2009-2010第一学期工科本科《高等数学》A卷
09高等数学(A)1
华东交通大学2009—2010学年第一学期考试卷试卷编号： （ A ）卷高等数学(A)Ⅰ 课程 (工科09级) 课程类别：必 闭卷（ √ ） 日期： 2010.1.12 题号 一 二三 四五总分 1 2 3 4 5 6 7 1 2题分 10 15 7 7 7 7 7 7 7 9 9 8 得分 阅卷人 (全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、填空题(每题 2 分，共 10 分)1、函数42)(2-+=x x x f 可去间断点为2、曲线133++=x x y 的拐点为3、不定积分=⎰x x d cot24、设函数⎰-=1 d )(xt tte x F ，则_______)(='x F5、微分方程yx ey -='的通解为二、选择题(每题 3 分，共 15 分)1、当0→x 时，1sin 1--x x 是2x 的( ).A. 高阶无穷小B. 同阶不等价无穷小C. 低阶无穷小D. 等价无穷小4 D. 4 C. 2 B. 0 A.)(d sin 22 0-=⎰x x π定积分、得分 评阅人得分 评阅人承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业 班级 学号 学生签名：ta b t a b t a b t a b x y t b y ta x 3232222csc D. csc C. csc B. cot A.)(d d sin cos 3--=⎩⎨⎧==则，设、25 D. 25 C. 21 B. 21A.) (]2 1[32)( 42--=-+-=ξ的满足拉格朗日中值定理，在区间函数、x x x fCx C x C x C x x x xf x f x +--+-+--+-=⎰222322321 D. 1 C. )1(31 B. )1(31 A.)(d )()(arcsin 5的一个原函数，则为设、三、计算题(每题 7 分，共 49 分)1、求极限]}ln )3[ln({lim n n n n -+∞→2、求极限xx x x x sin tan lim20-→得分 评阅人得分 评阅人3、设)4ln(2-+=x x y 求y d4、求不定积分xx x d 2cos 2⎰得分 评阅人得分 评阅人5、求定积分xxd1111⎰-+6、求微分方程xeyy x2=+'的通解得分评阅人得分评阅人7、求微分方程xxey y y -=+'-''56的一个特解四、综合题(每题 9 分，共 18 分)1、求函数22)(x xx f +=的单调区间及极值得分 评阅人得分 评阅人2、求由曲线2x y =，x y 1=及直线2=x ，0=y 所围平面图形面积及该图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积五、证明题(每题 8 分，共 8 分)证明曲线2a xy =上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积为常数得分 评阅人得分 评阅人。
中国计量学院2009~ 2010学年第一学期高数A试卷A及答案
⎰=')xf x的一个原函数为xf则((dx)(),xB y cx xlnD y cx二、填空题（每小题3分，共15分）2)xx=_____________中国计量学院200 9 ~~~2010中国计量学院200 9 ~2010 学年第 1 学期 《高等数学(A)(1) 》课程考试试卷(A) 第 2 页 共 6 页 2、函数2sin ()3xf x x x的可去间断点为_____________. 3、设⎩⎨⎧≥-<<+=11310 1 )(2x x x x x f ， 则=')(x f __________.4、若连续函数)(x f 在区间],[b a 内恒有()0f x '<, 则函数在],[b a 的最大值是___________.5、设)(x f 是连续函数，且22()3()2,f x xf x dx 则)(x f =_____________.三、计算题（每小题各6分，共48分）1、计算极限： 102lim sin(12)xx x x x2、计算极限：2221coslim sin x xxx中国计量学院200 9 ~2010 学年第 1 学期 《高等数学(A)(1) 》课程考试试卷(A) 第 4 页 共 6 页 6、 2ln .x xdx 求不定积分⎰7、计算定积分220min{,}x x dx ⎰8、 440.y y y '''++=求微分方程 的通解te dt,讨论的凸凹性与拐点.中国计量学院200 9 ~2010 学年第 1 学期 《高等数学(A)(1) 》课程考试试卷(A) 第 6 页 共 6 页 五、证明题（每小题5分，共10分）1、设)(x f 是可导的奇函数，证明：存在一点(,)a a ξ∈-，使得 ()()f a f aξ'=2、 设函数)(x f 在[0,1]上连续且单调减少，证明对任给常数(0,1)a ，有10()()a af x dxf x dx中国计量学院2009~ 2010学年第一学期 《高等数学(A)（1）》课程考试试卷（A ）参考答案及评分标准开课二级学院： 理学院 ，学生班级：09级工科各班（二本），教师： 丁春梅等 一、 单项选择题（每小题3分, 共15分)1—5 A D A D B二、填空题（每小题3分， 共15分)1、 6e 2、x =0 3、 2 0 1()3 1x x f x x4、 )(a f5、 21033x三、计算题(每小题6分，共48分)1． 解：122002lim sin(12)=0+lim +x xx x x x x x（12） 4分2 = e 6分中国计量学院200 9 ~2010 学年第 1 学期 《高等数学(A)(1) 》课程考试试卷(A) 第 7 页 共 6 页2．