广东省2022-2022届高考数学三轮复习冲刺模拟试题 (5) 含答案

高考数学三轮复习冲刺模拟试题05
三角函数02
三、解答题 1． 已知函数
.
（1）求
函数图象的对称轴方程； （2）求
的单调增区间.
（3）当时,求函数的最大值，最小值.
2． 如图，在平面直角坐标系
中，以轴为始边作
两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于
两点．已知的横坐标分别为．
（1）求的值；
（2）求的值．
3．设函数22
()(sin cos )2cos
(0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为
23
π
. (Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求()f x 在区间-
63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦，上的值域; (Ⅲ)若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移
2
π
个单位长度得到,求()y g x =的单调增区间.
4．在△ABC
中,a,b,c 分别为角A,B,C 的对边,A 为锐角,已知向量
→
p =(1,3cos 2A ),→q =(2sin 2
A
,1-cos2A),且→p ∥→
q .
(1)若a 2
-c 2
=b 2
-mbc,求实数m 的值;
(2)若a=3,求△ABC 面积的最大值,以及面积最大是边b,c 的大小.
5．设函数
22()cos()2cos ,32
x
f x x x R π=++∈.(Ⅰ) 求()f x 的值域;
(Ⅱ) 记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,若()1f B =,1b =,c =求a 的值.
6．已知向量⎪⎭
⎫
⎝⎛-
=-=21,cos 3),1,(sin x b x a ,函数()
x f +=)(·2-a (1)求函数)(x f 的最小正周期T 及单调减区间
(2)已知c b a ,,分别是△ABC 内角A,B,C 的对边,其中A 为锐角,4,32==c a 且
1)(=A f ,求A,b 和△ABC 的面积S
7．已知函数
1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=x
x x x x f .
（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42
ππ上的最值.
8． (本小题满分13分)在△ABC 中，A ，C 为锐角，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，
且32=,5cos A sinC 。

(1)求(+)cos A C 的值；
(2)若-a c ，求a ，b ，c 的值； (3)已知(++)=2tan A C α，求2
1
2+sin cos cos ααα
的值。

9．（本小题满分13分，已知函数
2((2-
)+2(-
)(R)6
12
f x x sin x x π
π
∈
(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求使函数()f x 取得最大值的x 集合； (3)若(0,)2π
θ∈,且5
()=3
f θ，求4cos θ的值。

10．已知函数f(x)=2cosxsin(x+π/3)-3sin 2
x+snxcosx
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象沿水平方向平移m 个单位后的图象关于直线x=π/2对称,求m 的最
小正值.
11．已知A(cos α,sin α),B(cos β,sin β),且5|AB|=2,
(1)求cos(α-β)的值;
(2)设α∈(0,π/2),β∈(-π/2,0),且cos(5π/2-β)=-5/13,求sin α的值.
12．已知函数f （x ）=sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
4
7πx +cos ⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
43πx ，x ∈Ｒ（共12分） （1）求f （x ）的最小正周期和最小值；（6分） （2） 已知cos （β-α ）=
54，cos （β+α ）= -54,0<α<β≤2
π
，求证：[f （β）] 2
-2=0.（6分）
13．在△ABC 中，A ，B 为锐角，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且cos2a=
5
3
，sinB=
1010（共12分）
（1）求A+B 的值；（7分）
（2）若a-b=2-1，求a ，b ，c 的值。

