中，正确的个数是（ ）
①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等；③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；④有两边相等的直角三角形全等；⑤腰和一个角分别对应相等的两等腰三角形全等。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 为BC 边的中线，则AD 的长的取值范围是（ ）. A.1<<4 B.3<<5 C.2<<3 D.0<<5
7.下列四个命题: ①直角三角形只有一条高线；②有两边对应相等的两个直角三角形一定全等；③两内角之差等于第三个内角的三角形必为直角三角形;④腰和底角对应相等的两个等腰三角形一定全等.其中正确的命题有( ).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.等腰三角形周长为a ，一腰的中线将周长分成5:3两部分,则它的底边长为（ ）. A.6a B.2a C.6a 或2a D.45a
9.下列条件中，能判断两个等腰三角形全等的条件的个数是( ）.
G E D B A P A B
D E F ①顶角和一条腰对应相等； ②一条腰和底边对应相等；
③顶角和底边对应相等； ④两条腰和底角对应相等．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 10.已知：如图，BD 为△ABC 的的角平
分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上
的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F
为垂足. 下列结论：①△ABD ≌△EBC ；
②∠BCE+∠BCD=180°；③
AD=AE=EC ；④BA+BC=2BF. 其中正
确的是( ).
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.①
②③④
11.如图：已知AD ⊥AB ，AE ⊥AC ，
AD=AB ，AE=AC 则下列结论：①∠
DAC=∠BAE ；②△DAC ≌△BAE ；③
DC ⊥BE ；④MA 平分∠DME ；⑤△
BMC ≌△CEA ；正确个数是（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
12.如图P 是等腰Rt △ABC 斜边AC 上任
意一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于F ，
PG⊥EF于G，在GP的延长线上取一点
D,使PD=PB,则BC与DC关系是
（）
A.BC=DC
B.BC=DC，且BC⊥DC
C.BC>DC
D.BC⊥DC
二．填空题：
13.AD是△ABC中BC边上的中线，AB=4，AC=6，则AD 的取值范围是.
14.如图△ABC中，∠A=500，
AB>AC，D、E分别在AB、AC上，且
BD=CE，∠BCD=∠CBE，BE、CD相交
于O点，则∠BOC的度数为.
15.已知：如图，点A在线段DE
上，点F在线段AB上，且∠1=∠2=
∠3，要使得△ABC≌△EDC，需要添加
的一个条件是
_____________(只需写出一个满足的条件)
16.已知△ABC中，高AD与高BE交于H点，BH=AC，
则∠ABC的度数等于.
17.如图，∠1=∠2=25°，∠3=∠4，∠5=∠6，则∠7=.
18.有一张等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，
7
6
5
4
3
2
1
O
E
D
B
A
3
2
1
E D
C B
A
F
E
D C B A 将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为度.
三．解答题：
19．如图，已知：AB=AC ，
AD=AE ，∠BAC=∠DAE ．
求证：△ABD≌△ACE．
20．如图，AB ＝AD ，BC ＝DE ，∠1＝
∠2.
求证：（1）AC ＝AE ；（2）∠
CAE ＝∠CDE.
21．已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F.
求证：AF ＝EF ．
22．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C
作CE ⊥AB 于E ，并且AE=21（AB ＋AD ）． （1）求证：BC=DC ；（2）求∠ABC
＋∠ADC 的度数．
23．如图，△ABE 和△ACF 分别是以△ABC 的AB 、AC 为一边在形外所作的等边三角形，BF 与CE 相交于O ．
①求证：BF=EC ．②求∠EOB 的度数．③求证：OA 平分∠EOF ．
A B C
D E F A B
C D E。