初中数学数学二次根式的专项培优易错试卷练习题附解析

初中数学数学二次根式的专项培优易错试卷练习题附解析
一、选择题
1．对于所有实数a ，b ，下列等式总能成立的是（ ） A
．
2
a b =+ B
22a b =+ C
a b =+
D
a b =+
2．若01x <<
=( ). A ．
2
x
B ．2x
-
C ．2x -
D ．2x
3．
x 的取值可以是( ) A
B ．0
C ．12
-
D ．-1
4．下列各式中，无意义的是（ ） A
B
C
D ．310-
5．
(2的结果正确的是( )
A B ．3 C
．6
D ．3
6．下列说法错误的个数是（ ）
a =；④数轴上的点都
表示有理数 A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．对于已知三角形的三条边长分别为a ,b
,c ，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：
S =，其中2
a b c
p ++=
,若一个三角形的三边长分别为2,3,4，则其面积（ ）
A
B
C
D 8．当4x =
-
的值为（ ）
A ．
1 B
C ．2
D ．3
9．
若a
，
b ＝
，则a b 的值为（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．
3
21
+
D ．
610
+
10．计算()2
3-的结果是
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣9
D ．9
11．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ．23a
B ．
13
C ． 2.5
D ．22a b -
12．下列属于最简二次根式的是( ) A ．8
B ．5
C ．4
D ．
13
二、填空题
13．若m ＝
20161
-，则m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．
14．实数a 、b 满足22a -4a 436-12a a 10-b 4-b-2+++=+，则22a b +的最大值为_________．
15．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2
2b a b +
-﹣|a +b |的结果是
_____．
16．设12211112S =+
+，22211123S =++，32211134
S =++，设12...n S S S S =S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为
正整数)． 17．把31
a
-
根号外的因式移入根号内，得________ 18．若613x ，小数部分为y ，则(213)x y 的值是___. 19．11122323-=11113-23438⎛⎫= ⎪⎝⎭11114-345415⎛⎫=
⎪⎝⎭
据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________． 201262_____．
三、解答题
21．小明在解决问题：已知a 23
+2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a
＝2，
所以a －2
所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3. 所以a 2－4a ＝－1.
所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：
= － . (2)
… (3)若a
，求4a 2－8a ＋1的值．
【答案】 ，1；(2) 9；(3) 5 【分析】
（11
==；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解； （3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2
413a --代入求解即可. 【详解】
(1)计算：1
=； (2)原式
)
1...11019=
+
+
++
==-=；
(3)1
a =
==，
则原式(
)
()2
2
4213413a a a =-+-=--，
当1a =
时，原式2
435=⨯
-=.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.
22．先化简，再求值：a ＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】
试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮 （22a （a ＜0） （3）原式＝()
2
3a -a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.
23．计算：（1） 1220555
+
（2(25326326+-（） 【答案】（1） 352） -10 【分析】
（1）原式二次根式的乘除法法则进行计算即可得到答案；
（1）原式第一项运用二次根式的性质进行化简，第二项运用平方差公式进行化简即可． 【详解】 解：（1） 1
220555
+=10524555555
5⨯⨯⨯
=45255 =35
（2(25326326+-
=5+9-24
=14-24 =-10．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．
24．
【分析】
先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【详解】
． 【点睛】
本题考查了二次根式的加减运算，在进行此类运算时，先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
25．先化简，再求值：a ，其中
【答案】2a-1，【分析】
先根据二次根式的性质进行化简，再代入求值即可． 【详解】
解：
1a =-∴原式=1a a --=21a -
当1a =-
∴原式=(211-
=1-【点睛】
此题主要考查化简求值，正确理解二次根式的性质是解题关键．
26．已知
x y =
=求下列各式的值： (1)22x xy y -+；
(2)
.y x x y
+ 【答案】(1) 7
2
;(2)8. 【分析】
计算出
xy=
12
， （1）把x 2-xy+y 2变形为（x+y ）2-3xy ，然后利用整体代入的方法计算；
（2）把原式变形为2()2x y xy
xy
+-，然后利用整体代入的方法计算.
