高考数学(理)二轮专题复习知能提升演练：1-6-3直线与圆锥曲线的综合问题 Word版含解析[ 高考]

第3讲 直线与圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1．(2013·济南3月模拟)若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是 ( )．
A ．(1,2)
B ．(1,2]
C ．(1，5)
D ．(1，5]
解析 因为双曲线的渐近线为y ＝±
b a x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有b
a ≤3，即
b ≤3a ，所以b 2≤3a 2， ∴
c 2－a 2≤3a 2，则c 2≤4a 2，故1<e ≤2. 答案 B
2．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为 ( )．
A. 2 B ．2 2 C ．4
D ．8
解析 设C ：x 2a 2－y 2
a 2＝1.
∵抛物线y 2
＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2
a 2＝1和x ＝－4得A (－4，
16－a 2)，B (－4，－16－a 2)，
∴|AB |＝216－a 2＝43，∴a ＝2，∴2a ＝4. ∴C 的实轴长为4. 答案 C
3．(2013·四川高考)从椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是
( )．
A.24
B.12
C.22
D.32
解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b
a ，由于OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－
b a ，y 0＝b
c a ，把P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得(－c )2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫bc a 2
b 2＝1，
因而⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝1
2，∴e ＝c a ＝22.
答案 C
4.在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是
( )．
A ．(－2,1)
B ．(1,2)
C ．(2,1)
D ．(－1,2)
解析 显然点A 在抛物线y ＝2x 2内部，
过点A 作准线l 的垂线AH ，垂足为H ，交抛物线于P . 由抛物线定义，|PF |＝|PH |， ∴(|P A |＋|PF |)min ＝|PH |＋|P A |＝|AH |， 将x ＝1代入y ＝2x 2，得y ＝2， ∴点P 的坐标为(1,2)． 答案 B
5．(2013·潍坊质检)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为
( )．
A ．x 2＝83
3y B ．x 2＝163
3y C ．x 2＝8y
D ．x 2＝16y
解析 ∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2， ∴c
a ＝a 2＋
b 2a ＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，
∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8. ∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案 D 二、填空题
6．椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________． 解析 由题意知|AF 1|＝a －
c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，
即4c 2
＝a 2
－c 2
，a 2
＝5c 2
，所以e 2
＝15，所以e ＝55.
答案 5
5
7．(2013·浙江高考)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．
解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x 0，y 0)． 解方程组⎩⎨⎧
y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x .
化简得：k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4－2k 2
k 2，
y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝4
k ， ∴x 0＝2－k 2k 2，y 0＝2k ，
由(x 0－1)2
＋(y 0－0)2
＝2得：⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 2
k 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k 2
＝4.
∴k ＝±1. 答案 ±1
8．已知椭圆x 24＋y 2
b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为________．
解析 不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ， ∴S △ABF ＝1
2×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2(4－b )2 ≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2.即b 2＝2时取等号)．
故△ABF 面积的最大值为2. 答案 2 三、解答题
9．(2013·浙江高考)已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO 、BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．
解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p
2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎨⎧
y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1. 又y ＝y 1
x 1
x ，且y ＝x －2，
解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝8
4－x 1
. 同理点N 的横坐标x N ＝8
4－x 2
. 所以|MN |＝2|x M －x N | ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪8
4－x 1－84－x 2
＝82⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16 ＝82·k 2＋1|4k －3|
，
令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋3
4. 当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6
t ＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝22
⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥8
5 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－4
3时， |MN |取到最小值， 且|MN |的最小值是8
5 2.
10．(2013·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2
＝1上的三个点，O 是坐标原点．
(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．
解 (1)椭圆W ：x 24＋y 2
＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)． 因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分． 所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得1
4＋m 2＝1， 即m ＝±3
2.
所以菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝1
2×2×2|m |＝ 3. (2)假设四边形OABC 为菱形．
因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，
由⎩⎨⎧
x 2＋4y 2
＝4，y ＝kx ＋m ，
消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则
x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m
1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.
因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－1
4k . 因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫
－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．
11.(2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1
的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D . (1)求椭圆C 1的方程；
(2)求当△ABD 的面积取最大值时，直线l 1的方程．
解 (1)由题意得⎩⎨⎧
b ＝1，
a ＝2.
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，
则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离 d ＝1
k 2＋1，
所以|AB |＝24－d 2
＝2
4k 2＋3
k 2＋1
. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0. 由⎩
⎨⎧
x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2
＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.
所以|PD |＝8k 2＋1
4＋k 2
.
设△ABD 的面积为S ，则S ＝1
2·|AB |·|PD | ＝84k 2＋34＋k 2
，
所以S＝
32
4k2＋3＋
13
4k2＋3
≤
32
24k2＋3·
13
4k2＋3
＝1613 13，
当且仅当k＝±10
2时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±10
2x－1.。