（5分）
14．已知函数2
2
()sin cos 3cos f x x x x x =++,x R ∈.求:
(I) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间; (II) 求函数()f x 在区间[,]63
ππ
-上的值域.
15．在△ABC 中,2AB AC AB AC ⋅=-=;(1)求:AB 2
+AC 2
的值;(2)当△ABC 的面积最大时,求A
的大小.
16．已知函数
2()sin sin()2
f x x x x π
=⋅+,R x ∈
(1)求函数)(x f 的最小正周期; (2)若⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈2,12ππx ,求函数)(x f 的值域
17．已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x .
(1)求f (x )的单调递减区间；
(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标；
(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值．
18．（本小题满分13分）已知函数)(1cos 2)6
2sin()(2R x x x x f ∈-+-
=π
（1）求)(x f 的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，三内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知2
1
)(=A f ，b,a,c 成等差数列，且9=⋅AC AB ，求a 的值.
参考答案
三、解答题
1.解：（I）.…3分
令.
∴函数图象的对称轴方程是……5分（II）
故的单调增区间为…8分(III) ,……10分
.……11分
当时,函数的最大值为1,最小值为.…13分
2.解：（Ⅰ）由已知得：．
∵为锐角
∴．
∴．
∴．--------------------6分
（Ⅱ）∵
∴．
为锐角，
∴，
∴
． -----------13分
3.解: (Ⅰ)
()()2
2=sin +cos +2cos f x x x x ωωω
22=sin +cos +sin 2+1+cos 2x x x x ωωωω
sin 2cos 222)24
x x x π
ωωω=++=++
依题意得2223ππω=
,故ω的值为3
2. (Ⅱ)因为-,63x ππ≤≤所以5-3+444
x πππ
≤≤,
-123+24x π⎛
⎫≤≤ ⎪⎝
⎭()12+2f x ≤≤即()f x 的值域为1,2+2⎡⎣ 9分
(Ⅲ)依题意得: 5()23()22)2244g x x x πππ⎡
⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦
由5232()242k x k k Z π
ππ
ππ-
-
+∈≤≤
解得227()34312
k x k k Z ππ
ππ++
∈≤≤ 故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312
k k k Z ππ
ππ++
∈ 4. 【解析】解:(Ⅰ) 由
∥得1cos 23A A -=,所以22sin 3A A =
又A 为锐角∴3sin A =
,
1cos 2A =
而22
2a c b mbc -=-可以变形为
22222b c a m bc +-=
即1cos 22
m A ==,所以1m =
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 1cos 2A =
,sin A = 又222
122b c a bc +-=
所以22222bc b c a bc a =+-≥-即2bc a ≤
故2
11sin 2
2ABC S bc A a ∆=≤=
当且仅当b c ==,ABC ∆
5.解:(I)
1cos 3
2
sin sin 32cos cos )(++-=x x x x f ππ
1
)6
5sin(1
sin 2
3
cos 211
cos sin 23
cos 21++=+-=++--=π
x x x x x x 因此)(x f 的值域为]2,0[ (II)由1)(=B f 得11)65sin(=++πB ,即0)6
5sin(=+π
B , 又因π<<B 0,故6
π
=
B .
解法一:由余弦定理023,cos 22
2
2
=+--+=a B ac c a b 2
a 得,解得1=a 或2.
解法二:由正弦定理C
c
B b sin sin =
得32ππ或3,23sin ==C C 当3π
=
C 时,2
π
=
A ,从而222=+=c b a ;
当π32=C 时,6
B π
π==又,6A ,从而1==b a .
故a 的值为1或2.
6.解:
(1)()
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-=-⋅+=62sin 2cos 212sin 232)(πx x x x f 所以,最小正周期为ππ
==
2
2T 2
26
22
2π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k
所以,单调减区间为)(],3
2,6
2[Z k k k ∈+
-π
ππ
π
(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=⎪⎭⎫
⎝
⎛-
=65,662,2,0,162sin )(πππππA A A A f , 3
,2
6
2π
π
π
=
=
-
∴A A ,
由A bc c b a cos 22
2
2
-+=得0442
=+-b b ,解得2=b 故32sin 2
1
==