解：22201cos lim sin x xxx=22240sin cos lim x x x x x = 232cos (sin cos sin )lim4xx xx x x x x 4分2330sin cos sin =lim+22x xx x x x x x 32300sin 112=lim lim 62623x x x x x x x6分 Or 22201cos lim sin x xxx=22240sin cos lim x x x x x =3(sin cos )(sin cos )limxx x x x x x x x = 3sin cos 2limx x x x x 4分=20sin 2lim 3x x x x =236分 3． 设函数y y x =()由参数方程⎩⎨⎧=≠-=t b y a t t a x sec )0()tan (确定，求dydx解：2sec tan (1sec )dy dyb t tdt dx dxa t dt4分 sec =csc tan b tbt a ta6分 4. 设方程21yexy 确定y 为x 的函数，求dy dx 解 ：方程两边对x 求导，得22ydy dyey xydxdx4分 于是22ydyy dxxye6分5．解：令t =，则2dx tdt =，2122(1)1t tdt t t dt t -==-+⎰⎰⎰ 4分 322(11)3t t C x C =-+=++ 6分 6． 解：()231ln ln 3x xdx xd x =⎰⎰3311ln 33x x x dx x =-⋅⎰ 4分 321ln 33x x x dx =-⎰33ln 39x x x C =-+31ln 33x x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 6分中国计量学院200 9 ~2010 学年第 1 学期 《高等数学(A)(1) 》课程考试试卷(A) 第 8 页 共 6 页 7．计算定积分 220min{,}x x dx ⎰．解：2122201min{,}x x dx x dx xdx =+⎰⎰⎰ 4分12320111131132326x x =+=+= 6分 8． 440.y y y 求微分方程的通解'''++=解： 特征方程是 2440r r ++=, 2分 即 ()220r +=, 故 122r r ==- 4分 因此方程的通解是 ()212x y C C x e -=+. 6分四、应用题（每小题6分，共12分） 1. 设0()x t f x te dt , 讨论（1）()f x 的单调性；（2）()f x 的凸凹性与拐点。
济南大学2009～2010学年第一学期课程考试试卷(A卷)答案
概念 极限 性质 计算方法
概念 连续 基本结论 性质 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
左右极限
第二章主要内容回顾
导数的概念、几何意义 定义求导 导数 求导方法 基本公式、四则运算、复合求导 反函数求导 特殊函数求导 隐函数求导 高阶导数
0
证明至少存在一点 (0,1) ，使得 f ( )(1 ) f ( x)dx
证:
令F ( x) (1 x) f (t )dt
0
x
F ( x) f (t )dt (1 x) f ( x)
0
x
显然，F ( x)在[0,1]上连续，在 0,1)内可导，且 (0) F (1), ( F
原积分
xdf ( x )
2
2
xf ( x)
f ( x)dx
2
4
1
五、解答题（8分）
y f ( x)
的极值。
dy t 2 1 2 0 dx t 1
由参数方程
x t 3 3t 1 3 y t 3t 1
确定，求
f ( x)
3 1 x 3 2 x x
x0 x0
5．设
x ln(1 t an t )dt 0 f ( x) x2 a
2
在原点处连续，则
a
0
lim
x 0
x2 0
ln( tan t )dt 1 x
2
2 x ln( tan | x |) 1 lim x 0 2x
大一第一学期高数1试题A及答案
2009—2010学年第一学期《高等数学I(一)》课程考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.1.设，则 .()lim 1tt x f x t →+∞⎛⎫=+⎪⎝⎭()0x ≠=)3(ln f 2.设是的一个原函数，则= ．x e xsin +()f x ()f 'x 3.曲线的拐点坐标是 .16623-+=x x y 4.若，则 ．2121A dx x -∞=+⎰A =5． .21lim(2)cos2x x x →-=-二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）.将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）.()f x []12,-()()()22F x f x f x =++A ．；B ．；C ．；D ．.[]30,-[]31,-112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦102,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．是函数的（ ）.3x =1()arctan 3f x x=-A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．第二类间断点.3．当时，与等价，则（ ）.0→x 1ax e -x 2sin a = A ．