构建求解圆锥曲线综合题的算法

构建求解圆锥曲线综合题的算法本文所指的圆锥曲线综合题，指以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，考查考生运用代数方法研究圆锥曲线性质的一类综合题。

此类问题是高考的必考内容。

解决此类问题是否有一个基本的操作范式，可以让学生有依可循？寻找求解圆锥曲线综合题的算法就是本节复习课的目标。

下面按照教学设计的基本要素展开叙述。

教学任务分析：
圆锥曲线的综合题对学生来说是一个难以逾越的坎，原因主要有以下方面：1、知识的综合性强，涉及到了圆锥曲线的概念、方程、性质，在解决问题时往往要用到函数、方程、不等式、导数、向量等数学主干知识。

2、变量多，学生不能准确地引入变量，采取有效地措施处理多个变量之间的关系3、运算量大，需要学生有较强的运算能力与细心、恒心等数学品质。

4、要求学生有较强的分析问题与解决问题的能力，能自觉地运用化归、数形结合等数学思想解决问题。

降低此类问题的难度，增强学生成功求解的信心，是提高得分率的关键。

本节课的任务就是学生通过求解09高考浙江省理科第21题，能够概括、总结出基本的解题步骤，构建出解决此类问题的算法。

学生能初步掌握执行算法的每一步骤中相应的策略性知识。

教学情境设计：
呈现问题，学生独立求解
教师给出如下问题：（浙江卷理21）已知椭圆：的右顶点为，过
的焦点且垂直长轴的弦长为．
（i）求椭圆的方程；
（ii）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．
先由学生得出问题（i）的答案，再由全班学生独立求解问题（ii），时间12 分钟左右。

并由一名中等以上程度的学生板演问题（ii）。

教师在班级巡视、观察，了解学生的解题过程与困难，为后面有针对性的分析作好准备。

二、分析学生解题表现，点拨难点并形成策略
分析学生的解题表现，总的思路是先整体概括出解题的步骤构成，再从局部分析每一步骤中采用的策略，教师引导学生概括出解题的步骤主要有三大步：引入变量，表示出直线方程；联立直线与圆锥曲线的方程，建立变量的等量关系；分析变量之间存在的等式与不等式，转化成函数问题。

对于第一步恰当地引入变量是问题解决的基础。

比如本题学生可能有两种引入方法，一种是设动点p的坐标为利用导数的知识可知抛物线在点p处的切线斜率为，直线mn的方程为，引入的变量只有一个就是，另一种是设直线的方程是：，利用直线与抛物线相切，直线与椭圆相交，可得出之间存在三个关系：，，。

对于这三个式子先处理哪一个？式子如何整理？都需要学生分析。

比较这两种方法可知，变量引入方式的不同，导致解题难度、解题长度不同。

由于学生不容易解决多变量的问题，因而要求学生在引入变量时要
分析原问题中独立变量的个数，尽量让问题显得简单，有利于自己把握。

第二步建立变量之间存在的等量关系是问题解决的关键。

变量之间等量关系建立的途径是把问题中的几何条件转化成坐标之间代数关系，然后利用韦达定理得到变量之间的等量关系。

本问题不存在转化的困难，改成如下条件：，或为锐角，引导学生利用向量思想分别转化成与，利用向量的坐标运算即可得出相应的坐标之间的代数关系。

第二步骤的分析中让学生学会简化运算，在解题时要具备以下意识：概念的意识—根据定义解题是最基本的方法；设而不求的意识—设有关动点的坐标，灵活运用韦达定理；向量的意识—用向量的运算处理有关角度，长度、平行、垂直、共线等问题。

第三步是分析变量之间的代数关系，转化成特定的代数问题并准确求解是问题解决的核心部分。

学生也往往是在这一步半途而废。

本例中分析组成的一条不等式与等式（这里参考标准答案，见附录）①，②，可转化成函数与方程的问题。

对于式②可利用方程有解的角度得出，也可化成求函数值域的方法，得出或。

由于式①是一个复杂的四次不等式，学生的困难会表现在不知如何否定？，标准答案给出的方法很简单，然而很少有学生具备标准答案给出的数的估算意识。

这是一个考验高手的地方。

教师要让学生认识到虽然把几何问题转化成了一个代数问题，但这个代数问题不能脱离原来的几何背景，可有如下办法：重新审题可知这两个变量的关系是存在的值使得关于的不等式①有解，方程②有解，这样比较自然的
是利用两个判别式，，得出；数形结合，观察当时抛物线在椭圆的下方不符合条件，也可以观察动点p的位置只能在轴的左边，这些都是否定明智的办法。

然后在的条件下代入式①肯定。

概括解题步骤，形成求解一类问题的算法
用流程图给出求解圆锥曲线综合题的算法：
提供配套练习，形成技能
为了使学生进一步体会每一步骤中的解题策略，要件相应的练习。

布置学生做2009年江苏省、辽宁省、天津市三个地区的理科试题中解析几何的解答题。

附录一：浙江卷理21的答案
解析：（i）由题意得所求的椭圆方程为，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ii）不妨设则抛物线在点p处的切线斜率为，直线mn的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线mn与椭圆有两个不同的交点，所以有，
设线段mn的中点的横坐标是，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
设线段pa的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；
当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．。