中考数学 考点梳理即时训练 第一章 第4讲 二次根式课件(含中考真题)
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第4讲 二次根式(gēnshì)
第一页，共46页。
第二页，共46页。
第三页，共46页。
第四页，共46页。
1．(2014·湖州)二次根式 x－1 中字母x的取值范
围是( D )
A．x<1
B．x≤1
C．x>1
D．x≥1
第五页，共46页。
2．(2014·义乌、金华)在式子x－1 2，x－1 3， x－2，
第四十六页，共46页。
(2014·巴中)要使式子 mm－＋11有意义，则 m 的
取值范围是( D )
A．m>－1
B．m≥－1
C．m>－1 且 m≠1
D．m≥－1 且 m≠1
【思路点拨】由二次根式和分式有意义的条件可
得mm＋ －11≥ ≠00， ， 解得 m 的取值范围即可．
第二十二页，共46页。
方法总结： 由分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件 是使各个部分都有意义 .分式有意义的条件是分母不等 于 0；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于 0.
3
a.
第十一页，共46页。
温馨提示： 1.在应用 x2＝a 时，一定不要忘记 a≥0. 2.平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中 的一个，只有非负数才有平方根和算术平方根. 3.任意实数都有且只有一个立方根. 4.平方根等于它本身的数是 0，算术平方根等于它 本身的数是 0 和 1，立方根等于它本身的数是 0 和±1.
第三十五页，共46页。
9．计算：2
1－ 8
12－ 18＋ 2－2
13.
解：原式＝
22－
2 2
－
3
2－
2＋2 3 3＝2 3 3－
4 2.
第三十六页，共46页。
10 ． (2014·绍 兴 第 一 中 学 调 研 ) 要 使 3－x ＋
1 有意义，则 2x－1
x
应满足(
D
)
A. 12≤x≤3
B．x≤3 且 x≠12
开方数中不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的
因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为 1.
第十六页，共46页。
考点五
二次根式的运算
1．二次根式的加减法
先将各根式化为最简二次根式，然后合并被开方数
相同的根式．
二次根式的加减与整式的加减相似，可将被开方数
相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合并．
x－3中，x 可以取 2 和 3 的是( C )
1 A. x－2
1 B. x－3
C. x－2
D. x－3
3．(2014·台州)下列整数中，与 30最 接近的是
(B) A．4
B．5
C．6
D．7
第六页，共46页。
4．(2012·宁波)下列计算正确的是( D )
A．a6÷a2＝a3
B．(a3)2＝a5
C. 25＝±5
＋412，…，Sn＝1＋n12＋n＋1 12.设 S＝ S1＋ S2＋…＋
Sn，则 S＝ 正整数)．
(用含 n 的代数式表示，其中 n 为
第四十一页，共46页。
解析
：
∵
S1＝
1
＋112＋
1 22
＝
9 4
，∴
S1
＝
3 2
＝
1＋
1 2
＝
1＋
1－12
；
∵
S2
＝
1
＋
1 22
＋
1 32
＝
49 36
，
∴
S2
＝
(2013·潍 坊 ) 实 数 0.5 的 算 术 平 方 根 等 于
(C)
A．2
B. 2
C.
2 2
D.
1 2
【思路点拨】本题考查算术平方根的概念，把 0.5
先写成12，再进行化简计算．
第二十页，共46页。
9的平方根是 ± 3 . －27 的立方根是－3.
第二十一页，共46页。
考点二 二次根式的性质
第四十五页，共46页。
(3)若 a＋4 3＝(m＋n 3)2，且 a，m，n 均为正整 数，求 a 的值．
解：由 b＝2mn，得 4＝2mn，∴mn＝2. ∵a，m，n 均为正整数，∴mn＝1×2 或 mn＝2×1， 即 m＝1，n＝2 或 m＝2，n＝1. 当 m＝1，n＝2 时，a＝m2＋3n2＝12＋3×22＝13； 当 m＝2，n＝1 时，a＝m2＋3n2＝22＋3×12＝7.
D．①②③
ab＝－b.
第二十五页，共46页。
【思路点拨】本题考查二次根式的乘法和除法，清 楚两个公式成立的条件是解题的关键．根据 ab>0， a＋b<0，可知 a<0，b<0.
答案： B
第二十六页，共46页。
方法总结：
二次根式的加减实质是合并同类二次根式，二次
根式的乘除实质是二次根式 ab＝ a× ba≥0，
第十二页，共46页。
考点二
二次根式的概念
1．式子 a(a≥0)叫做二次根式． 温馨提示：
1. aa≥0表示 a 的算术平方根，它是一个非负数.