1 ；B ．2 ；C ． ；D ．.2-214．函数 在处（）.()21sin,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0=x A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导；D ．不连续且不可导.5.下列等式中正确的是（ ）．A ．； B .；()()ba d f x dx f x dx =⎰()()()x ad f x dx f x f a dx=-⎰C ．；D . .()()df x dx f x dx=⎰()()f x dx f x '=⎰6．函数（ ）.()21xf x x =+ A ．在内单调增加；B ．在内单调减少；(),-∞+∞(),-∞+∞C ．在内单调增加；D ．在内单调减少.()11,-()11,-7．若可导，且，则（）.()f u ()x y f e = A ．；B ．；()x dy f e dx '=()x x dy f e e dx '= C ．；D ．.()xxdy f e e dx =()xxdy f e e dx '⎡⎤=⎣⎦8．（ ）.20|1|x dx -=⎰A ．0 ；B ．2 ；C ．1 ；D ．.1-9．方程的通解是( ).sin y x '''=A .； B .；21231cos 2y x C x C x C =+++21231sin 2y x C x C x C =+++C .； D ..1cos y x C =+2sin 2y x =10.曲线与该曲线过原点的切线及轴围成的图形的面积为（ ）．xe y =y A ． ；B ．；10()xe ex dx -⎰1(ln ln )ey y y dy -⎰C ．； D ．．1()ex x e xe dx -⎰10(ln ln )y y y dy -⎰题号一二三四五六七八总分得分阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………三、解下列各题（每小题6分，共12分）.1．计算.)lim x xx →+∞-2．计算．xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→四、解下列各题（每小题6分，共12分).1.已知，求．076333=--++y xy x y 2=x dxdy2. 设函数由参数方程所确定，求和.)(x y y =⎩⎨⎧+==tt t y t x sin cos sin ln dx dy22dx y d五、解下列各题（每小题6分，共18分).1. 计算．⎰++dx xx x 221)(arctan 2．计算.204ln(1)limx x t dt x→-⎰3. 计算.220cos x e xdx π⎰阅卷人阅卷人阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号 姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、（本题10分）.设曲线上任意一点处的切线斜率为,且该曲线经过点，)(x f y =),(y x 2x x y +11,2⎛⎫⎪⎝⎭（1）求函数；)(x f y =（2）求曲线，,所围成的图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积．)(x f y =0y =1x =x七、(本题10分).由半径为的圆上，割去一个扇形，把剩下的部分围成一个圆锥，试求割去扇形的中R 心角，使圆锥的容积为最大.S阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号姓名……………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………参考答案一、填空题1.3；2.sin x e x -3.()2,0-4.1π5. 0二、单项选择题题号12345678910答案DCBCCCBCAA三、解下列各题1. 解：)lim x xx →+∞3分limx =. 6分12=2．． 解：3分xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→()222202lim 12x xx x x x x x -⋅-→⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.6分()02lim2x xx x e→-=1e e ==四、解下列各题1. 解：两边分别对求导，得x ，3分22333360dy dy dyy x y x dx dx dx+++-= 当时，，代入上式，得2x =1y =-. 6分23x dy dx==- 2..解： 3分dx dy dydt dx dt=sin sin cos cos sin t t t tt t-++=sin t t = . 6分22dxy d dy dtdx dt'=sin cos cos sin t t t t t +=2sin sin cos cos t t t tt+=五、解下列各题1.．解：⎰++dx x x x 221)(arctan ()222arctan 11x xdx dx x x =+++⎰⎰ 3分()()()22211arctan arctan 21d x x d x x +=++⎰⎰. 6分()()3211ln 1arctan 23x x C =+++2．.解： 3分204ln(1)limx x t dtx→-⎰()232ln 1lim4x x x x→-= .6分220lim 2x x x →-=12=-3..