高三数学上学期期末数学模拟1 理 试题

2021届高三上学期期末数学模拟一(理科)
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
考试时间是是： 120分钟 满分是：150分
一、选择题：(本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，选出一个符合题目要求的选项.) 1．集合
2M {2}
y y x ==-，集合
2N {2}
x y x ==-，那么有〔 〕
A.M N =
B.R M C N =∅
C.R N C M =∅
D.N M ⊆
答案：B.
2．幂函数()a
f x x =〔a 是有理数〕的图像过点
1(2,)
4，那么()f x 的一个单调递减区间是〔 〕
A. [0,)+∞
B. (0,)+∞
C. (,0]-∞
D. (,0)-∞ 答案：B.
3．函数
ln ()x
f x x =
的图像大致是〔 〕
答案：D.
4．函数
()log x
a f x a x =+ (0a >且1)a ≠在[1,2]上的最大值与最小值的和为log 26a +，
那么a 的值是〔 〕
A. 12
B. 1
4 C. 2 D. 4
答案：C.
5．以下函数()f x 中，满足“对12
,(0,)x x ∀∈+∞，当12x x <时，都有12()()f x f x <〞的
是〔 〕
A. 1()f x x =
B. ()ln(1)f x x =+
C. 1
()()2x
f x = D. ()1f x x =-
答案：B.
6．函数
2
()f x ax bx c =++，其导函数图像如下图，那么函数()f x 的极小值是〔 〕 A. a b c ++ B. 84a b c ++ C. 32a b + D. c 答案：D.
7．设
()338x f x x =+-，用二分法求方程3380x x +-=在(1,2)x ∈内近似解的过程中得(1)0f <，(1.25)0f <， (1.5)0f >，那么方程的根落在区间〔 〕
A. (1.25,1.5)
B. (1,1.25)
C. (1.5,2)
D.不能确定 答案：A. 8．设函数
()log (0a f x x a =>且1)a ≠，假设1232011()8f x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅=，
那么
22221232011()()()()f x f x f x f x +++⋅⋅⋅+=〔 〕 A. 4 B. 8 C. 16 D.
2log 8a 答案：C.
9．设奇函数()f x 定义在(,0)
(0,)-∞+∞上，()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，
那么不等式3()2()
5f x f x x --<的解集为〔 〕
A.(1,0)(1,)-+∞
B.(,1)(0,1)-∞-
C.(,1)(1,)-∞-+∞
D.(1,0)(0,1)-
答案：D.
10．函数()(3)x
f x x e =-的单调递增区间是〔 〕
A.(,2)-∞
B.(0,3)
C.(1,4)
D.(2,)+∞ 答案：D.
11．假设函数
2
()log (1)a f x x ax =-+有最小值，那么a 的取值范围是〔 〕 A.(0,1) B. (0,1)(1,2) C.(1,2) D.(2,)+∞
答案：C.
12．定义新运算‘⊕’：当a b ≥时， a b a ⊕=；当a b <时， 2
a b b ⊕=，那么函数
()(1)(2),[2,2]f x x x x x =⊕-⊕∈-的最大值等于〔 〕
A. 1-
B. 1
C. 6
D. 12 答案：C.
二、填空题：(本大题一一共4小题,每一小题4分,一共16分.将答案填在答卷纸相应题号后面的空格内.〕
13. 函数11)(+-=
x x x f ，那么)
1
()(x f x f +＝ .
答案：0
14. 假设定义运算⎩⎨⎧=b a b a * )()(b a b a ≥<，那么函数x
x x f -=3*3)(的值域是 .
答案：〔0，1] 15.
3()|log |f x x =，假设()(2)f a f >，那么a 的取值范围是 .
答案：1
(0,)(2,)2+∞
16. 函数⎪⎩⎪⎨⎧--+=2)21(1|)1lg(|)(x
x x f )1()1(-≤->x x ，那么函数的零点的个数有 个.
答案：3
三、解答题：(本大题一一共6小题，一共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或者推演步骤.〕
17．〔本小题满分是12分〕集合
2
{|680},{|()(3)0}.A x x x B x x a x a =-+<=--< 〔Ⅰ〕假设,A B ⊆求a 的取值范围； 〔Ⅱ〕假设{|34},A B x x =<<求a 的值。

