线性代数第五、六章 特征值与特征向量

特征值即为其主对角线元素。
2 1 1
【例
2】求
A
0 4
2 1
0 3
的特征值和特征向量.
2 1 1 【解】 f ( ) A E 0 2 0
4 1 3 (2 ) 2 1 (1 )(2 )2，
4 3 令 f ( ) 0，解得 A的特征值为
1 1, 2 3 2
1 0
0 4
0 1
0 1
x2 x3
0 0
,得非零解为
x
k2
0 4
k3
11,
即为 A的属于特征值2 3 2的所有特征向量,其中k2 , k3
为不全为零的常数。
1 1 0
【例
3】求
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和特征向量.
【简解】⑴ A的特征值为1 2,2 3 1。
0
⑵对于1 =2,
⑴ 特征多项式 f ( ) | A E |； ⑵ 求特征方程 f ( ) | A E | 0的解1,2 , ,n， 则1,2 , ,n为 A的特征值（也称特征根）； ⑶ 对于每个i (i 1,2, , n)，求齐次线性方程组
（A i E）x 0 的（所有）非零解 x，即得 A的属于特征值i的（所有）
【定理 5.7】 设 A为n阶实对称阵，则必有正交阵 P ，使得
1
P 1 AP
，其中
1
,
n
,n为 A的特征值。
（一定要记住定理 5.7 的结论）
定理 5.7 表明n阶实对称阵一定有n个线性无关的特征向量。
求正交阵P的方法与步骤（一定要掌握）
①求出A的特征值与特征值对应线性无关的特征向量。
②如果特征值是单根,对应线性无关的特征向量只有 一个，将它单位化;
【简解】（1）由于
A与
B相似，所以
tr(
A) A
tr(B), B,
即
2 x 1 y,
2 2 y,
解得 x 0， y 1；
1
（2）方法与步骤同例
1，参考答案
P
0
0
0
0
1 2
1 2
.
1 2
1 2
【例 3】设 3 阶实对称阵 A的特征值为 6，3，3，且
与特征值 6 对应的特征向量为1 (1,1,1)T ，求 A.
为矩阵多项式。
若1,2 , ,n为 A的所有特征值，则 (1), (2 ), , (n )为( A)的所有特征值。
(4)设方阵 A可逆，1,2 , ,n为 A的所有特征值，则
① 1 , 1 , , 1 为 A1的所有特征值。
1 2
n
②
A
1 23
A
n , 2 13
n ,
A
,
n
12
n1
为伴随矩阵 A*的所有特征值。 （因为 A* A A1）；
特征向量。
a1 b d
【例
1】求
A
0
a2
c 的特征值.
0 0 a3
a1 b 【解】 f ( ) A E 0 a2
0
0
(a1 )(a2 )(a3 ), 令 f ( ) 0，解得 A的特征值为
d c
a3
1 a1,2 a2 ,3 a3。
【注】上三角方阵、下三角方阵（含对角矩阵）的
【例 2】.判断下列矩阵 A能否分别相似对角化:
答案：（1）有两个异号（不同） （1） A是 2 阶矩阵,且 A 0； 的特征值，能相似对角化。
1 2 1
（2）
A
0 0
3 0
0 0
；
答案：（2）(参见上节例 1)有三个不同 的特征值 1，3，0，能相似对角化；
2 1 1 答案：（3）(参见上节例 2)虽然特征
2 (1,1,0)T , 3 (1,0,1)T 。
将1 (1,1,1)T 单位化得 p1 (
1, 3
1, 3
1 )T ； 3
将2 (1,1,0)T ,3 (1,0,1)T 正交化，得
2 (1,1,0)T ,3 (1,1, 2)T
然后将2 (1,1,0)T ,3 (1,1,2)T 单位化，得
1, 3
1, 3
1 3
)T ，2
(
1 2
,
1 2
, 0)T
，3
(
1, 6
1 , 2 )T ， 66
1 1 1
3
2
6
因此正交阵
P
1 3
1 2
1 6
。
1 3
0
2 6
6
6
A
1 1 11 3 1
1 1
1 1
11
11
3 3
3
11
1 2 31 6 1
