高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(ωx+φ)的

1.8 函数y=Asin( 3x+© )的图像
问题导学
1 .用"五点法”作正弦函数 y = A sin( 3 x +0 )的图像
S3活动与探究1
用“五点法”作出函数 y = 2sin 2x +n3的简图，并指出这个函数的振幅、 周期、频率、
初相和单调区间.
S3迁移与应用
用“五点法”作出函数 y = 3sin 的图像，并指出它的振幅、周期、频率、初相、 幺4/
相位.
--------------------------- <5 g
悻 «
“五点法”作图，要抓住要害，即要抓住五个关键点， 使函数式中的 3 x + 0分别取0, 3 n
2, n , —, 2 n ，然后求出相应的x , y 值，作出图像.
2.图像变换
S3活动与探究2
用两种方法将函数 y = sin x 的图像变换为y = 2sin i 3x +才 的图像. =3活动与探究3
1
1
将函数y =f (x )的图像上每一点的纵坐标变为原来的
q ，再将横坐标变为原来的 刁 最后
函数 y = A sin( 3 x + 0 )( A > 0, 3 > 0)的图像与 y = sin x (1) 函数 y = A sin( 3 x + 0 ) + k (A >0, 3 >0)中的 A , 3 , 形状和位置会相应地发生变化，其中 A 和3确定图像的形状，
相对位置关系，图像的基本变换有以下几种：
-橫坐标忡长到眾来的丄倍
0)
" y = sin(
A >1,纵坐标伸长到原来的 A 倍
八
0<A <1,纵坐标缩短为原来的 A 倍y
=
A
sin( 3 x +
将整个图像向左平移专个单位，可得y = sin x 的图像, =3迁移与应用 函数 y = 2-sin j 2x —— __________ 个单位得到. —的图像可以看作把函数 求函数 1
y
=2
sin 2
f (x )的解析式.
x 的图像向 平移
a . 振幅变换： 由 A 的变化引起.
b . 周期变换： 由 3的变化引起
c . 相位变化： 由 0的变化引起
d . 上下变化： 由 k 的变化引起. ⑵ 图像变换的两种途径的差异：
① y =
sin
x
a .先相位变换后周期变换; 换.
b .先周期变换后相位变
0 >0,图像左移 0个单位
| 0 | 个单位 0 <0,图像右移 .横坐折缩短为原来的丄倍 to
sin( x +
名1孑❺津 的图像的关系； k , 0变化时，函数图像的 和
k 确定图像与坐标轴的 3 x + 0 )
②y = sin x
1 *横坐标縮短到原来的丄倍
>■ 横坐标伸长到原来的丄倍
护>0.图像左移王个单位 tt? 乎V0*图像右移卫个单位
M
y
y = sin
A >1,纵坐标伸长到原来的 A 倍 「、
0)0<A <1,纵坐标缩短为原来的 A 倍y
=加门(3 x+ 0
)
. 3.根据图像确定函数解析式 S3活动与探究4 如图，它是函
数 y = A sin( 3 该函数的解析式. sin( 3 x +
)的图像，由图中条件写出
=3
迁移与应用 1.函数 f (x ) = A sin( 3 x +0 )(0 <^< 2 n, A > 0, «> 0)的部分图像如图所示，则 f (0) 的值是 _____________ . 0 /
、7兀 \辽
才
0 x
-J2 ___
求函数表达式. 2.函数 f (x ) = A sin( 3
由图像确定函数y = A sin( 3 x + 0 )的解析式，主要从以下三个方面来考虑:
(1) A 的确定：根据图像的“最高点，最低点”确定 A ;
2 n
(2) 3的确定：结合图像先求周期 T ,然后由T =
( 3 > 0)确定3 ; 3
(3) 0的确定：常用的方法有：
①代入法：把图像上的一个已知点或图像与 x 轴的交点代入(此时，A, 3已知)求解.(此
时要注意交点在上升区间还是在下降区间上
)
为 3 X + 0 = 2 n . 3 x + 0 ) + b 的性质及综合应用 =3活动与探究5
3
x + 0 — nn + 1(0 <0<n, 3 > 0)为偶函数，且函数 y = f (x )
n
nn 的值；
(2)将函数y =f (x )的图像向右平移 卡个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长
6
为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数
y = g ( x )的图像，求g (x )的单调递减区间.
