专题01 有理数的运算(解析版)

专题01有理数的运算
一、有理数的概念
1．有理数的概念：整数和分数统称有理数
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

2.有理数大小的比较
（1）正数的绝对值越大，这个数越大；
（2）正数永远比0大，负数永远比0小；
（3）正数大于一切负数；
（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；
（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.
二、有理数的运算
1．有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；
（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.
3.有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 4.有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .
5．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0
a
.
6．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 注意：当n 为正奇数时: (-a)n
=-a n
或(a -b)n
=-(b-a)n
,
当n 为正偶数时: (-a)n
=a
n
或 (a-b)n =(b-a)n
.
7.有理数混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 三、相反数、绝对值和倒数的概念 1．相反数：
(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数. 2.绝对值：
(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)
0a (a )0a (0)
0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a
a ；绝对值的问题经常分类讨论；
3.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是
a
1
； 若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数. 四、乘方 1．乘方的定义
（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；
（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；
2．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n
的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.
3.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
4.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.
【例题1】（2020•新疆）下列各数中，是负数的为（ ）
A ．﹣1
B ．0
C ．0.2
D ．1
2
【答案】A
【解析】利用正数与负数的定义判断即可．
﹣1是负数；0既不是正数也不是负数；0.2是正数；12
是正数．
【对点练习】下列各数中，不是负数的是（ ）
A ．−2
B ．3
C ． −5
8
D ．−
0.10
【解析】利用负数的定义判断即可得到结果．
A.−2是负数，故本选项不符合题意；
B.3是正数，不是负数，故本选项符合题意；
是负数，故本选项不符合题意；
D.−0.10是负数，故本选项不符合题意。

【例题2】（2020•成都）﹣2的绝对值是（）
A．﹣2 B．1 C．2 D．1
2
【答案】C
【解析】利用数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．
﹣2的绝对值为2．
【对点练习】（2019•广东省广州市）|﹣6|＝（）
A．﹣6 B．6 C．﹣D．
【答案】B．
【解析】本题考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
﹣6的绝对值是|﹣6|＝6．
【例题3】（2020•济宁）−7
2
的相反数是（）
A．−7
2B．−2
7
C．2
7
D．7
2
【解析】直接利用相反数的定义分析得出答案． −7
2
的相反数是：7
2
．
【对点练习】（2019•江苏苏州）5的相反数是（ ） A ．15 B ．1
5
- C ．5
D ．5-
【答案】D
【解析】考察相反数的定义，简单题型.5的相反是为5-。

【例题4】（2020贵州黔西南）2的倒数是（ ）
A. 2
B.
1
2
C. 12
-
D. -2
【答案】B
【解析】倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，由此即可得出答案.
∵2×
1
2
=1， ∴2的倒数是
12
【点拨】本题考查了倒数的定义，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键. 【对点练习】（2019•湖南株洲）﹣3的倒数是（ ） A ．﹣
B ．
C ．﹣3
D ．3
【答案】A
【解析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． ∵﹣3×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
【例题5】（2020•重庆）下列各数中，最小的数是（）
A．﹣3 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，可得答案．
∵﹣3＜0＜1＜2，
∴这四个数中最小的数是﹣3．
【对点练习】在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】A．
【解析】本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．根据正数大于零，零大于负数，可得答案．
由正数大于零，零大于负数，得
﹣3＜﹣1＜0＜1，
最小的数是﹣3。

