2020-2021学年高二上学期数学人教B版(2019) 选择性必修第一册 .2圆的一般方程精品课件

2
2
22
(x D)2 (y E)2 D2 E2 4F
2
2
4
因此，当 D2
E2
4F
0
时，方程①表示以
(
D, 2
E) 2
为圆心，
1 D2 E2 4F 为半径的圆. 2
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1 7
.
由中点坐标公式知，AB的中点坐标为
因此，直线l的方程为 y 3 1 (x 1).
(
1 2
,
已知 A(0,5), B(1, 2), C(3, 4) 都是P上的点，求这个圆
的方程. 法2：(数形结合）设线段AB和线段BC的垂直平分线分为l, m，则
圆心P为直线l和直线m的交点.
表示任何图形.
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新知提炼
一般地，二元二次方程
x2 y2 Dx Ey F 0 ①
（1）当 D2 E2 4F 0 时，称①式为圆的一般方程.
其中，圆心为( D , E ) ，半径为 1 D2 E2 4F .
令 D 2a, E 2b, F a2 b2 r2, 原方程可以表示成
x2 y2 Dx Ey F 0. ①
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一般地，二元二次方程
x2 y2 Dx Ey F 0
因此，所求圆的方程为 (x 3)2 ( y 1)2 25.
例3.已知 A(0,5), B(1, 2), C(3, 4) 都是P上的点，求这个圆
的方程. 法2：(数形结合）设线段AB和线段BC的垂直平分线分为l, m，则
圆心P为直线l和直线m的交点.
由题知，kAB
52 0 1
7 ，所以 kl
9 16 3D 4E F 0,
F 15.
因此，所求圆的方程为 x2 y2 6x 2y 15 0.
课堂小结
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
(x a)2 ( y b)2 r2
x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
圆心 半径 点与圆位置
(a,b)
r
①
是否都是圆的方程呢？
满足圆的定义，即可以化成圆的标准方程形式
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x2 y2 Dx Ey F 0
x2 Dx ( D)2 y2 Ey ( E )2 F ( D)2 ( E )2
的位置关系.
解：因为
4 0
，所以点A在圆内；
因为1 25 2 20 4 0 ，所以点B在圆上；
因为 1 4 2 8 4 0 ，所以点C在圆外.
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思考：可以通过圆的一般方程直接判断点与圆的位置关系吗？
x2 y2 Dx Ey F 0 (x D)2 ( y E )2 D2 E2 4F
(D2 E2 4F 0)
由题知，kAB
52 0 1
7 ，所以 kl
1 7
.
由中点坐标公式知，AB的中点坐标为
(
1 2
,
3 2
)
.
因此，直线l的方程为 x 7y 10 0.
例3.已知 A(0,5), B(1, 2), C(3, 4) 都是P上的点，求这个圆
的方程. 同理可得,直线m的方程为 y 3 2(x 1) .
2
2
4
x2 y2 Dx Ey F 0
(D2 E2 4F 0)
(x D)2 (y E)2 D2 E2 4F
2
2
4
x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
x2 y2 Dx Ey F 0
(D2 E2 4F 0)
(x D)2 (y E)2 D2 E2 4F
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例1.判断下列方程是否是圆的方程；如果是，写出圆心坐标与 半径；如果不是，说明理由；
2
2
4
(x D)2 (y E)2 D2 E2 4F
2
2
4
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代入标准方程左侧与
( D , E) 22
1 D2 E2 4F 2
代入一般方程左侧与右
关系判定
右侧进行比较
侧进行比较
求方程 待定系数法、几何法
待定系数法
互化
展开、移项整理
配方法
人教社B版课本 P104练习A第2题
作业
P104练习B第4、5题
作业
谢谢
由题意得, (1 a)2 (2 b)2 r2 , 即 8a 4b 20 0,
(3 a)2 (4 b)2 r2 , (3 a)2 (4 b)2 r2.
例3.已知 A(0,5), B(1, 2), C(3, 4) 都是P上的点，求这个圆
的方程.
a 3,
解得 b 1,
r2 25.