【详解】
∵x =
，y =
=3
2
∴
xy=1
2
, (1)22x xy y -+ =（x+y ）2-3xy,
=2
132
-⨯ =
72
; (2)
y x x y +
=22
1
2()2281
2
x y xy xy
-⨯
+-==.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
27．
一样的式子，其实我
3==
3==
，1===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化
还可以用以下方法化简：
2
2
111
1
===
-
=
（1
2
）化简：
2n
++
+
【答案】（1
-2
.
【解析】
试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．
试题解析：（1）
==
===
（2）原式
=
12
2
n
++++
=
1
2
.
考点：分母有理化．
28．计算：（1
（2
|a﹣1|，其中1＜a
【答案】（1）1；（2）1
【分析】
（1）根据二次根式的乘法法则计算；
（2）由二次根式的非负性，
a的取值范围进行化简．
【详解】
解：（1
－1
＝2－1＝1
（
2）∵1＜a，
a﹣1＝2﹣a＋a﹣1＝1．
【点睛】
本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则，主要检验学生的计算能力．
29．（1）计算：21)-
（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =
【答案】（1）5-2 【分析】
（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；
（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】
解：（1）原式21)=-
(31)(23)=---
5=-；
（2）原式=
=
= a ，b 为正数， ∴原式
=
把4a b +=，8ab =代入，则
原式
=
= 【点睛】
本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
30．02020((1)π-．
【答案】 【分析】
本题根据零次幂，最简二次根式，整数次幂的运算规则求解即可． 【详解】
原式11=-= 【点睛】
本题考查幂的运算与二次根式的综合，需牢记非零常数的零次幂为1，二次根式运算时需
化为最简二次根式，其次注意计算仔细．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【详解】
解：A 、错误，∵
2
=+a b
B 、正确，因为a 2+b 2≥0a 2+b 2；
C
D =|a +b |，其结果a+b 的符号不能确定． 故选B ．
2．D
解析：D 【分析】
根据二次根式的意义先化简各项，再进行分式的加减运算可得出解. 【详解】 解：∵0＜x ＜1， ∴0＜x ＜1＜1x
， ∴10x x +
>，1
0x x
-<．
原式=11x x x x
+-- =11x x x x +
+- =2x ． 故选D ．
点睛：本题考查了二次根式的性质和绝对值化简，也考查了分式的加减.
3．A
解析：A
【分析】
根据二次根式有意义，被开方数非负列出不等式，求解，再依此选择合适的选项． 【详解】 解：由题意得： x-1≥0 解之：x≥1.
1>． 故选：A ． 【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件．理解二次根式有意义，被开方数非负是解题关键．
4．A
解析：A 【分析】
直接利用二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质分析得出答案． 【详解】
A
B ，有意义，不合题意；
C
D 、3
3
1
10=10-，有意义，不合题意； 故选A. 【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质，正确把握二次根式的定义是解题关键．
5．A
解析：A 【分析】
分别根据二次根式的除法和乘法法则以及二次根式的平方计算每一项，再合并即可． 【详解】
解：原式333=+= 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式的乘除法则是解题的关键．
6．C
解析：C 【分析】
根据无理数定义判断①；根据平方根的算法判断②；利用二次根式的性质化简判断③；根据数轴的特点，判断④．
【详解】
无限不循环小数才是无理数，①错误；
3 =
，3的平方根是
②正确；
a
=，③错误；
数轴上的点可以表示所有有理数和无理数，④错误
故选：C．
【点睛】
本题考查无理数的定义、平方根的计算、二次根式的性质以及数轴表示数，紧抓相关定义是解题关键．
7．A
解析：A
【分析】
根据公式解答即可．
【详解】
根据题意，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则
2+349
=
222
a b c
p
+++
==
∴其面积为
4 S====
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．8．A
解析：A
【分析】
根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
解：原式22
2323
2323
x x
x x
11
2323
x x
将4
x=代入得，
原式
11
423423
221
11313 3113 13313113
1=.
故选：A.
【点睛】
本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
将a
可化简为关于b 的式子，从而得到a 和b 的关系，继而能得出a
b 的值．
【详解】
a
=
b 44
=．
∴14
a b =． 故选：B ．
【点睛】
本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b 的形式．
10．B
解析：B
【分析】
利用二次根式的性质进行化简即可.
【详解】
﹣3|=3.
故选B.
