上海市建平中学20182019学年高一上学期期中考试数学试题解析版.docx

上海市建平中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学
试题
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）
1.“x>1”是“1
x
<1”成立的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：若x>1，则0<1
x <1，则1
x
<1成立，即充分性成立，
若当x<0时，1
x
<1成立，但x>1不成立，即必要性不成立，
即“x>1”是“1
x
<1”成立的充分不必要条件，
故选：A．
根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
2.若实数a、b满足条件a>b，则下列不等式一定成立的是()
A. 1
a <1
b
B. a2>b2
C. ab>b2
D. a3>b3
【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、a=1，b=−1时，有1
a >1
b
成立，故A错误；
对于B、a=1，b=−2时，有a2<b2成立，故B错误；
对于C、a=1，b=−2时，有ab<b2成立，故C错误；
对于D、由不等式的性质分析可得若a>b，必有a3>b3成立，则D正确；
故选：D．
根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．
本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．
3.设集合P={m|−1<m≤0}，Q={m|mx2+2mx−1<0}对任意x∈R恒成立，则
P与Q的关系是()
A. P⊄Q
B. Q⊄P
C. P=Q
D. P∩Q=⌀
【答案】C
【解析】解：∵集合P={m|−1<m≤0}，
Q={m|mx2+2mx−1<0}对任意x∈R恒成立，
∴Q={m|−1<m≤0}．
∴P与Q的关系是P=Q．
故选：C．
先分别求出集合P，Q，由此能求出P与Q的关系．
本题考查集合的关系的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.已知集合A={1,2，3，…n)(n∈N∗}，集合B={j1,j2,…j k)(k≥2,k∈N∗)是集合A
的子集，若1≤j1<j2<⋯<j m≤n且j i+1−j i≥m(i=1,2，……，k−1)，满足集合B的个数记为n(k⊕m)，则7(3⊕2)=()
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
【答案】B
【解析】解：由题意可得n=7，k=3，m=2，那么集合A={1,2，3，4，5，6，7}；集合B={j1,j2,j3}，1≤j1<j2≤7，j i+1−j i≥2满足集合B的个数列罗出来，
可得：{1,3，5}，{1,3，6}，{1,3，7}，{1,4，6}，{1,4，7}；{1,5，7}，{2,4，6}，{2,4，7}，{2,5，7}，{3,5，7}，
故选：B．
根据n(k⊕m)和7(3⊕2)，可得n=7，k=3，m=2，集合A={1,2，3，4，5，6，7}；集合B={j1,j2,j3}，1≤j1<j2≤7满足集合B的个数列罗出来，可得答案．
本题考查子集与真子集，并且即时定义新的集合，主要考查学生的阅读理解能力．
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
5.设全集∪={1,2，3，4，5，6}，集合A={2,4，6}，则∁U A=______．
【答案】{1,3，5}
【解析】解：全集∪={1,2，3，4，5，6}，集合A={2,4，6}，
则∁U A={1,3，5}．
故答案为：{1,3，5}．
根据补集的定义写出∁U A.
