初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题24 相交线与平行线_答案[精品]

专题24 相交线与平行线
例1 （1）40° 过点 C 作CF ∥AB ，则∠BCF ＝∠ABC ＝80°．∠DCF ＝180°—140°＝40°，∴∠BCD ＝80°－40°=40°.
（2）90° 过点E 作EM ∥AB ，∴AB ∥CD ，∴EM ∥CD ，∠AEM =180°−25°=155°. ∠CEM =180°−115°=65°，∴∠E =∠AEM −∠CEM =155°−65°=90°.
例2 D 提示：原图可分解为8个基本图形.
例3 提示：由DF ∥CE 得，∠BDF =∠BCE ，∠FDE =∠DEC ，AC ∥DE ，得∠DEC =∠ECA .
例4 过E 作EM ∥AB .∴AB ∥于CD ，∴EM ∥CD .
∴∠AEC =∠AEM +∠CEM =∠EAB +∠ECD .同理：∠AFC =∠FAB +∠FCD .∴∠AEC =∠FAB +∠FCD +∠EAF +∠ECF =∠AFC +14∠EAB +14+∠ECD =∠AFC +14∠AEC .故∠AFC =34∠AEC .
例5 提示：先证BD ∥CE ，再证DF ∥BC .
例6 （1）直线a ，b ，c ，d 共有1个交点，理由如下：设直线a ，
b ，
c 的交点为P ，直线b ，c ，
d 的交点为Q .这意味着点P 和点Q 都是直线b 和
c 的交点.而两条不同直线至多有一个交点.因此P 和Q 必为同一个点.
即4条直线a ，b ，c 和d 相交于同一个点.因此这4条直线只有一个交点.
(2)不妨设（1）中交点为O .因为作的第5条直线e 与（1）中的直线d 平
行，所以直线e 和直线d 没有公共点，因此这些e 不过点O .而直
线a ，b ，c 与直线e 必然都相交.
如图所示.
设直线e 与直线a ，b ，c 分别相交于点A ，B ，C .这时有A ，B ，C ，O 共四个不同的点.可以连出OA ，OB ，OC ，AB ，AC ，BC 共6条不同的线段.
A 级
1.a 1∥a 10
2.20°
3.①②③④
4.90°
5.D
6.B
7.C
8.D 提示：m =5，n =6，m +n =5+6=11.
9.60° 10.提示：过点E 作EF ∥AB . 11如图所示.
12.作C ∥FG ，延长GF ，CD 交于H 点，则∠1+∠2=∠ABC ，故∠ABC +∠BC =180°，即C ∥AB ，AB ∥GF .
B 级
1.120°
2.72°
3.50°
4.30°
5.C 提示：∠2=50°+d ，∠3=50°+2d ，∠4=50°+3d ，又∵∠3=50°+2d <90°，∴d <20°，∠4=50°+3d <110°.故∠4的最大整数值为109°.
6.B
7.D
8.B 提示：由题意知每一个交点由a 上两点和b 上两点所确定.在
a 上取两点有12×10×9=45种情况，在
b 上取两点有12×9×8=36种情
况，故
交点个数为45×36=1620个.
9.提示：过点O 作CD 的平行线.
10.如图，设N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB .
又MF ∥AD ，∴∠FMN =∠BAD =∠DAC =∠MFN .
∴FN =MN =12AB . 因此FC =FN +NC =12AB +12AC =12（AB +AC ）=1
2（7+11）=9. 11.提示：在平面上任取一点O ，将已知的七条直线平移过点O ，它们把以O 为圆心的圆周角分成14个彼此相邻的角a 1,a 2,……，a 14其中的每一个都和原某两条直线交角中的一个相等，假设a i (i =1,2,……,14)都大于180°
7，则a 1+a 2+……+a 14>14×180°
7=360°，与a 1+a 2+……+a 14=360°矛盾，由此可推出结论.
12.(1)180° 360° 540° 720° 证明略.（2）（n -1）180°
（3）过F 作FG ∥AB ，则AB ∥FG ∥CD .
则∠BFD =12（∠ABE +∠CDE ），又∠ABE +∠CDE +∠E =360°，得∠ABE +∠CDE =220°，故∠BFD =110°。