11．A
解析：A
【解析】
试题分析：最简二次根式是指不能继续化简的二次根式，A、原式=；B、是最简二次根式，不能化简；C、原式=；D、原式=.
考点：最简二次根式
12．B
解析：B
【分析】
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【详解】
解：A82，不符合题意；
B5
C4=2，不符合题意；
D 1
3
3
故选B．
【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
二、填空题
13．4030
【分析】
利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可. 【详解】
m== m==+1，
∴m3-m2-2017m+2015
=m2（m﹣1）﹣2017m+2015
解析：4030
【分析】
利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可.
【详解】
m
m ， ∴m 3-m 2-2017m +2015
=m 2（m ﹣1）﹣2017m +2015
= ）22017）+2015
=（2017+2015
﹣2
=4030.
故答案为4030.
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.
14．【分析】
首先化简，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-
6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出的最大值．
【详解】
解析：【分析】
10-b 4-b-2=+，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出22a b +的最大值．
【详解】
10-b 4-b-2=+，
1042b b =-+--， ∴261042a a b b -+-=-+--， ∴264210a a b b -+-+++-=，
∵264a a -+-≥，426b b ++-≥，
∴ 264a a -+-=，42=6b b ++-，
∴2≤a≤6，-4≤b≤2，
∴22a b +的最大值为()2
26452+-=，
故答案为52．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【分析】
先判断a，b的取值范围，并分别判断a-b，a+b的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．
【详解】
解：由数轴可知：b＞0，a﹣b＜0，a+b＜0，
∴原式＝|
解析：3b
【分析】
先判断a，b的取值范围，并分别判断a-b，a+b的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．
【详解】
解：由数轴可知：b＞0，a﹣b＜0，a+b＜0，
∴原式＝|b|+|a﹣b|﹣|a+b|
＝b﹣（a﹣b）+（a+b）
＝b﹣a+b+a+b
＝3b，
故答案为：3b
【点睛】
和绝对值的性质是解题的关
a
键．
16．【分析】
先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n的式子表示其规律，再计算S的值即可．
【详解】
解：∵，∴；
∵，∴；
∵，∴；
……
∵，
∴；
∴
．
故答案为：
本题 解析：221
n n n ++ 【分析】
n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．
【详解】 解：∵1221191=124S =+
+
311122===+-； ∵222114912336S =+
+=
7111116623===+=+-； ∵32211169134144S =+
+=
1311111121234===+=+-； …… ∵()()()2
22222111111n n n S n n n n ++=++=++，
()()2111111111n n n n n n n n ++=
==+=+-+
++；
∴...S =1111111112231
n n =+-++-++-+…+ 111
n n =+-+． 221
n n n +=+ 故答案为：221
n n n ++ 【点睛】
本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，
同时要注意对于式子()11111
n n n n =-++的理解． 17．【分析】
根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质
解析：
a 【分析】
根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】 解：∵310a
-≥， ∴0a <，
∴===
故答案为：
a ． 【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键． 18．3
【分析】
先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2, y=,然后再代入计算即可求解.
【详解】
因为,
所以,
因为6－的整数部分为x,小数部分为y,
所以x=2,
解析：3
【分析】
先估算34<<,再估算263<<,根据6x ,小数部分为y ,可
得: x =2, y=4然后再代入计算即可求解.
【详解】
因为34<,
所以263<-<,
因为6x ,小数部分为y ,
所以x =2, y=4-,
所以(2x y =(4416133=-=, 故答案为:3.
【点睛】
本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法. 19．【解析】
上述各式反映的规律是
(n ⩾1的整数),
得到第5个等式为： (n ⩾1的整数).
故答案是： (n ⩾1的整数).
点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;
=【解析】
上述各式反映的规律是
=n ⩾1的整数),
得到第5==n ⩾1的整数).
=n ⩾1的整数). 点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;第二步,找规律,分别比较等式中各部分与序号之间的关系,把其蕴含的规律用含序数的代数式表示出来;第三步,根据找出的规律得出第n 个等式.
20．6
【分析】
利用二次根式乘除法法则进行计算即可．
【详解】
＝
＝
＝6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．
解析：6
【分析】
==进行计算即可．
【详解】
＝6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无
29．无
30．无。