本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．
<0的解集为______．
6.不等式x−1
x+2
【答案】(−2,1)
<0，
【解析】解：∵x−1
x+2
∴(x−1)(x+2)<0，
解得：−2<x<1，
故不等式的解集是(−2,1)，
故答案为：(−2,1)．
问题转化为(x−1)(x+2)<0，求出不等式的解集即可．
>0，再转化为整式不等式F(x)G(x)>解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为F(x)
G(x)
0，然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．
7.已知集合A={−1,0，2}，B={a2+1}，若B⊄A，则实数a的值为______．
【答案】a≠±1
【解析】解：若B⊂A，则
①a2+1═−1，a∈⌀；
②a2+1═0，a∈⌀；
③a2+1═2，a═±1；
∵B⊄A，∴a≠±1．
故答案为：a≠±1．
先假设B⊂A，得a2+1=−1，a∈⌀；a2+1=0，a∈⌀；a2+1=2，a=±1；取补集得结果．
本题考查的知识点集合的包含关系应用，难度不大，属于基础题．
8.用列举法写出集合A={y|y=x2−1,x∈Z,|x|≤1}=______
【答案】{−1,0}
【解析】解：∵|x|≤1，且x∈Z；
∴x=−1，0，或1；
∴x2=0，或1；
∴y=−1，或0；
∴A={−1,0}．
故答案为：{−1,0}．
由|x|≤1及x∈Z即可求出x=−1，0，或1，从而得出x2=0，或1，进而得出y的值，从而得出集合A．
考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法．
9.已知不等式x2−ax+b≤0的解集为[2,3]，则a+b=______
【答案】11
【解析】解：不等式x2−ax+b≤0的解集为[2,3]，
∴方程x2−ax+b=0的实数根为2和3，
2+3=a，
∴{2×3=b
a=5，b=6；
∴a+b=11．
故答案为：11．
利用不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系求出a、b的值．
本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．
10.命题“如果a≠0，那么a2>0”的逆否命题为______．
【答案】若a 2≤0，则a =0
【解析】解：原命题“如果a ≠0，那么a 2>0”， ∴其逆否命题为：“若a 2≤0，则a =0”． 故答案为：若a 2≤0，则a =0．
根据逆否命题的定义，即把结论和条件的否定后作为逆否命题的条件和结论即可． 本题考查的知识点是逆否命题的定义，需要正确写出对条件的结论的否定，这是关键和易出错的地方．
11. 已知集合A ={(x,y)|y =x +1，x ∈R}，B ={(x,y)|y =3−x.x ∈R}，则A ∩
B =______． 【答案】{(1,2)}
【解析】解：A ∩B ={(x,y)|{y =3−x y=x+1
}={(1,2)}． 故答案为：{(1,2)}．
根据交集定义得A ∩B ={(x,y)|{y =3−x y=x+1}=(1，2)． 此题考查了交集及其运算，需要注意此题是点集，是基础题．
12. 若“x >l ”是“x ≥a ”的充分不必要条件，则a 的取值范围为______． 【答案】a ≤1
【解析】解：若“x >l ”是“x ≥a ”的充分不必要条件， 则a ≤1， 故答案为：a ≤1
根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
13. 已知集合A ={x|x −1|≤1}，B ={x|ax =2}，若A ∪B =A ，则实数a 的取值集合
为______
【答案】[1,+∞)∪{0}．
【解析】解：A ={x|0≤x ≤2}， ①B =⌀，a =0， ②B ≠⌀，B ={2
a }， 0<2
a ≤2，a
2≥12，
∴a ≥1，
故实数a 的取值集合为[1,+∞)∪{0}． 故答案为：[1,+∞)∪{0}．
分为B =⌀，和B ≠⌀两种情况讨论，取并集得结论．
本题考查了集合的化简与集合的运算的应用，注意不要漏掉B =⌀，属于基础题．
14. 已知集合{x|(x −2)(x 2−2x +a)=0,x ∈R}中的所有元素之和为2，则实数a 的取
值集合为______．
【答案】{a|a =0或a >1}
【解析】解：∵集合{x|(x −2)(x 2−2x +a)=0,x ∈R}中的所有元素之和为2， ∴x 2−2x +a =0的解为x =0或无解， ∴a =0或△=4−4a <0， 解得a >1．
∴实数a 的取值集合为{a|a =0或a >1}． 故答案为：{a|a =0或a >1}．