2 3
3 1
1 2
1 1
6 6
6
11
【注 2】如果n阶方阵 A的各行元素之和为k，则数k 一定 是方阵 A的一个特征值，且对应的特征向量为(1,1, ,1)T 。
2.求特征值和特征向量的方法
Ax x ( A E)x 0, x 0 ( A E)x 0有非零解 A E 0
⑵ 若 A与B等价，则 A, B未必相似。
反例：取
A
E
1 0
0
1
,
B
1 0
11。
则 A与B等价，但 A, B不相似。 (因为对任意的可逆矩阵 P ， P1AP P1EP E B。）
二. 相似矩阵的性质
【定理 5.2】若 A与B相似,则 A与B的特征多项式相同， 从而 A与B的特征值相同，行列式相等。
对于1 = 1,解齐次线性方程组( A E)x 0，即
1 1 1 x1 0
1
0 4
3 1
0 4
x2 x3
0 0
,得非零解为
x
k1
0 1
,
即为 A的属于特征值1 1的所有特征向量,其中k1 0。
对于2 3 2,解齐次线性方程组( A 2E)x 0，即
4 1 1 x1 0
三.相似对角化问题 （方阵何时与对角阵相似）
1.【定义】：对n阶阵 A，若存在可逆阵 P ，使
1
P1AP
2
diag
(1
,
2
,
n
称方阵 A能相似对角化。
,n )，
2.若 P1AP diag(1,2 , ,n )，则i 为 A的特征值， P的第i 个列向量为 A的属于i的特征向量，P 的n个列
【例 4】设 A是三阶矩阵,特征值为 2,2,3,则 A2 的特征值为______________; A2 2A E的特征值为_______________; A1的特征值为______________; A*的特征值为______________; A11 A22 A33 _____ .
P
，
使得 P1AP 。
【解】由于 A为上三角矩阵，故 A的特征值为1 1, 2 3 0。
0 1 1 x1 0
1
对于1
1，(
A
E)x
0 0
1 0
01
x2 x3
0 0
，取
p1
0 0
；
1 1 1 x1 0
1 1
对于2
3
0，
Ax
0 0
0 0
0 0
x2 x3
，求正交阵
P
，使得
P
1
AP
为对角阵.
4 2 2 【解】 A E 2 4 2 ( 2)2( 8),
2 2 4 令 ( 2)2( 8) 0， 得 A特征值为1 8, 2 3 2。 当1 8时，方程组( A 8E)x 0的基础解系为1 (1,1,1)T ； 当2 3 2时，方程组( A 2E)x 0的基础解系为
（3）
A
0 4
2 1
0 3
；
值为-1，2，2，但有三个线性无关的 特征向量，能相似对角化；
1 1 0 答案：（4）(参见上节例 3)虽然特征
（4）
A
4 1
3 0
0 2
。
值为 2，1，1，但没有三个线性无关 的特征向量，不能相似对角化。
1 1 1
【例
3】问
A
0 0
0 0
0 0
能否对角化？若能，求出一个可逆阵
因此 p1 p2不是 A的特征向量。
§5.2 相似矩阵
一. 相似矩阵定义
【 定 义 5.2 】 设 A, B 为 n 阶 矩 阵 ， 若 存 在 可 逆 矩 阵 P 使 P1AP B，则称 A与B相似.
【相似与等价的关系】
⑴ 若 A与B相似（ P1AP B），则 A, B等价（ PAQ B）；
Aii为 A 中元素aii 的代数余子式。
【 定 理 5.1 】 1,2 , ,m 是 方 阵 A 的 m 个 特 征 值 ， p1, p2 , , pm 是依次与之对应的特征向量，如果1,2 , ,m
各不相等，则 p1, p2, , pm 线性无关. 即对应于不同特征值的特征向量线性无关.
【注】若1对应的线性无关的特征向量为 1，2对应的 线性无关特征向量为 2 , 3，若 1 2，则 1, 2 , 3也线性
无关.
【例 5】设 A为n阶矩阵，1和2是 A的两个不同的特征值； p1, p2分别属于1和2的特征向量，证明： p1 p2不是 A的
特征向量.