2.二次根式 aa≥0中 a 可以表示数、单项式、多 项式以及符合条件的一切代数式.
第十三页，共46页。
2．估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼近” 的方法，即首先找出与该数邻近的两个完全平方数， 可估算出该无理数的整数部分，然后再取一位小数进 一步估算即可．
1．若 x2＝a(a≥0)，则 x 叫做 a 的平方根，记做± a；
正数 a 的正的平方根，称为算术平方根，记做 a. 2．平方根有以下性质：(1)正数有两个平方根，它
们互为相反数；(2)0 的平方根是 0；(3)( a)2＝a(a≥0)； (4)负数没有平方根．
3．如果 x3＝a，那么 x 叫做 a 的立方根，记做
第四十三页，共46页。
18．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子 可以写成另一个式子的平方，如 3＋2 2＝(1＋ 2)2. 善于思考的小明进行了以下探索： 设 a＋b 2＝(m＋n 2)2(其中 a，b，m，n 均为整 数)，则有 a＋b 2＝m2＋2n2＋2mn 2. ∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把 类似 a＋b 2的式子化为平方式的方法．
7 6
＝
1
＋
1 6
＝
1
＋
12－13；…，∴S＝1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－41
＋…＋1＋n1－n＋1 1＝1×n＋1－n＋1 1＝nn2＋＋21n.
答案：
n2＋2n n＋1
第四十二页，共46页。
17．(2014·张家界)计算：( 5－1)( 5＋1)－－31－2
＋|1－ 2|－(π－2)0＋ 8. 解：原式＝5－1－9＋ 2－1－1＋2 2＝3 2－7.
x 的取值范围是( C )
A．x≥12
B．x≥－12
C．x>12
D．x≠12
第三十一页，共46页。
2．(2014·滨州)估计 5在( C )
A．0～1 之间 B．1～2 之间
C．2～3 之间 D．3～4 之间
3．(2014·临夏州)下列计算错误的是( B )
A. 2· 3＝ 6
B. 2＋ 3＝ 5
第四十四页，共46页。
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a＋b 3＝ (m＋n 3)2，则用含 m，n 的式子分别表示 a，b，得 a ＝m2＋3n2，b＝2mn； (2)利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空：12＋6 3＝(3＋1 3)2；(答案不唯一)
(2014·威海)计算： 45－ 25× 50＝ 5 . 【思路点拨】根据二次根式的乘法运算法则以及 二次根式的化简计算即可．
值是 2.
(2013·宿迁)计算 2( 2－ 3)＋ 6的
第二十九页，共46页。
能力评估(pínɡ ɡū)检测
第三十页，共46页。
1．(2014·南通)若
1 在实数范围内有意义，则 2x－1
C. 12÷ 3＝2
D. 8＝2 2
第三十二页，共46页。
4．(2014·连云港)计算 －32的结果是( B )
A．－3
B．3
C．－9
D．9
5．下列运算正确的是( D )
A．6 a2＝ 3a
B．－2 3＝ －22×3
C．a2 a1＝ a
D. 18－ 8＝ 2
第三十三页，共46页。
6 ． (2014·衢 州 实 验 中 学 模 拟 ) 已 知 x<0 ， 则
3 B. 6
3 C. 3
33 D. 4
13．若 m＞2，化简： 2－m2＝m－2.
14．(2014·河北)计算： 8× 12＝2.
第三十九页，共46页。
15．(2014·临夏州)已知 x，y 为实数，且 y＝ x2－9 － 9－x2＋4，则 x－y＝－1 或－7.
第四十页，共46页。
16．设 S1＝1＋112＋212，S2＝1＋212＋312，S3＝1＋312
b≥0和
ab＝
a a≥0，b＞0的逆运用. b
第二十七页，共46页。
(2014·聊城)下列计算正确的是 (D)
A．2 3×3 3＝6 3
B. 2＋ 3＝ 5
C．5 5－2 2＝3 3
D.
2÷
3＝
6 3
(2014·黄冈)计算： 12－ 34＝3 23 .
第二十八页，共46页。
考点四 二次根式的混合运算
第八页，共46页。
8．(2012·杭州)已知 a(a－ 3)<0，若 b＝2－a， 则 b 的取值范围是 2－ 3<b<2.
解析：因为 a≥0， a(a－ 3)<0，所以 0<a< 3， 又因为 b＝2－a，所以 2－ 3<b<2.
