2020高考人教版数学理科一轮复习课后练50【圆的方程】及解析

2020高考人教版数学理科一轮复习 课后练50【圆的方程】及解析
一、选择题
1．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( A )
A ．(x ＋1)2＋y 2＝2
B ．(x ＋1)2＋y 2＝8
C ．(x －1)2＋y 2＝2
D ．(x －1)2＋y 2＝8
解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|
12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.
故选A.
2．(2019·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( A )
A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5
B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5
C ．(x －1)2＋y 2＝5
D ．x 2＋(y －1)2＝5
解析：因为两平行直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0的距离为d ＝|－6－4|
5＝2 5.故所求圆的半径为r ＝5，
所以圆心(a,1)到直线2x －y ＋4＝0的距离为5＝
|2a ＋3|
5
，即a ＝1或a ＝－4.又因为圆心(a,1)到直线2x －y －6＝0的距离也为r ＝5，所以a ＝1.因此所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.故选A.
3．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋6x －2y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( D )
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
解析：因为曲线x 2＋y 2＋6x －2y ＋1＝0表示的是圆，其标准方程为(x ＋3)2＋(y －1)2＝9，若圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－3,1)，所以－3＋m ＋4＝0，解得m ＝－1.
4．(2019·贵阳市监测考试)经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆与y 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝( A ) A ．2 3 B ．2 2 C ．3
D ．4
解析：根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心为P (1，m )，则半径r ＝|m －2|，所以(m －2)2＝22＋m 2，解得m ＝0，所以圆心为P (1,0)，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4，当x ＝0时，y ＝±3，所以|MN |＝2 3.
5．(2019·西安八校联考)若过点A (3,0)的直线l 与曲线(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为( D )
A ．(－3，3)
B ．[－3，3]
C ．(－
33，33) D ．[－33，33
] 解析：解法1：数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即
|2k |1＋k 2
≤1，解得－
33≤k ≤3
3
，故选D. 解法2：数形结合可知，直线l 的斜率存在，设为k ，当k ＝1时，直线l 的方程为x －y －3＝0，圆心(1,0)到直线l 的距离为
|1－0－3|12＋(－1)2
＝2>1，直线与圆相离，故排除A ，B ；当k ＝
3
3
时，直线l 的方程为x －3y －3＝0，圆心(1,0)到直线l 的距离为|1－3×0－3|
12＋(－3)
2＝1，直线与圆相切，排除C ，故选D.
6．(2019·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( B )
A ．x 2＋(y －1)2＝4
B ．x 2＋(y －1)2＝2
C ．x 2＋(y －1)2＝8
D ．x 2＋(y －1)2＝16
解析：直线x －by ＋2b ＋1＝0过定点P (－1,2)，如图．
∴圆与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切于点P 时，圆的半径最大，为2，此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，故选B.
二、填空题
7．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为45
5
，
则圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.
解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5
＝
45
5
，解得a ＝2， 所以圆C 的半径r ＝|CM |＝
4＋5＝3，
所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.
8．(2019·贵阳市摸底考试)过点M (2,2)的直线l 与坐标轴的正方向分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，
若△OAB 的面积为8，则△OAB 外接圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2
＝8.
解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，由直线l 过点M (2,2)，得2a ＋2b ＝1.又S △OAB ＝1
2ab ＝8，所以
a ＝4，
b ＝4，所以△OAB 是等腰直角三角形，且M 是斜边AB 的中点，则△OAB 外接圆的圆心是点M (2,2)，半径|OM |＝22，所以△OAB 外接圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8.
9．(2019·湖南湘东五校联考)圆心在抛物线y ＝1
2
x 2(x <0)上，且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标
准方程为(x ＋1)2＋(y －1
2
)2＝1.
解析：依题意设圆的方程为(x －a )2＋(y －12a 2)2＝r 2(a <0)，又该圆与抛物线的准线及y 轴均相切，所以1
2
＋
12a 2＝r ＝－a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，r ＝1.
故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1
2
)2＝1. 三、解答题
10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |
＝410.
(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，
则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0. ① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40. ②
由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－2.
∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．
∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.
11．(2019·山西长治六校联考)已知圆C 经过点A ⎝⎛⎭⎫74，174，B ⎝⎛⎭
⎫－
318，338，直线x ＝0平分圆C ，直线l 与圆C 相切，与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且满足OP ⊥OQ .