【例题6】（2020•枣庄）计算−2
3−（−1
6
）的结果为（）
A．−1
2B．1
2
C．−5
6
D．5
6
【答案】A
【解析】根据有理数的减法法则计算即可．
−2
3−（−1
6
）=−2
3
+1
6
=−1
2
．
【对点练习】计算1—2+3—4+5—6+…+2019—2020
【答案】—1010
【解析】1—2+3—4+5—6+ +2019—2020共有1010项，
可以分1010项，每一项都是-1.这样代数和为-1010
【例题7】（台湾）算式743×369﹣741×370之值为何？( )
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】A
【解析】根据乘法分配律，可简便运算，根据有理数的减法，可得答案．
原式＝743×(370﹣1)﹣741×370＝370×(743﹣741)﹣743＝370×2﹣743＝﹣3
【对点练习】计算++++…+的结果是_______.
A．B．C．D．
【答案】
【解析】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算．
原式＝
＝
＝．
【例题8】（2020•凉山州）﹣12020＝（）
A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣2020
【答案】B
【解析】根据有理数的乘方运算，即可得出答案． ﹣1
2020
＝﹣1．
【对点练习】（2019•广东）计算20190
+(
3
1)﹣1
=____________． 【答案】4
【解析】零指数幂和负指数幂的运算 原式=1+3=4
【例题9】（2020贵州黔西南）某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把360000用科学记数法表示应是（ ） A. 0.36×106 B. 3.6×105 C. 3.6×106 D. 36×105
【答案】B
【解析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n 是非负数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 解： 360 000＝3.6×105，
【点拨】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
【对点练习】2019年我国的GDP 总量为629180亿元，将629180亿用科学记数法表示为（ ） A ． 6.2918×105
元 B ． 6.2918×1014
元 C ． 6.2918×1013
元 D ． 6.2918×1012
元 【答案】C ．
【解析】科学记数法的表示形式为a ×10n
的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
将629180亿用科学记数法表示为：6.2918×1013．
一、选择题
1.（2020•南充）若1
x
=−4，则x的值是（）
A．4 B．1
4C．−1
4
D．﹣4
【答案】C
【解析】根据倒数的定义求出即可．
【解析】∵1
x
=−4，
∴x=−1
4
2．（2020•河南）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）
A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B
【答案】A
【解析】列出算式，进行计算即可．
由题意得：210×210×210B＝210+10+10＝230B，
3.（2020•泰安）2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（）
A．4×1012元B．4×1010元C．4×1011元D．40×109元
【答案】C
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
4000亿＝400000000000＝4×1011，
4．（2020•乐山）数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是（）
A．4 B．﹣4或10 C．﹣10 D．4或﹣10
【答案】D
【解析】根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可．
点A表示的数是﹣3，左移7个单位，得﹣3﹣7＝﹣10，
点A表示的数是﹣3，右移7个单位，得﹣3+7＝4．
所以点B表示的数是4或﹣10．
5．（2020•黔东南州）实数2√10介于（）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【答案】C
【解析】首先化简2√10=√40，再估算√40，由此即可判定选项．
∵2√10=√40，且6＜√40＜7，
∴6＜2√10＜7．
6．（2020•铜仁市）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（）
A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
【答案】D
【解析】根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．根据数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
则a＜b，﹣a＞b，a＜﹣b，﹣a＞b．
7．（2020•新疆）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＞0
【答案】B
【解析】直接利用数轴上a，b的位置进而比较得出答案．
如图所示：
A.a＜b，故此选项错误；
B.|a|＞|b|，正确；
C.﹣a＞b，故此选项错误；
D.a+b＜0，故此选项错误.
8．下列说法正确的是（）
A．一个数的绝对值一定比0大
B．一个数的相反数一定比它本身小
C．绝对值等于它本身的数一定是正数
D．最小的正整数是1
【答案】D．
【解析】分别利用绝对值以及有理数和相反数的定义分析得出即可．
A．一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；
B．一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；C．绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；D．最小的正整数是1，正确．
9.（2020•鞍山一模）|﹣2020|的结果是（）
A．1
2020B．2020 C．−1
2020
D．﹣2020
【答案】B
【解析】根据绝对值的性质直接解答即可．
|﹣2020|＝2020
10.（2019•铜仁）2019的相反数是（）
A．B．﹣C．|2019| D．﹣2019
【答案】D
【解析】2019的相反数是﹣2019
11.（2019•广西贺州）某图书馆现在有图书约985000册，数据985000用科学记数法可表示为（）A．985×103B．98.5×104C．9.85×105D．0.985×106
【答案】C．
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于985000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．
985000＝9.85×105
二、填空题
12．（2020•乐山）用“＞”或“＜”符号填空：﹣7 ﹣9．
【答案】＞．
【解析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答．
∵|﹣7|＝7，|﹣9|＝9，7＜9，
∴﹣7＞﹣9
13.如果某同学的量化分奖2分记+2分，则该同学扣1分应记做_______分．
【答案】﹣1．
【解析】本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量奖为“+”，则扣为“﹣”，从而可得扣1分记为：﹣1．
∵奖2分记作：“+2”，
∴扣1分记作：“﹣1”．
14．在数1，0，﹣1，|﹣2|中，最小的数是．
【答案】﹣1．
【解析】此题考查了有理数的大小比较，弄清有理数的比较方法是解本题的关键．
利用绝对值的代数意义化简后，找出最小的数即可．
在数1，0，﹣1，|﹣2|=2中，最小的数是﹣1．
15. 与﹣2的和为0的是______.
【答案】2．
【解析】设这个数为x，根据题意可得方程x+（﹣2）=0，再解方程即可
设这个数为x，由题意得：
x+（﹣2）=0，x﹣2=0，x=2，
16．计算：23﹣（﹣2）= ．
【答案】10
【解析】此题考查有理数的乘方，关键是根据有理数的乘方得出23=8，再与2相加．
23﹣（﹣2）=8+2=10．
17.（2019▪黑龙江哈尔滨）将数6260000用科学记数法表示为．
【答案】6.26×106．
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
6260000用科学记数法可表示为6.26×106
18.（2019•湖南邵阳）的相反数是．
【答案】﹣
【解析】根据相反数的意义，即可求解。