第九页，共46页。
第十页，共46页。
考点一 平方根、算术平方根、立方根
第十七页，共46页。
2．二次根式的乘除法 二次根式的乘法： a× b＝ ab(a≥0，b≥0)；
二次根式的除法： a＝ b
a b
(a≥0，b＞0)．
二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式，其
运算顺序与有理式的运算顺序相同，运算律仍然适用.
第十八页，共46页。
第十九页，共46页。
考点一
平方根、算术平方根、立方根
第十四页，共46页。
考点三
二次根式的性质
1. a(a≥0)是非负数． 2．( a)2＝a(a≥0)．
3. a2＝|a|＝a－aaa≥＜00；.
4. ab＝ a× b (a≥0，b≥0)．
5.
ab＝
a(a≥0，b>0)． b
第十五页，共46页。
考点四
最简二次根式
最简二次根式必须同时满足以下两个条件：(1)被
1 C. 2<x<3
D. 12<x≤3
第三十七页，共46页。
11．(2014·内江)按如图所示的程序计算，若开始 输入的 n 值为 2，则最后输出的结果是( C )
A．14 C．8＋5 2
B．16 D．14＋ 2
第三十八页，共46页。
12．计算
9 ÷
12
5142×
36的值是( B )
3 A. 12
第二十三页，共46页。
若式子 xx＋1有意义，则 x 的取值范 围是 x≥－1 且 x≠0.
第二十四页，共46页。
Hale Waihona Puke 考点三 二次根式的运算加减、乘除
(2014·济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：
①
ab＝
a；② b
a b·
ba＝1；③ ab÷
其中正确的是( B )
A．①②
B．②③
C．①③
D. 3 －8＝－2
5．(2012·杭州)已知 m＝－ 33×(－2 21)，则有
(A) A．5<m<6
B．4<m<5
C．－5<m<－4
D．－6<m<－5
第七页，共46页。
6．(2013·宁波)实数－8 的立方根是－2. 7．(2013·杭州)把 7 的平方根和立方根按从小到大 的顺序排列为－ 7， 3 7， 7 .
x2－2x＋1化简的结果是( D )
A．x－1
B．x＋1
C．－x－1
D．1－x
7．若实数 a，b 满足|a＋2|＋ b－4＝0，则ab2＝1 .
第三十四页，共46页。
8．若 20n是整数，则正整数 n 的最小值为 5. 解析：∵ 20n为整数，∴20n 为完全平方数且是 20 的倍数，∴20n 的最小值为 100，∴n＝5.
第一页，共46页。
第二页，共46页。
第三页，共46页。
第四页，共46页。
1．(2014·湖州)二次根式 x－1 中字母x的取值范
围是( D )
A．x<1
B．x≤1
C．x>1
D．x≥1
第五页，共46页。
2．(2014·义乌、金华)在式子x－1 2，x－1 3， x－2，
第四十六页，共46页。
(2014·巴中)要使式子 mm－＋11有意义，则 m 的
取值范围是( D )
A．m>－1
B．m≥－1
C．m>－1 且 m≠1
D．m≥－1 且 m≠1
【思路点拨】由二次根式和分式有意义的条件可
得mm＋ －11≥ ≠00， ， 解得 m 的取值范围即可．
第二十二页，共46页。
方法总结： 由分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件 是使各个部分都有意义 .分式有意义的条件是分母不等 于 0；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于 0.
3
a.
第十一页，共46页。
温馨提示： 1.在应用 x2＝a 时，一定不要忘记 a≥0. 2.平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中 的一个，只有非负数才有平方根和算术平方根. 3.任意实数都有且只有一个立方根. 4.平方根等于它本身的数是 0，算术平方根等于它 本身的数是 0 和 1，立方根等于它本身的数是 0 和±1.
第三十五页，共46页。
9．计算：2
1－ 8
12－ 18＋ 2－2
13.
解：原式＝
22－
2 2
－
3
2－
2＋2 3 3＝2 3 3－
4 2.
第三十六页，共46页。
10 ． (2014·绍 兴 第 一 中 学 调 研 ) 要 使 3－x ＋
1 有意义，则 2x－1
x
应满足(
D
)
A. 12≤x≤3
B．x≤3 且 x≠12
开方数中不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的
因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为 1.