推导出x 2−2x +a =0的解为x =0或无解，由此能求出实数a 的取值集合．
本题考查实数的取值集合的求法，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15. 已知正实数x ，y 满足x +y =1，则1
x −4y
y+1的最小值是______ 【答案】1
2
【解析】解：正实数x ，y 满足x +y =1， 则1
x −4y
y+1=1
x −
4y+4−4y+1
=1x +4
y+1−4
=12(1x +4y +1
)[x +(y +1)]−4 =1(5+y +1+4x )−4≥1(5+4)−4=1 当且仅当
y+1x =4x y+1且x +y =1即y =13，x =23时取得最小值是1
2
/
故答案为：1
2
由已知分离1
x −4y
y+1=1
x −4y+4−4y+1
=1x
+
4y+1
−4，然后进行1的代换后利用基本不等式即
可求解．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换
16. 若不等式x +4√3xy ≤a(x +y)对任意x >0，y >0恒成立，则a 的取值范围是
______． 【答案】[4,+∞)
【解析】解：∵不等式x +4√3xy ≤a(x +y)，x >0，y >0， ∴a ≥
x+4√3xy x+y
=
x y +4√3⋅x
y x y
+1，
令√x
y =t >0，可得：f(t)=t 2+4√3t t 2+1
．
f′(t)=
(2t+4√3)(t 2+1)−2t(t 2+4√3t)
(t 2+1)2
=
−4√3t 2+2t+4√3
(t 2+1)2
=
−(t+√3
2)(t−
2√33)
(t 2+1)2
．
可知：t =
2√33时函数f(t)取得最大值，f(2√3
3
)=4．
f(0)=0．
∴0<f(t)≤4．
∵不等式x+4√3xy≤a(x+y)对任意x>0，y>0恒成立，∴a的取值范围是a≥4．
故答案为：[4,+∞)．
不等式x+4√3xy≤a(x+y)，x>0，y>0，a≥x+4√3xy
x+y =
x
y
+4√3⋅x
y
x
y
+1
，令√x
y
=t>0，可
得：f(t)=t2+4√3t
t2+1
.利用导数研究其单调性极值最值即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
17.已知x，y是实数，求证：x2+y2≥2x+2y−2．
【答案】证明：因为x2−2x+1=(x−1)2≥0，可得x2≥2x−1，
y2−2y+1=(y−1)2≥0，可得y2≥2y−1，
所以x2+y2≥2x+2y−2．
【解析】利用综合法，证明不等式即可．
本题考查不等式的证明，综合法的应用，是基本知识的考查．
18.已知全集U=R，集合A={x|x2−x−12<0}，B={y|y=x4+1
x2
,x∈R}，求A∩B，A∪(∁U B)．
【答案】解：A={x|−3<x<4}；
∵x4+1≥2x2；
∴x4+1
x2
≥2；
∴B={y|y≥2}；
∴A∩B=[2,4)，∁U B={y|y<2}；
∴A∪(∁U B)=(−∞,4)．
【解析】先求出A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．
考查描述法表示集合的定义，a2+b2≥2ab，以及交集、并集和补集的运算．
19.已知命题p：关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|=0有两个不相等的实数
根；命题q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|=0对于任意实数a 都没有实数根．
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】解：(1)命题p：关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|=0有两个不相等的实数根，
可得△=12−4|m−2|>0，
解得−1<m<5；
(2)命题q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|=0对于任意实数a都没
有实数根，
可得−x 2+mx =|a +1|+|a −3|， 由|a +1|+|a −3|≥|a +1−a +3|=4， 可得−x 2+mx −4≥0无实数解， 可得△=m 2−16<0，即−4<m <4， 命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题，
可得{m ≥4或m ≤−4−1<m<5
或{−4<m <4
m≥5或m≤−1
，
即有4≤m <5或−4<m ≤−1．