的相反数是﹣。

19.（2019•江苏无锡）2019年6月29日，新建的无锡文化旅游城将盛大开业，开业后预计接待游客量约20000000人次，这个年接待客量可以用科学记数法表示为人次．
【答案】2×107．
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
将20000000用科学记数法表示为：2×107．
20.（2019•山东省聊城市）计算：（﹣﹣）÷＝．
【答案】﹣．
【解析】有理数的混合运算。

先计算括号内的减法，同时将除法转化为乘法，再约分即可得．
原式＝（﹣）×＝﹣
21. (2019黑龙江绥化)某年一月份,哈尔滨市的平均气温约为－20℃,绥化市的平均气温约为－23℃,则两地的温差为________℃.
【答案】3
【解析】－20－(－23)＝3
22.（2019湖北咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．
【答案】﹣384
【解析】∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，
∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，
∵其中某三个相邻数的积是412，
∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1、（﹣2）n、（﹣2）n+1，
则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，
即（﹣2）3n＝（22）12，
∴（﹣2）3n＝224，
∴3n＝24，
解得，n＝8，
∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384
23.按照要求，用四舍五入法表示数:1.804=______（精确到0.01）
【答案】1.80
【解析】精确到0.01，意思就是把这个数保留到小数点后两位，关键要看小数点后第三位要等于大于5就把小数点后面第二位进1。

小数点后第三位要小于5，小数点后面第二位不变。

精确到0.001，意思就是把这个数保留到小数点后三位，关键要看小数点后第四位要等于大于5就把小数点后面第三位进1。

小数点后第四位要小于5，小数点后面第三位不变。

1.804（精确到0.01）=1.80
三、解答题
24.（2019•河北省）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：1+2﹣6﹣9；
（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；
（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
【答案】见解析。

【解析】（1）1+2﹣6﹣9
＝3﹣6﹣9
＝﹣3﹣9
＝﹣12；
（2）∵1÷2×6□9＝﹣6，
∴1××6□9＝﹣6，
∴3□9＝﹣6，
∴□内的符号是“﹣”；
（3）这个最小数是﹣20，
理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，
∴1□2□6的结果是负数即可，
∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，
∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，
∴这个最小数是﹣20．
25.（2020大连模拟）某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自O 地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10、-3、+4、+2、-8、+13、-2、
+12、+8、+5
（1）问收工时距O地多远？
（2）若每千米耗油0.2升，从O地出发到收工时共耗油多少升？
【答案】（1）41千米（2）13.4
【解析】10-3+4+2-8+13-2+12+8+5=41
把各数的绝对值相加=10+3+4+2+8+13+2+12+8+5=67
67×0.2=13.4(升)
26.计算：
121
()24 234
-+-⨯-
【答案】-2
【解析】利用乘法对加法的分配律可以快速准确地解答本题.
原式
121
24
234
⎛⎫
=-+-⨯ ⎪
⎝⎭
12166
=-+-
2
=-
27．计算：|﹣3|﹣（-1）0+（﹣2）2
【答案】6
【解析】根据绝对值的意义，零指数幂的意义即可求出答案。

原式=3﹣1+4=6。