=3迁移与应用
2 n
有最大值为2，当x =~3时，y 有最小值为—2.
(1) 求函数f (x )表达式；
(2) 若g (x ) = f (— x )，求g (x )的单调递减区间.
(1)
函数 y = A si n( 3 x + 0 )( A > 0, 3 > 0)为偶函数？ 0 = k n +?k € Z);为奇函数？ 0= k
n ( k € Z).同理，函数 y = A cos( 3 x + 0 )( A > 0, 3 > 0)为偶函数？ 0 = k n ( k € Z);
n
为奇函数？ 0 = k n + —( k € Z).
(2) 求y =A sin( 3 x + 0 )或y = A cos( 3 x + 0 )的单调区间时，首先把x 的系数化为正的，
再利用整体代换，即把
3 x + 0代入相应不等式中，求解相应的变量 x 的范围.
当堂检测
1.函数y = 2sin jx +于丿的周期、振幅各是( ).
A. 4 n ,——2 B . 4 n , 2
②五点法: 确定0的值时，往往以寻找“五点”中的第一个“零点” 30
作为突
破口.“五点”
“第一点” “第一占”
“第三点” “第四点” 3 x + 0的值具体如下： x 轴的交点)为3 x + 0 = 0;
、一
n )为 3 x + 0 = ; x 轴的交点)为3 x + 0 = n ; 亠
3 n
x 中的 (即图像上升时与 (即图像的“峰点” (即图像下降时与
(即图像的“谷点”
“第五点” 4. y = 已知函数f (x ) = 2sin
图像的两相邻对称轴间的距离为
2
•
已知函数 f (x ) = A sin( 3 x + 0 ) iA>0,
<专在一个周期内，当x =nn 时，y
C. n , 2 D . n ,——2
1
要得到y = sin )2x — -3的图像，只要将 y = sin 2 x 的图像( ).
n
=2
，0 =— 6
已知函数 f (x ) = A sin( 3 x +0 )(A > 0, 3 > 0, | 0 | <专)上的最高点为(2 , 2), 该最高点
到相邻的最低点间曲线与
x 轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数在 x € ［—
6,0］上的值域.
答案：
课前预习导学 【预习导引】
预习交流3 D
2. A. 向左平移才 .向右平移 C. 向左平移
.向右平移
3. 如图所示, A.
10
3
= 11,
C.
4. 函数 y = 2sin j 2x + 才 在［0 , n ］上的单调减区间是
5
. 1. 0, 2，
预习交流
3 最大值 2n 1 3 T =
7 1 2.值域
周期 T =
3n
亍,2 n 2 n n 4 n 7 n
，3， 3， 3 最小值振幅
10n
，3
初相 3 x + 0
预习交流2 — 5,
2n 1 3
5
已知函数
3 11,
6
( ).
1
2 n
4. R [ — A , A ]
k n
1 o 1
n _ n _
n _
2k n + 2k n +
2k n
2 2 2
预习交流4略 课堂合作探究 【问题导学】
活动与探究1
列表时2x + + 2,k€ Z
3n +
c o
2k n
3 n
—,2n ,再求出相应的x 值和y 值.
'，12, 2
，寸，0
，77，— 2
，善，0
.
n
石，0, ”
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如下图所示.
（2）描点：在直角坐标系中描出
点
肿
2 0 — / |\3
兀/ :\/ 氏 5TI
6/ i y 12 6 r
O J L \ ；
12
\[/ -2 ---
利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到
2sin 2x +才,x € R 的简图（图略）. 这个函数的振幅是 2,周期是=n ，频率是f =〒： 7 n 1 k n +p （k € Z）.
12 , k n +
話（k
€ Z ）. 函数的递减区间为
71 同理，递增区间为 k
n
1
-，初相是专 n 3 1 迁移与应用图略振幅为3,周期是4
n,频率为47, n 1 n
初相为——，相位是--^.
活动与探究2 解：方法一：（先平移后伸缩）y = sin x 的图像 横坐标缩短为原来的+ 向左平移千个单位
4
sin 3x + n
-y = sin x +4的图像
横坐标不变 纵坐标不变
横坐标不变 I
n
I 勺图像纵坐标伸长为原来苗2倍
y
= 2sin
?x +
T 丿的图
像.