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新知提炼
一般地，二元二次方程 x2 y2 Dx Ey F 0 ①
（2）当 D2 E2 4F 0时，方程表示一个点( D , E );
22
（3）当 D2 E2 4F 0 时，方程不表示任何图形.
新知提炼
一般地，圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F 0
(D2 E2 4F 0) ，点 M (x, y)，则
点 M (x, y)在圆内
x2 y2 Dx Ey F 0 ；
点M (x, y)在圆上
x2 y2 Dx Ey F 0 ；
点 M (x, y)在圆外
x2 y2 Dx Ey F 0 .
例3.已知 A(0,5), B(1, 2), C(3, 4) 都是P上的点，求这个圆
的方程. 法3：(一般方程）设所求圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0
(D2 E2 4F 0).因为A, B,C都是圆上的点，因此
25 5E F 0,
D 6,
1 4 D 2E F 0, 解得 E 2,
解：方程两边除以4，得 x2 y2 2x y 15 0. 4
原方程可以化为 x2 2x 1 y2 y 1 5, 4
即，(x 1)2 ( y 1)2 5.
2
所以这是圆心为 (1, 1) ，半径为 2
5 的圆的方程.
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（1）x2 y2 6x 10 0;
解：其中，D 6, E 0, F 10. 因为，D2 E2 4F 4 0, 所以此方程不是圆的方程.
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例3.已知 A(0,5), B(1, 2), C(3, 4) 都是P上的点，求这个圆
的方程.
同理可得,直线m的方程为 2x y 5 0.
因此，圆心P满足
x 7y 10 0, 2x y 5 0,
解得
x y
3, 1.
所以，圆心P坐标为 (3,1) ，且 r PA (0 3)2 (5 1)2 5. 因此，所求圆的方程为 (x 3)2 ( y 1)2 25.
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（3）4x2 4 y2 8x 4 y 15 0.
圆的一般方程
高二年级 数学
1.圆的标准方程是什么？
圆心坐标为C(a,b)，半径为（r r 0）的圆的标准方程为 (x a)2 ( y b)2 r2.
2.从方程的角度来看，圆的方程有什么代数特征呢？
（1）把圆的标准方程 (x 1)2 ( y 2)2 9中的括号展开、整理之 后，得到的方程形式是什么样的？
例3.已知 A(0,5), B(1, 2), C(3, 4) 都是P上的点，求这个圆
的方程.
解：(法1待定系数法）设P的圆心坐标为P(a,b)，半径为r（r 0）.
则P的标准方程为(x a)2 ( y b)2 r2.
(0 a)2 (5 b)2 r 2 ,
2a 14b 20 0,
（2）x2 y2 4x 6 y 12 0;
解：其中，D 4, E 6, F 12. 因为，D2 E2 4F 100 0, 所以这是圆的方程.
又因为原方程可以化为 x2 4x 4 y2 6 y 9 25,
即 (x 2)2 ( y 3)2 25. 所以是圆心为 (2, 3) ，半径为5的圆的方程.
x2 y2 Dx Ey F 0
(x D)2 (y E)2 D2 E2 4F
2
2
4
当 D2 E2 4F 0 时，方程①只有实数解 x D , y E ,
所以方程①表示一个点 ( D , E ) .
2
2
22
当 D2 E2 4F 0 时，方程①没有实数解，所以方程①不
展开得，x2 2x 1 y2 4 y 4 9, 整理得，x2 y2 2x 4y 4 0.
（2）一般地，圆的标准方程 (x a)2 ( y b)2 r2 (r 0) 展开、整 理之后，得到的方程形式是什么样的？
展开得，x2 2ax a2 y2 2by b2 r2, 整理得，x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0.
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例2.判断点 A(0, 0), B(1,5),C(1, 2) 与圆x2 y2 2x 4y 4 0
例3.已知 A(0,5), B(1, 2), C(3, 4) 都是P上的点，求这个圆
的方程. 分析：圆的方程有圆的标准方程和一般方程 两种形式. 思路1：求圆的标准方程. 思路2：求圆的一般方程.
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