A bc S 7.解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z)，
故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z}．…………………2分
因为1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=x
x
x x x f
2cos )cos 1x x x =-⋅+
2cos 2x x =-
π
2sin(2)6
x =-，………………………………6分
所以()f x 的最小正周期2π
π2
T ==．…………………7分 （II ）由 5[,],2[,],2[,],422636
x x x πππ
πππ
π…………..9分 当52,,()1662x x f x πππ
-==即时取得最小值，…………….11分 当2,,()2623
x x f x πππ
-
==即时取得最大值.……………….13分
8.
9.
10.
x
x
x
c
x
x
x
f cos
sin
sin
3
)
cos
2
3
sin
2
1
(
cos
2
)
(2+
-
+
=
12. （1）f(x)=sinxcos
4+cosxsin 4+cosxcos 4+sinxsin 4
1分
=
22sinx-22cosx-22cosx+2
2
sinx
1分
=2sinx-2cosx
1分
=2sin(x-
4
π
) 1分
∴T=2π
1分 f m in （x ）=-2
1分
（2）[f （β）] 2-2=4sin 2（β-4π）-2=4·2
)
22cos(1π
β---2=-2sin β 2分 Sin2β=sin[（β+α）+（β-α）]
1分
cos2β=-
54×54-25
9=-1
∵0<α+β<π ∴sin(α+β)=
53
1分
0<β-α<2
π
∴sin(β-α)=53
1分 ∴sin2β=53×54+(-54)×5
3
=0
1分
13. （1）cos2A=2cos 2
A-1=5
3
∴cos 2A=5
4
∵A 锐角，∴cosA=
5
5
2 1分
sinA=
55
1分
sinB=
10
10 B 锐角 cosB=
10
10
3 1分
cos （A+B ）=
552·10103-55·1010=50505=2
2
∴A+B=
4
π
2分
（2）∵b a =B A sin sin =
1010
55
=2
∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1
22b a b a 1分 ==>b=1 1分
a=2
1分 C=
4
3π
1分
c 2
=a 2
+b 2
-2abcosC=5 ∴c=5
14. 【解】(I): 1cos 23(1cos 2)
()3sin 222
x x f x x -+=
++
23sin 2cos 2x x =++2sin(2)26
x π
=++
∴最小正周期22
T π
π==,
∵222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤+
∈时()f x 为单调递增函数
∴()f x 的单调递增区间为[,],36
k k k Z ππ
ππ-
+∈ (II)解: ∵()22sin(2)6f x x π=++,由题意得: 63
x ππ
-≤≤∴52[,]666x πππ+∈-,
∴1
sin(2)[,1]62
x π+∈-,∴()[1,4]f x ∈
∴()f x 值域为[1,4]
15.解:(1)||2AB AC AB AC ⋅=-=
||2AB AC BC a ⋅===
2222cos cos 2
b c a bc A
bc A ⎧+=+⎨
=⎩ 2222||||8AB AC b c ∴+=+=
(2)1
sin 2
ABC S bc A ∆=
=
21
1cos 2
bc A -
=
212
1()2bc
-
=
21
()42
bc - 2221()422
b c +≤-
=3
当且仅当 b=c=2时A=
3
π
16. (1)
2
1
)62sin()(+-
=π
x x f ,π=T (2)⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-23,231
17. [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π
6
)，
(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π
2(k ∈Z)
得k π＋π6≤x ≤k π＋2π
3
(k ∈Z)，
∴f (x )的单调递减区间为[k π＋π6，k π＋2π
3](k ∈Z)
(2)由sin(2x ＋π6)＝0得2x ＋π
6＝k π(k ∈Z)，
即x ＝k π2－π
12
(k ∈Z)，
∴f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标是(－π
12
，0)．
18.解：（1）x x x x x x f 2cos 2cos 2
1
2sin 231cos 2)6
2sin()(2+-=
-+-
=π
)6
2sin(2cos 212sin 23π
+=+=
x x x 令)(2
26
22
2Z k k x k ∈+
≤+
≤-
π
ππ
π
π
)(x f 的单调递增区间为)](6
,3
[Z k k k ∈+
-
π
ππ
π
（2）由21)(=A f ，得2
1)62sin(=+πA ∵
6
26
26
π
ππ
π
+
<+
<A ，∴656
2ππ
=
+
A ，∴3
π
=A 由b,a,c 成等差数列得2a=b+c
∵9=⋅，∴9cos =A bc ，∴18=bc
由余弦定理，得bc c b A bc c b a 3)(cos 22
2
2
2
-+=-+= ∴183422⨯-=a a ，∴23=a。