第十六页，共46页。
考点五
二次根式的运算
1．二次根式的加减法
先将各根式化为最简二次根式，然后合并被开方数
相同的根式．
二次根式的加减与整式的加减相似，可将被开方数
相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合并．
x－3中，x 可以取 2 和 3 的是( C )
1 A. x－2
1 B. x－3
C. x－2
D. x－3
3．(2014·台州)下列整数中，与 30最 接近的是
(B) A．4
B．5
C．6
D．7
第六页，共46页。
4．(2012·宁波)下列计算正确的是( D )
A．a6÷a2＝a3
B．(a3)2＝a5
C. 25＝±5
＋412，…，Sn＝1＋n12＋n＋1 12.设 S＝ S1＋ S2＋…＋
Sn，则 S＝ 正整数)．
(用含 n 的代数式表示，其中 n 为
第四十一页，共46页。
解析
：
∵
S1＝
1
＋112＋
1 22
＝
9 4
，∴
S1
＝
3 2
＝
1＋
1 2
＝
1＋
1－12
；
∵
S2
＝
1
＋
1 22
＋
1 32
＝
49 36
，
∴
S2
＝
(2013·潍 坊 ) 实 数 0.5 的 算 术 平 方 根 等 于
(C)
A．2
B. 2
C.
2 2
D.
1 2
【思路点拨】本题考查算术平方根的概念，把 0.5
先写成12，再进行化简计算．
第二十页，共46页。
9的平方根是 ± 3 . －27 的立方根是－3.
第二十一页，共46页。
考点二 二次根式的性质
第四十五页，共46页。
(3)若 a＋4 3＝(m＋n 3)2，且 a，m，n 均为正整 数，求 a 的值．
解：由 b＝2mn，得 4＝2mn，∴mn＝2. ∵a，m，n 均为正整数，∴mn＝1×2 或 mn＝2×1， 即 m＝1，n＝2 或 m＝2，n＝1. 当 m＝1，n＝2 时，a＝m2＋3n2＝12＋3×22＝13； 当 m＝2，n＝1 时，a＝m2＋3n2＝22＋3×12＝7.
D．①②③
ab＝－b.
第二十五页，共46页。
【思路点拨】本题考查二次根式的乘法和除法，清 楚两个公式成立的条件是解题的关键．根据 ab>0， a＋b<0，可知 a<0，b<0.
答案： B
第二十六页，共46页。
方法总结：
二次根式的加减实质是合并同类二次根式，二次
根式的乘除实质是二次根式 ab＝ a× ba≥0，
第十二页，共46页。
考点二
二次根式的概念
1．式子 a(a≥0)叫做二次根式． 温馨提示：
1. aa≥0表示 a 的算术平方根，它是一个非负数.
2.二次根式 aa≥0中 a 可以表示数、单项式、多 项式以及符合条件的一切代数式.
第十三页，共46页。
2．估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼近” 的方法，即首先找出与该数邻近的两个完全平方数， 可估算出该无理数的整数部分，然后再取一位小数进 一步估算即可．
1．若 x2＝a(a≥0)，则 x 叫做 a 的平方根，记做± a；
正数 a 的正的平方根，称为算术平方根，记做 a. 2．平方根有以下性质：(1)正数有两个平方根，它
们互为相反数；(2)0 的平方根是 0；(3)( a)2＝a(a≥0)； (4)负数没有平方根．
3．如果 x3＝a，那么 x 叫做 a 的立方根，记做
第四十三页，共46页。
18．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子 可以写成另一个式子的平方，如 3＋2 2＝(1＋ 2)2. 善于思考的小明进行了以下探索： 设 a＋b 2＝(m＋n 2)2(其中 a，b，m，n 均为整 数)，则有 a＋b 2＝m2＋2n2＋2mn 2. ∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把 类似 a＋b 2的式子化为平方式的方法．
7 6
＝
1
＋
1 6
＝
1
＋
12－13；…，∴S＝1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－41
＋…＋1＋n1－n＋1 1＝1×n＋1－n＋1 1＝nn2＋＋21n.
答案：
n2＋2n n＋1
第四十二页，共46页。
17．(2014·张家界)计算：( 5－1)( 5＋1)－－31－2
＋|1－ 2|－(π－2)0＋ 8. 解：原式＝5－1－9＋ 2－1－1＋2 2＝3 2－7.
x 的取值范围是( C )
A．x≥12
B．x≥－12
C．x>12
D．x≠12
第三十一页，共46页。
2．(2014·滨州)估计 5在( C )
A．0～1 之间 B．1～2 之间
C．2～3 之间 D．3～4 之间
3．(2014·临夏州)下列计算错误的是( B )
A. 2· 3＝ 6
B. 2＋ 3＝ 5
第四十四页，共46页。
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a＋b 3＝ (m＋n 3)2，则用含 m，n 的式子分别表示 a，b，得 a ＝m2＋3n2，b＝2mn； (2)利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空：12＋6 3＝(3＋1 3)2；(答案不唯一)
(2014·威海)计算： 45－ 25× 50＝ 5 . 【思路点拨】根据二次根式的乘法运算法则以及 二次根式的化简计算即可．
值是 2.