解：2分220cos xe xdx π⎰()22sin xe d x π=⎰222200sin 2sin xx e x e xdx ππ⎡⎤=-⎣⎦⎰()2202cos xe e d x ππ=+⎰2222002cos 4cos xx e e x e xdx πππ⎡⎤=+-⎣⎦⎰5分22024cos x e e xdx ππ=--⎰.6分∴22cos xe xdx π⎰()125e π=-三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、解：(1)，即，且当时，， 2分2y y x x '=+2y y x x '-=1x =12y =与之对应的齐次线性微分方程的通解为，y Cx = 令，将其代入非齐次线性方程得，所以，()y u x x =u x '=212u x C =+所以非齐次线性微分方程的通解为，代入初始条件得，312y Cx x =+0C =故所求函数为. 6分312y x =(2) .10分23102x V dx π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰28π=七、解：设留下的扇形的中心角为，圆锥的高为，底面半径为，则其容积为ϕh r V ，又，213V r h π=2rR πϕ=h =故 4分V =()02ϕπ<<6分3224RV π'=令 得，0V '=ϕ=当时，时，，0ϕ<<0V '>2ϕπ<<0V'<因此为极大值点，又驻点唯一，从而也是最大值点. 8分ϕ=ϕ=即当割去扇形的中心角为时，圆锥的容积最大，2π. 10分3R 八、证明：方程在区间内有唯一实根.4013101xx dt t --=+⎰)1,0( 证明：令，()401311x f x x dt t =--+⎰则，()010f =-< ，()1401121f dt t =-+⎰0>由零点定理知，至少存在一点，使. 4分()0,1ξ∈()0f ξ=由，，()41301f x x'=->+()0,1x ∈知在内单调增加，()f x )1,0(所以方程在区间内有唯一实根. 8分4013101xx dt t --=+⎰)1,0(。
09级高等数学AI(A)卷.
《 高等数学(A)I(本科)》试卷第1页 共4页东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷） 2009--2010 学年第一学期 《 高等数学(A)I 》试卷 开课单位： 计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷一、填空题（共80分 每空2分）1．x x x f --=3)2ln()(的定义域是 . 2．=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅→x x x 2sin lim 0 ， =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∞→x x x 2sin lim ． 3．()=-→x x x 1021lim . 4．=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x . 5．)1(lim 2x x x x -++∞→= 6．30tan sin lim x x x x -→= 7．设x x x f )1ln()(+=，则=x 0是)(x f 的 间断点． 8．0→x ，2cos 1x -是x 的__ ___阶无穷小． 9．设⎩⎨⎧>≤=0,10,)(x x e x f x 在0=x 处是否可导 . 10．曲线x e y =在点)1,0(处的切线方程为 ， 法线方程为 .《 高等数学(A)I(本科)》试卷第2页 共4页11．设为常数且此处10,≠>++=a a a a x y a x a ，则=y d ． 12．)0(>=x x y x ，则x x x +→0lim = ，=dxdy .13．设函数)(x f 在点0x 处可微是函数在该点连续的 条件.14．若⎩⎨⎧==ty t x cos sin ，则==4d d πt x y , ==422d d πt x y . 15．函数xx y 82+=的单调减区间是 ，它的凹区间是 ． 16．设)(x f 在0x 处可导且0x 是)(x f 的极值点，则=')(0x f _____.17．设)(x f 在0x 处的邻域内一阶、二阶导数数存在，（1）若2)(',0)(00='='x f x f ，0x 为函数的极 值点。
2009-2010(1)A
A、极限不存在；B、极限存在，但不连续；C、连续，但不可导；D、可导；
3、在区间 内， 的一阶导数 ，二阶导数 ，则 在区间 内是（）
A、单增且凸；B、单减且凸；C、单增且凹；D、单减且凹；
4、下列命题中正确的是（）
A、 ，则 一定是由曲线 的拐点；
B、若 ，则 在 处一定取极值；
4、 ，求单调区间、凹凸区间，极值点与拐点的横坐标。
5、 的通解
得分
评卷人
四、证明题(10分)
1、证明不等式
得分
评卷人
五、应用题（共10分）
1、一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为的液体,求桶的一个端面所受的侧压力。（注：水深为h处的压强: ，为水的密度）
C、 可导，且在 上取得极值，则 ；
D、 在 上取得最大值，则该最大值一定是 在 内的极大值。
5、 是 的一个原函数，则（）
A、 ；B、 ；C、 ；D、 ；
得分
评卷人
三、解答题（10分）
2、求导数或微分
（1）设函数 ，求 ；
（2）求由方程
3、求积分（1） （2） （3） (4)
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