解析：〔Ⅰ〕2{|680},{|24}A x x x A x x =-+<∴=<<
当0a =时，B 为空集，不合题意
…………1分
当0a >时，{|3}B x a x a =<<，应满足24
2.343a a a ≤⎧⇒≤≤⎨
≥⎩ ……2分
当0a <时，{|3}B x a x a =<<，应满足32
4a a a φ≤⎧⇒∈⎨≥⎩ …………4分
A B ∴⊆时，4
2.
3a ≤≤ ………………………6分
〔Ⅱ〕要满足{|3,4}A B x x ⋂=<，显然0a >且3a =时成立，
此时{|39}B x x =<<
而{|34}A B x x ⋂=<<，故所求a 的值是3。

………………………12分
18．〔本小题满分是12分〕函数3
2
()f x ax x bx =++〔其中常数,a b R ∈〕，
()()()g x f x f x '=+是奇函数。

〔Ⅰ〕求()f x 的表达式；
〔Ⅱ〕讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间
[]1,2上的最大值和最小值。

解析：〔Ⅰ〕由题意得
2
()32f x ax x b '=++ 因此
22()()()(31)(2)g x f x f x ax a x b x b '=+=+++++ 因为函数()g x 是奇函数，所以()()g x g x -=-，即对任意实数x ，有
3232()(31)()(2)()[(31)(2)]a x a x b x b ax a x b x b -++-++-+=-+++++
从而310,0a b +==，
解得
1
,0
3
a b
=-=
，因此
()
f x的解析表达式为
22
1
().
3
f x x x
=-+
……………………6分
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知
2
1
()2
3
g x x x
=-+
，所以
2
()2,
g x x
''
=-+令g(x)=0解
得12
x x
==
那么当x<时，()0
g x
'<
，从而
()
g x
在区间
(,
-∞
，
)
+∞上是减函数，
当
,()0
x g x
'
<<>，从而()
g x
在区间
[上是增函数，
由前面讨论知，
()
g x在区间[1，2]
上的最大值与最小值只能在
2
x=时获得，
而
54
(1),(2)
33
g g g
===
，因此
()
g x在区间[1，2]
上的最大值为
(2)
g=
，最小值为
4
(2).
3
g=
………………………12分
19．〔本小题满分是12分〕
1
()log
1
mx
f x a
x
-
=
-
设为奇函数
，()()log(1)(1)
g x f x x ax
a⎡⎤
⎣⎦
=+-+
〔a>1,且
1
m≠〕
〔Ⅰ〕求m 值及g〔x〕的定义域；
〔Ⅱ〕假设g〔x〕在
53
,
22
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
--
上恒正，求a的取值范围。

解析：〔Ⅰ〕
()
f x是奇函数，
111
()()log log log
111
a a a
mx mx x
f x f x
x x mx
-+--
=--=-=
---+
22
11
,1()1
11
mx x
x mx
x mx
---
∴=-=-
-+22
(1)0,1,1
m x m m
∴-=≠∴=-
又
∵
11
()log,()log log[(1)(1)]
11
a a a
x x
f x
g x x ax
x x
++
==+-+
--
x必须满足
(1)(1)01
11(1,1)
(1)(1)0
x ax
x x a
x x a
-+>
⎧
⇔<->>->-
⎨
+->
⎩
或
()
g x
∴的定义域为{:11}
x x x
<->
或………………………………6分
〔Ⅱ〕
53
1,(),]
22a g x >--在[上恒正，
即
11(1)(1)111
1
1x x ax ax ax a x x x ++>⇒+<
⇒<-
⇒>-
+++
531
1
[,],2,23221
()12x a x ∈--∴-≤-
=∴>+-+
a ∴的取值范围是〔2，+∞〕 …………………………………12分
20．〔本小题满分是12分〕设函数
.)1()1ln(2)(2---=x x x f 〔Ⅰ〕求函数)(x f 的单调递增区间；
〔Ⅱ〕假设关于x 的方程
]4,2[03)(2
在区间=--+a x x x f 内恰有两个相异的实根，务实数a 的取值范围。