(2013·宿迁)计算 2( 2－ 3)＋ 6的
第二十九页，共46页。
能力评估(pínɡ ɡū)检测
第三十页，共46页。
1．(2014·南通)若
1 在实数范围内有意义，则 2x－1
C. 12÷ 3＝2
D. 8＝2 2
第三十二页，共46页。
4．(2014·连云港)计算 －32的结果是( B )
A．－3
B．3
C．－9
D．9
5．下列运算正确的是( D )
A．6 a2＝ 3a
B．－2 3＝ －22×3
C．a2 a1＝ a
D. 18－ 8＝ 2
第三十三页，共46页。
6 ． (2014·衢 州 实 验 中 学 模 拟 ) 已 知 x<0 ， 则
3 B. 6
3 C. 3
33 D. 4
13．若 m＞2，化简： 2－m2＝m－2.
14．(2014·河北)计算： 8× 12＝2.
第三十九页，共46页。
15．(2014·临夏州)已知 x，y 为实数，且 y＝ x2－9 － 9－x2＋4，则 x－y＝－1 或－7.
第四十页，共46页。
16．设 S1＝1＋112＋212，S2＝1＋212＋312，S3＝1＋312
b≥0和
ab＝
a a≥0，b＞0的逆运用. b
第二十七页，共46页。
(2014·聊城)下列计算正确的是 (D)
A．2 3×3 3＝6 3
B. 2＋ 3＝ 5
C．5 5－2 2＝3 3
D.
2÷
3＝
6 3
(2014·黄冈)计算： 12－ 34＝3 23 .
第二十八页，共46页。
考点四 二次根式的混合运算
第八页，共46页。
8．(2012·杭州)已知 a(a－ 3)<0，若 b＝2－a， 则 b 的取值范围是 2－ 3<b<2.
解析：因为 a≥0， a(a－ 3)<0，所以 0<a< 3， 又因为 b＝2－a，所以 2－ 3<b<2.
第九页，共46页。
第十页，共46页。
考点一 平方根、算术平方根、立方根
第十七页，共46页。
2．二次根式的乘除法 二次根式的乘法： a× b＝ ab(a≥0，b≥0)；
二次根式的除法： a＝ b
a b
(a≥0，b＞0)．
二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式，其
运算顺序与有理式的运算顺序相同，运算律仍然适用.
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考点一
平方根、算术平方根、立方根
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考点三
二次根式的性质
1. a(a≥0)是非负数． 2．( a)2＝a(a≥0)．
3. a2＝|a|＝a－aaa≥＜00；.
4. ab＝ a× b (a≥0，b≥0)．
5.
ab＝
a(a≥0，b>0)． b
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考点四
最简二次根式
最简二次根式必须同时满足以下两个条件：(1)被
1 C. 2<x<3
D. 12<x≤3
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11．(2014·内江)按如图所示的程序计算，若开始 输入的 n 值为 2，则最后输出的结果是( C )
A．14 C．8＋5 2
B．16 D．14＋ 2
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12．计算
9 ÷
12
5142×
36的值是( B )
3 A. 12
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若式子 xx＋1有意义，则 x 的取值范 围是 x≥－1 且 x≠0.
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Hale Waihona Puke 考点三 二次根式的运算加减、乘除
(2014·济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：
①
ab＝
a；② b
a b·
ba＝1；③ ab÷
其中正确的是( B )
A．①②
B．②③
C．①③
D. 3 －8＝－2
5．(2012·杭州)已知 m＝－ 33×(－2 21)，则有
(A) A．5<m<6
B．4<m<5
C．－5<m<－4
D．－6<m<－5
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6．(2013·宁波)实数－8 的立方根是－2. 7．(2013·杭州)把 7 的平方根和立方根按从小到大 的顺序排列为－ 7， 3 7， 7 .
x2－2x＋1化简的结果是( D )
A．x－1
B．x＋1
C．－x－1
D．1－x
7．若实数 a，b 满足|a＋2|＋ b－4＝0，则ab2＝1 .
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8．若 20n是整数，则正整数 n 的最小值为 5. 解析：∵ 20n为整数，∴20n 为完全平方数且是 20 的倍数，∴20n 的最小值为 100，∴n＝5.