【解析】(1)由题意可得判别式大于0，由绝对值不等式的解法可得m 的范围； (2)考虑命题q 真，运用绝对值不等式的性质和判别式小于0，解不等式可得m 的范围，由p ，q 一真一假，解不等式即可得到所求范围．
本题考查二次方程和二次不等式的解法，注意运用判别式和绝对值不等式的性质，考查化简运算能力，属于基础题．
20. 已知集合A ={x|x 2−x −2≥0}，集合{x|(1−m 2)x 2+2mx −1<0,m ∈R}
(1)当m =2时，求集合∁R A 和集合B ；
(2)若集合B ∩Z 为单元素集，求实数m 的取值集合；
(3)若集合(A ∩B)∩Z 的元素个数为n(n ∈N ∗)个，求实数m 的取值集合
【答案】解：集合A ={x|x 2−x −2≥0}={x|x ≥2或x ≤−1}，集合{x|(1−m 2)x 2+2mx −1<0,m ∈R}={x|[(1+m)x −1][(1−m)x +1]<0} (1)当m =2时，集合∁R A ={x|−1<x <2}； 集合B ={x|−1<x <1
3}；
(2)因为集合B ∩Z 为单元素集，且0∈B ， 所以{(1−m 2)×12+2m −1≥0(1−m 2)×(−1)2−2m−1≥0
，解得m =0， 当m =0时，经验证，满足题意． 故实数m 的取值集合为{0}
(3)因为集合A 中只有2个整数0，1；B 中一定含整数0， 所以当n =1时，m =0；
当n =2时，B 中有且只有两个整数0，1
∴{(1−m 2)×(−1)2−2m −1≥0
(1−m 2)×22+2m ×2−1≥0(1−m 2)×12+2m ×1−1<0，解得：−1
2≤m <0 所以实数m 的取值集合为[−1
2,0)
【解析】(1)m =2时，化简集合A ，B ，即可得集合∁R A 和集合B ；
(2)集合B ∩Z 为单元素集，所以集合B 中有且只有一个整数，而0∈B ，所以抛物线y =(1−m 2)x 2+2mx −1的开口向上，且与x 轴的两个交点都在[−1,1]内，据此列式可得m =0；
(3)因为A 中只有2个整数0和1，所以(A ∩B)∩Z 的元素个数为1或2，当n =1时，元素只能是0，所以抛物线y =(1−m 2)x 2+2mx −1开口向上且与x 轴的两个交点在
[−1,1]内，列式可得m=0；
当n=2时，元素只能是0和1，抛物线y=(1−m2)x2+2mx−1的开口向上，与x轴
≤m<0
的两个交点分别在[−1,0)和(1,2]内，列式解得：−1
2
本题考查了交、并、补集的混合运算.属难题．
21.已知集合P的元素个数为3n(n∈N∗)个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相
同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即P=A∪B∪C，A∩B=⌀，A∩C=⌀，B∩C=⌀，其中A={a1,a2,…,a n}，B={b1,b2,…b n}，C={c1,c2,…,c n}.若集合A、
B、C中的元素满足c1<c2<⋯<c a，a k+b k=c k，k=1，2，…n，则称集合P
为“完美集合”．
(1)若集合P={1,2，3}，Q={1,2，3，4，5，6}，判断集合P和集合Q是否为“完
美集合”？并说明理由；
(2)已知集合P={1,x，3，4，5，6}为“完美集合”，求正整数x的值；
(3)设集合P={x|1≤x≤3n,n≥2,n∈N∗}
①证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n=4k或n=4k+1(k∈N∗)
②判断当n=4时，集合P是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集
合C；如果不是，请说明理由．
【答案】解：（1）集合P=为“完美集合”，
令A=，B=，C=．
则集合A、B、C中的元素满足a k+b k=c k，
集合Q=不是“完美集合”，
若集合Q为“完美集合”，
则C中元素最小为3，
若C的最小元素为3，则a1+b1=1+2=3，
a2+b2=4+5=c2=6不可能成立，
若C的最小元素为4，则a1+b1=1+3=4，
a2+b2=2+5=c2=6不可能成立，
若C的最小元素为5，则a1+b1=1+4=5，
a2+b2=2+3=c2=6不可能成立，
综上可得集合Q=不是“完美集合”
（2）由（1）可得x≠2，
若A={1，3}，4∈B，则5∈C，6∈B，x=3+6=9∈C满足“完美集合”的定义；
若A={1，3}，5∈B，则6∈C，5∈B，x=3+5=8∈C满足“完美集合”的定义；
【解析】讨论集合A与集合B，根据完美集合的概念知集合C，根据a k+b k=c k．建立等式求x的值
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。