解析：〔Ⅰ〕函数),1()(+∞的定义域为x f ，…………1分
,1)
2(2)]1(11[
2)(---=---='x x x x x x f ………………2分
).2,1(0)(,1的取值范围为的则使x x f x >'>
故函数).2,1()(的单调递增区间为x f ………………………4分
〔Ⅱ〕方法1：
,)1()1ln(2)(2---=x x x f .0)1ln(2103)(2=--++⇔=--+∴x a x a x x x f …………6分
分内单调递增在区间内单调递减在区间得得由且令9.]4,3[,]3,2[)(.
310)(,30)(,
1,1
3
121)(),1ln(21)( x g x x g x x g x x x x x g x a x x g ∴<<<'>>'>--=--='--++=
故
]4,2[03)(2
在区间=--+a x x x f 内恰有两个相异实根 ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≥⇔.4)4(,0)3(,0)2(g g g 即
.42ln 253ln 2:,02ln 25,02ln 24,03-<≤-⎪⎩
⎪
⎨⎧>-+<-+≥+a a a a 解得
综上所述，a 的取值范围是).42ln 2,53ln 2[-- …………12分
方法2：2
)1()1ln(2)(---=x x x f
.0)1ln(2103)(2=--++⇔=--+∴x a x a x x x f …………6分 ).
3()4(]4,2[03)(),4()2(,53ln 2)4(,42ln 2)3(,3)2(9.]4,3[,]3,2[)(.
30)(,310)(,1,1
3112)(,1)1ln(2)(,1)1ln(22h a h a x x x f h h h h h x h x x h x x h x x x
x x h x x x h x x a <≤⇔=--+<-=-=-=∴><'<<>'>--=--=
'---=---=内恰有两个相异实根在区间故又分内单调递减在区间内单调递增在区间得得由且令即
即.42ln 253ln 2-<≤-a
综上所述，a 的取值范围是).42ln 2,53ln 2[-- ………………………12分
21．〔本小题满分是12分〕旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的本钱是15元，销售价是20元，月平均销售a 件。

通过改良工艺，产品的本钱不变，质量和技术含量进步，场分析的结果说明，假如产品的销售价进步的百分率为(01)x x <<，那么月平均销售量减少的百分率为2
x 。

记改良工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y 〔元〕。

〔Ⅰ〕写出y 与x 的函数关系式；
〔Ⅱ〕改良工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大。

解析：〔Ⅰ〕改良工艺后，每件产品的销售价为20(1)x +，用平均销售量为2
(1)a x -件，
那么月平均利润
2
(1)[20(1)15]y a x x =-⋅+-〔元〕 y x ∴与的函数关系式为235(144)(01)y a x x x x =+--<< (3)
分
〔Ⅱ〕由
2
5(4212)0y a x x '=--=得1212
,23x x =
=-〔舍〕……8分
当1002x y '<<>时，函数y 是增函数；当1
1
2x <<时0y '<，函数y 是减函数。

∴函数2
3
5(144)(01)y a x x x x =+--<<在
1
2x =
获得最大值。

故改良工艺后，产品的销售价为1
20(1)30
2+=元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利
润最大 ……………12分
22．〔本小题满分是14分〕函数
2
1()22f x ax x =
+，()g x lnx =
〔Ⅰ〕假如函数()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数，求a 的取值范围；
〔Ⅱ〕是否存在实数0a >，使得方程()()(21)g x f x a x '=-+在区间1
(,)
e e 内有且只有
两个不相等的实数根？假设存在，恳求出a 的取值范围；假设不存在，请说明理由 解析：〔Ⅰ〕当0a =时，()2f x x =在[1,)+∞上是单调增函数，符合题意
当0a >时，()y f x =的对称轴方程为
2
x a =-
，
由于()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数，
所以21a -
≤，解得2a ≤-或者0a >，所以0a >
当0a <时，不符合题意
综上，a 的取值范围是0a ≥ ……………………6分
〔Ⅱ〕把方程()()(21)g x f x a x '=-+整理为2(21)lnx
ax a x =+-+，
即为方程2(12)0ax a x lnx +--= 设
2()(12)H x ax a x lnx =+-- (0)x >，
原方程在区间〔1,e e 〕内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数()H x 在区间〔1
,e
e 〕
内有且只有两个零点
1()2(12)H x ax a x '=+--
22(12)1(21)(1)ax a x ax x x x +--+-==
令()0H x '=，因为0a >，解得1x =或者
1
2x a =-
〔舍〕 ……………………10分
当(0,1)x ∈时, ()0H x '<, ()H x 是减函数；
当(1,)x ∈+∞时, ()0H x '>，()H x 是增函数
()H x 在〔1,e
e 〕内有且只有两个不相等的零点, 只需
min 1
()0,()0,()0,H e H x H e ⎧>⎪⎪
<⎨⎪>⎪⎩ ⇒
1212-+<<e e e a ……………………14分
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。