(1)求圆C 的方程； (2)求直线l 的方程．
解：(1)依题意知圆心C 在y 轴上，可设圆心C 的坐标为(0，b )，圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． 因为圆C 经过A ，B 两点，所以⎝⎛⎭⎫742＋⎝⎛⎭⎫174－b 2＝⎝⎛⎭⎫－3182＋⎝⎛⎭⎫338
－b 2
， 即
716＋28916－172b ＋b 2＝3164＋1 08964－33
4
b ＋b 2，解得b ＝4. 又易知r 2＝⎝⎛
⎭⎫742＋⎝⎛⎭⎫174
－42＝1
2，
所以圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1
2
.
(2)当直线l 的斜率不存在时，由l 与C 相切得l 的方程为x ＝±2
2
，此时直线l 与C 1交于P ，Q 两点，不
妨设P 点在Q 点的上方，则P 22，22，Q 22，－22或P －22，22，Q ⎝⎛⎭⎫－22，－2
2，则OP →·OQ →
＝0，所以
OP ⊥OQ ，满足题意．
当直线l 的斜率存在时，易知其斜率不为0， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)， ∵OP ⊥OQ 且C 1的半径为1， ∴O 到l 的距离为
22
， 又l 与圆C 相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧
|m |
1＋k
2＝22
，①|m －4|1＋k 2
＝2
2
，②
由①②知|m |＝|m －4|，∴m ＝2， 代入①得k ＝±7， ∴l 的方程为y ＝±7x ＋2.
综上，l 的方程为x ＝±2
2
或y ＝±7x ＋2.
12．(2019·江西新余五校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( D )
A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0
B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0
C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0
D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0
解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ
＝1
2×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2
，由平面几何知识得|PQ |＝2
9－d 2，S △OPQ
＝1
2·|PQ |·d ＝1
2
·29－d 2·d ＝
(9－d 2)d 2≤
⎝ ⎛⎭
⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92.因为25<92，所以S △OPQ 的
最大值为9
2，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.故选D.
13．(2019·南宁、柳州联考)过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，
当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于－3
3.
解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤1
2
，当∠
AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝
|OH |
|OP |
＝222＝1
2，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan150°
＝－
33
.
14．如图，在等腰△ABC 中，已知|AB |＝|AC |，B (－1,0)，AC 边的中点为D (2,0)，则点C 的轨迹所包围的图形的面积为4π.
解析：解法1：设C 坐标为(x ，y )，则A 坐标为(4－x ，－y )，∵|AB |＝|AC |， ∴
(5－x )2＋y 2＝
(4－2x )2＋4y 2，整理得(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，所以C 的轨迹包围的图形面积为4π.
解法2：由已知|AB |＝2|AD |，设点A (x ，y )，则(x ＋1)2＋y 2＝4[(x －2)2＋y 2]，所以点A 的轨迹方程为(x －3)2＋y 2＝4(y ≠0)，设C (x ′，y ′)，由AC 边的中点为D (2,0)知A (4－x ′，－y ′)，所以C 的轨迹方程为(4－x ′－3)2＋(－y ′)2＝4，即(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，所以点C 的轨迹所包围的图形面积为4π.
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15．(2019·福州高三考试)抛物线C ：y ＝2x 2－4x ＋a 与两坐标轴有三个交点，其中与y 轴的交点为P . (1)若点Q (x ，y )(1<x <4)在C 上，求直线PQ 斜率的取值范围； (2)
证明：经过这三个交点的圆
E 过定点．
解：(1)由题意得P (0，a )(a ≠0)，Q (x,2x 2－4x ＋a )(1<x <4)，
故k PQ ＝2x 2－4x ＋a －a
x ＝2x －4，
因为1<x <4，所以－2<k PQ <4，
所以直线PQ 的斜率的取值范围为(－2，4)． (2)证明：P (0，a )(a ≠0)． 令2x 2－4x ＋a ＝0，
则Δ＝16－8a >0，a <2，且a ≠0， 解得x ＝1±
4－2a
2
， 故抛物线C 与x 轴交于A (1－
4－2a
2
，0)，B (1＋4－2a
2
，0)两点． 故可设圆E 的圆心为M (1，t )， 由|MP |2＝|MA |2， 得12
＋(t －a )2
＝(4－2a 2
)2＋t 2
， 解得t ＝a 2＋1
4，
则圆E 的半径 r ＝|MP |＝
1＋(14－a 2
)2.
所以圆E 的方程为(x －1)2＋(y －a 2－14)2＝1＋(14－a
2)2，
所以圆E 的一般方程为 x 2＋y 2－2x －(a ＋12)y ＋a
2＝0，
即x 2＋y 2－2x －12y ＋a (1
2
－y )＝0.
由⎩⎨⎧
x 2
＋y 2
－2x －1
2y ＝0，
1
2－y ＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝12，
故圆E 过定点(0，12)，(2，12
)．。