=3.
横坐标缩短为原来的+
•••f
(x )的解析式为 f (x ) = 2sin i
n 8 ， 1 n
•••由y =£Sin 2 x 的图像向右平移 号个单位便得到
2
8
y = q
sin |2x —-4 的图像.
活动与探究4解：由图像知，A = 3.
T 5 n
n n 十 •「_= -- — — = —, • T = n .
2 6
3
2'
2 n
• w = ~r~ = 2.
•- y = 3sin （2 x +0 ）.
下面求0 .
方法一：（单调性法） •••点才,0在递减的区间上，
2n
•
T + 0
*
■. /口 2 n
+ 0 = 0,得 + $ = n+ 2k n , k € Z, 丿
3
n
•- 0 = 2k n + —, k € Z.
3
冗
又••• | 0 | v n ,• 0 =亍 方法二：（先伸缩后平移）y = sin x 的图像
向左平移令个单位 纵坐标不变
y =
sin
3x 的图像 y = sin j 3x + * 的图像 纵坐标伸长为原来的
横坐标不变
2sin j 3x + ； 【勺图像. n
活动与探究3解：将y = sin x 的图像向右平移 y 个单位得到 把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的
sin i [x 的图像上所有点的纵坐标变为原来的
2 3
y = sin i x —-3 的图像，
冷的图像，再把 y =
3
2倍得到y = 2sin i [x -£的图像.
v?
3
丿
2倍得到y = sin j lx 迁移与应用 右n 8
解析：y = qsin i 2x —才
3n
2k n , ~2~ + 2k n
占.
i
2 n
由 sin i
<3
,k € Z.
方法二：（最值点法）将最高点坐标12, 3代入y= 3sin（2 x + 0 ），得3sin 2X令+ 0 =3.
•- 0 +n=n + 2k n , k € 乙
6 2
n
0 = 2k n + —, k € Z. n
又••• | 0 | <
n ,- 0 = -3.
方法三：(起始点法)函数y = A sin( 3 x + 0 )的图像一般由“五点法”作出，而起始点 的横坐标x 正是由3 x + 0 = 0解得的，故只要找出起始点的横坐标 x ,就可以迅速求得初 相0 .
由图像求得x o =-^.
6
丄匚 「 n \ n
故 0 =
— 3 X o = - 2X I ——=—.
n
方法四：(平移法)由图像知，将y = 3sin 2 x 的图像沿x 轴向左平移~6个单位，就得到 本题图像，故 0 = 2X = +
6
3
迁移与应用 1
• ¥
n x + n
U x+
4 丿
活动与探究5解：(1) ••• f (x )为偶函数,
6 = k n + -2( k € Z), =k n + 牛，k € Z.
综上，所求函数的解析式为
y = 3sin j 2x + 专.
2. f (x ) = 4sin
r
x n
卄
2 n 8 n _,
、/、十
当 2k n W — ~3 W2k n + n (k € Z)，即 4k n+~^W x W4k n+丁(k € Z)时，g (x )单调
又••• 2n
0< 0 < n ,. 0 =
又函数y = f (x )的图像的两相邻对称轴间的距离为
7t
2，
2 n n ••• —= 2X
3 = 2.
3 2
故 f (x ) = 2cos 2 x + 1, n
因此 f =2cos j 2X nn + 1 = ,2 + 1.
n 1 n 1
⑵ 将f (x )的图像向右平移 6个单位后，得到f X —石 的图像，再将所得图像上各点的
7t
横坐标伸长为原来的 4倍，纵坐标不变，得到
所以 g (x ) = f ：—"6 = 2cos |2( .f (x ) = 2sin i 3 x +
1 = 2cos 3 x + 1.
1
=2cos
1
递减.
. n
(2) |- g+ k n ,
【当堂检测】 因此g (x )的单调递减区间是 (k € Z). 2n ~3~， 4k
n + 8n 迁移与应用 ⑴f (x ) = 2sin k €乙 1. B 2. D 3. 值域是[—.2, 1].
C 4 •仔気
]12 12。