第二章飞行器运动方程-new

2.1.1动力学方程

角运动方程:
L pI x rI xz qr( I z I y ) pqIxz M qI y pr( I x I z ) ( p 2 r 2 ) I xz N rI z pI xz pq( I y I x ) qrI xz
上表与(1)表形式完全相同,若将,,分别换成,,,表(1)就成为 表(2).
2.1.2 运动学方程
速度坐标轴系与机体坐标轴系之间的关系: 根据速度坐标轴系OXaYaZa和机体坐标轴系OXYZ之间的几何关 系,可得方向余弦表(3)
上式表示飞机三个姿态角变化率或绕机体轴的三个角速度分量都能 合成飞机总角速度向量 .一般情况下 与 , 与 互相垂直,但 与 不互相垂直.只有=0时, 与 才互相垂直.
2.1.2 运动学方程
速度坐标轴系与地面坐标轴系之间的关系: 由于气动力,气动力矩都与,有关,必然涉及速度坐标轴系. 根据速度坐标轴系OXaYaZa和地面坐标轴系OXgYgZg之间的几 何关系,可得方向余弦表(2)
2.1飞行器运动方程组

飞机运动的特点:
飞机的基准运动为等速直线平飞状态，其小扰动
线性化方程是常系数。 飞机的操纵面有升降舵、副翼和方向舵； 飞机的外形通常是左右对称而上下不对称的面对 称形体，垂直尾翼安装在机身后上部，便于地面 起降。这种布局致使机体水平转弯的效率很低， 所以飞机一般采用倾斜转弯。 飞机的偏航和滚转运动间的交叉影响显著。
自动飞行控制系统
中国民航大学 张旗
2010年9月制
第二章 飞行器运动方程
飞行器运动方程组 飞机的纵向运动 飞机的横侧向运动

2.1飞行器运动方程组

建立飞行器运动方程时作出的假设条件（Ma<3）:
① ② ③ ④ ⑤
飞行器为刚体且质量是常数； 地面坐标系为惯性坐标系,即假设地坐标为惯性坐标； 忽略地球曲率,视地面为平面； 重力加速度不随飞行高度而变化； 假设机体坐标系的OXZ平面为飞行器的对称平面，飞行器不仅几何 外形对称，而且内部质量分布也对称，即惯性积IXY=IZY=0。

整理上式可以得到下列方程组:
p (c1r c2 p)q c3 L c4 N q c5 pr c6 ( p 2 r 2 ) c7 M r (c8 p c2 r )q c4 L c9 N
其中: c1
2 ( I y I z ) I Z I XZ
两个加框的方程组是描述飞机非定常运动的两组动力学方程组. 以上推导是研究了动坐标轴系(机体坐标轴系)相对于静坐标 轴系(地面坐标轴系)的动力学问题,反之为研究.而各力和力 矩项都于飞机的空间方位(,,,,)有关,上述两组方程显 然是不够的. 在空间运动的飞机有6个自由度,每1个自由度用一个二阶微 分方程描述,整个飞机的方程就有12阶.但是上述两个加框的 方程组总起来只有6阶,另外6个一阶微分方程可由飞机的运 动学方程来补充. 运动学方程描述飞机相对于地面坐标轴系的空间方位.
外力矩L的分量形式为:M iL jM kN 利用前面的一系列式子可得角运动方程:
L pI x rI xy qr( I z I y ) pqIxz M qI y pr( I x I z ) ( p 2 r 2 ) I xz N rI z pI xy pq( I y I x ) qrI xz
~ dV dV 1V dt V dt g
1V ;V ;ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; X
叉 飞机相对于 积 地面坐标轴 系总角速度 向量.
;V 可用机体坐标轴系上的分量表示:
ip jq kr
V iu j k
V上的 单位向 量
速 度 标 量
i,J和k分别表示沿机体坐标轴系OX,OY,OZ的单位向量.
H y qI y H z rI z pI xz
2.1.1动力学方程
dH dH M 1H H 依据第⑤假设,M 可写成: dt dt g dH 的分量是: ~ 1H dH x pI x rI xz dt
dt dH y
dt dH z rI z pI xz dt
2.1.1动力学方程
~ ~ dV du 由此可得: 1V i dt dt i j V p q ~ ~ d d j k iu j k dt dt k r
u
展开上式可得: V i(q r ) j(ur p) k (p uq) F也可用分量表示为: F iX jY kZ 利用前面一系列式子可得线运动(重心运动)方程:

; c2
( I x I y I z ) I xz

;C 3

Iz
; C4

I xz
; C5
Iz Ix I ; C6 xz ; Iy Iy
2 I x ( I x I y ) I xz I 1 2 c7 ; c8 ; c9 x , I x I z I xz Iy
X m(u q r ) Y m( ur p) Z m( p uq)
2.1.1动力学方程
下面推导角运动(绕重心的运动)方程.利用②假设,可写为:
H代表旋转的角动量或动量矩. 单元质量dm因角速度所引起的动量等于单元质量绕瞬时转动 中心的切线速度Vq乘以dm.Vq又可表示成 Vq r d 因此,切线速度所引起的动量增量为: H r ( r )dm 表示瞬时转 动中心到单 动量矩等于动量乘以旋转臂长,写成向量形式为: ~ 元质量dm的 dH 距离向量. dH 1H H dt 对飞机的全部质量进行积分,可得总的动量矩: H dH r ( r )dm 式中: r ix jy kz ; ip jq kr
上表说明机体坐标轴系OX上的单位向量在地面坐标轴系三个轴上的分量各 自为: coscos, sincos和-sin.
2.1.2 运动学方程
其次还需建立三个姿态角变化率 ( , , ) 与三个角速度分量 (p,q,r)间的几何关系. 三个姿态角变化率的方位如下: :沿水平面内与OX轴在水平面上的投影线相垂直,向右为正.
2.1.2 运动学方程
飞机相对于地面坐标系的位置,可由机体坐标轴系相对于地面坐标轴系的三 个坐标以及这两个坐标轴系之间的三个夹角(俯仰角,滚转角,偏航角)来 确定.运动学方程建立了Vx,Vy,Vz,p,q,r与Xg,Yg,Zg,,,之间的关系. 机体坐标轴系与地面坐标轴系之间的关系: 根据机体坐标轴系OXYZ和地面坐标轴系OXgYgZg之间的几何关系,可得方向余 弦表(1)
:沿OX轴的向量,向前为正. :沿OZ轴的向量,向下为正.
为了得到三个姿态角变化率与绕机体轴三个角速度间的转换关系,将 三个姿态角变化率向机体轴上投影,得:
p sin q cos cos sin r sin cos cos

速度坐标 地面坐标 OXg OYg OZg
OXa
coscos sincos -sin
OYa
cossinsin-sincos sinsinsin+coscos cossin
OZa
cossincos+sinsin sinsincos-cossin coscos
Y m(v ur wp) Z m( w vp uq)

如果将总空气动力 和发动机推力T向动坐标系(机体坐标轴系)内分解 为(FX,FY,FZ),则上式可写成下列方程组:u vr wq g sin Fx
m v ur wp g cos sin Fy m F w uq vp g cos cos z m
qI y
上式推导中假设飞机是质量刚体,内部质量不在机内移动，则惯 性矩和惯性积对时间的变化率为零.而: i j k
H p Hx q Hy r Hz
展开后得: H i(qH rH ) j(rH pH ) k ( pH qH ) z y x z y x
2.1.1动力学方程
2.1.1动力学方程
飞机动力学方程可由牛顿第二定律导出,该定律的向量形式为:
d (mV )i dt dH M dt i F
dm dV dV F V m m dt 利用前面①和②假设,上式可写为: dt dt i g 根据理论力学,速度向量对时间的变化率为:






定义:
( y 2 z 2 )dm 为惯性矩Ix:绕X轴的转动惯量;
为惯性积；其他积分定义依此类推. 依据第⑤假设,Ixy=Izy=0,将上式的分量写为: H x pI x rI xz
dH dH M 可写成: M 1H H dt g dt
xy dm
t t t
dH M dt g
2.1.1动力学方程
对飞机的全部质量进行积分,可得总的动量矩: H dH r ( r )dm 式中: r ixt jyt kzt ; ip jq kr 所以带如上式后得:
H i ( y 2 z 2 ) p xyq xzr dm j ( z 2 x 2 )q yzr yxp dm k ( x 2 y 2 )r zxp zyq d m
2.1.1动力学方程(本教材)


在惯性坐标系中应用牛顿第二定律: dV 飞机在外合力作用下的线运动方程为: F m dt dL 飞机在外合力矩作用下的角运动方程为: M dt 选用机体坐标系作为动坐标系,将在地面坐标系中得到的运动速度V及动 量矩L向机体坐标轴系上分解,假设机体坐标系相对于惯性坐标系的速度 为V,角速度向量为,则上式在动坐标系中表示为: X m(u wq vr)
2.1.2 运动学方程
由上式可解出 , , 的表达式:
p tg (r cos q sin ) 1 (r cos q sin ) cos q cos r sin
应该指出: ( , , ) 在一般情况下并不是互相垂直的正交向量,但 (p,q,r)却互相正交.故: ip jq kr

飞机运动的自由度：对于飞机，若将其视为刚体，其在空 间的运动需要六个自由度来描述。


质心的位移（线运动）：飞行速度的增减、升降和侧移运动； 绕质心的转动（角运动）：俯仰角运动、偏航角运动以及滚转角运 动。 纵向运动（对称平面内运动）：速度的增减、质心的升降，绕y轴的俯 仰角运动； 横侧向运动（非对称平面内运动）：质心的侧向移动、绕z轴的偏航角 运动，饶x轴的滚转角运动。
机体坐标 地面坐标 OXg OYg OX
coscos sincos
OY
cossinsin-sincos cossin+sinsinsin
OZ
sinsin+cossincos sinsincos-cossin
OZg
-sin
cossin
coscos