【证】用反证法。
假设 p1 p2是 A的特征向量，且对应特征值为 ，则 A( p1 p2 ) ( p1 p2 )，又 A( p1 p2 ) 1 p1 2 p2 ，故 ( p1 p2 ) 1 p1 2 p2，从而( 1 ) p1 ( 2 ) p2 0， 由定理 2 知， p1, p2线性无关，所以 1 2 0， 得1 2，矛盾。
向量为 A的n个线性无关的特征向量。
【定理 5.3】n阶矩阵 A能相似对角化的充分必要条件是矩阵 A 有n个线性无关的特征向量.
【推论】方阵 A有n个不同的特征值,则 A可以相似对角化.
【定理 5.4】 A能对角化若 是 A的特征方程的k 重特征根， 则 对应的线性无关的特征向量有k 个，
即
R( A E) n k
p2 (
1, 2
1 2
, 0)T
,
p3
(
1, 6
1 , 2 )T 66
1 1 1
3
2
6
8
故正交阵
P
1 3
1
3
1 2
0
1 6 2
，使得
P
1 AP
6
2
2
。
2 0 0
2 0 0
【例
2】已知
A
0 0
0 1
1 x
，与
B
0 0
y 0
0 1
相似，求
（1） x 与 y 的值；( 2）求一个满足 P1AP B的正交阵 P .
第五章 特征值与特征向量
§5.1 方阵的特征值与特征向量
1.定义
【定义 5.1】设 A 是 n 阶方阵，若存在数 和 n 维非零列
向量 x，使得
Ax x
成立.则称数 为 A的特征值，称非零列向量 x为方阵 A的对 应于（或属于）特征值 的特征向量.
【注 1】只有方阵才有特征值和特征向量； 【注 2】特征向量是非零列向量。
B E P 1 AP E P 1 AP P 1( E )P
P 1( A E )P P 1 A E P A E
【注】定理
3
的逆命题不成立。设
A
1 0
0 1
,
B
1 0
1 1
,
则它们特征值多项式相同，但它们不相似.
【例 1】若 4 阶方阵 A与 B相似, A的特征值为 1,2,3,4. 则 B E _________.
如果特征值是二（多）重根，对应线性无关的特 征向量有二（多）个，则先用施密特正交化方法， 将其正交化，然后单位化。
③将这些正交单位向量构成正交阵P（注意对角阵的 主对角线上元素（即A的特征值）的排列次序与正交 阵的列向量的排列次序对应）。
注意：正交阵P不唯一。
4 2 2
【例
1】设
A
2 2
4 2
2 4
0 0
，取
p2
1 0
,
p30 1； Nhomakorabea 1 1
所以
A有三个线性无关的特征向量，故
A可相似对角化，且
P
0 0
1 0
0 1
。
§5.3 实对称阵的对角化
【定理 5.5】 实对称阵的特征值为实数.
【定理 5.6】 设1,2是实对称阵 A的两个特征值，p1, p2 是对应的特征向量，若 1 2，则 p1, p2正交.
、此主对角线元素之和称为 A称的迹，记为tr( A)，即
1 2 n tr( A)。 (2) 12 n A ; (比较 f ( ) 中的常数项，令 0 即证)
推论：⑴ A可逆 A所有特征值全不为零。 ⑵ A不可逆 A至少有一个特征值为零。
(3)设( ) a0 a1 am m是任一多项式，称 ( A) a0E a1A am Am
【解】：由于属于实对称矩阵不同特征值的特征向量一定正交，
所以属于特征值 3 的特征向量( x1, x2, x3 )T 必与1 (1,1,1)T 正交，
故
x1 x2 x3 0，
取其基础解系为2 (1,1,0)T 和3 (1,1,2)T 。
由于1,2 ,3为正交向量组，所以可直接单位化，
1 (
A的所有特征向量
x
k1
0 1
,其中
k1
0。
1
对于2
3
1,
A的所有特征向量为
x
k2
2 1
,其中
k2
0。
【注】若 是 A的k 重特征值，则 对应的线性无关的特征
向量最少1个、最多k 个.
3. 性质 ( A是 n 阶方阵）
(1) 1 2 n a11 a22 ann; (比较 f ( ) 中 n1 的系数即证)