第六题
第七题
第八题
第九题
第十题
卷面分数
平时成绩
总分
得分
评卷人
一、填空（3分×5=15分）
1、设 ，则 = 。
2、设 ，则 。
3、曲线 的曲率是。
4、 。
5、 的通解公式是 。
得分
评卷人
二、选择题（3分×5=15分）
1、 是函数 的（）
A、连续点；B、可去间断点；C、第一类不可去间断点；D、第二类间断点；
北京科技大学2009-2010学年度第1学期高等数学A试题及答案
北京科技大学2009--2010学年第一学期高 等 数 学A(I) 试卷（A 卷）院(系) 班级 学号 姓名 考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．设方程y x y =确定y 是x 函数，则d y = .2．设曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ，则l i m ()n n f ξ→∞= ．3．111n n n n -∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ．4．设()d arcsin xf x x x C =+⎰，则1d ()x f x =⎰ ．5. 2111limnn k nk →∞==∑ .二、选择题（本题共15分，每小题3分）6．设函数21()lim1nn x f x x→∞+=-，讨论函数()f x 的间断点，其结论为（ ）.()A 不存在间断点 ()B存在间断点是1x=()C存在间断点是0x = ()D存在间断点是1x =-装 订 线 内 不 得 答 题 自觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊7．设函数561cos 2()sin , ()56x xxf x t dtg x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）()A 低阶无穷小 ()B高阶无穷小()C等价无穷小 ()D同价但不等价的无穷小8．设01,0,()0,0, ()()1,0,x x f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，下列结论正确的是（ ）.()A ()F x 在0x =处不连续()B ()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导()C()F x 在(,)-∞+∞内可导，且()()F x f x '=()D()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=9．设函数(),()f x g x 为恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<, 则当a x b <<时有（ ）.()A ()()()()f x g b f b g x < ()B ()()()(f x g a f a g x > ()C()()()()f x g x f b g b >()D ()()()(f x g x f a g a> 10．下列各选项正确的是（ ）.()A 若级数21nn u ∞=∑与级数21nn v ∞=∑都收敛，则级数21()n n n u v ∞=+∑收敛;()B 若级数1n nn u v ∞=∑收敛，则级数21nn u ∞=∑与21n n v ∞=∑都收敛;()C若正项级数21n n u ∞=∑发散，则1nu n≥;()D若正项级数21nn u ∞=∑收敛，且(1,2,)nn u v n ≥= , 则级数21n n v ∞=∑收敛.三、（本题共63分，每小题7分）11（7分）. 设22e sin()xy x y y +=，求(0)y '。
2009-2010(1)高数(A卷)(90)
一．填空题(每小题 4分,本大题满分 20分)1． 222 12 lim() n n n n n ®¥ +++= L _____, 222 12 lim() 12 n nn n n n®¥ +++= +++ L _____. 2 ． 设 ln(1) ,0 () 2 sin 1,0axx f x x x x + ì > ï= í ï +£ î , 则 0lim () x f x -® = ______, 当常数 = a ______ 时 , ) (x f 在 0 x = 处连续.3．曲线 2 21 xy x = + 有斜渐近线 y =______和铅直渐近线 = x ______.4．曲线 32 3 y x x =- 的拐点横坐标为 = x ______，凸区间为____________.5．方程 0 y y¢¢¢ -= 的特征方程为____________,通解为 y =_____________. 二．选择题(每小题 2分,本大题满分 10分) 1．当 0 ® x 时,11 x +- 是 2x 的( )无穷小.(A) 高阶; (B) 低阶;(C) 同阶; (D) 等价.2． 1 lim(12) xx x ®¥+=( ).(A) 1; (B) e ; (C)e ; (D) 2 e .3．函数 23()(2)|| f x x x x x =+-- 的不可导点的个数是( ).(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3. 4．二阶可导函数 ) (x f 在点 0 x x = 处取得极值的充分条件是( ).(A) 0 ) ( 0 = ¢ x f ; (B) 0 ) ( 0 > ¢ ¢ x f ; (C) 0 ()0 f x ¢¢ < ; (D) 0 ) ( 0 = ¢ x f 且 0 ()0 f x¢¢ ¹ . 5．设 ) (x f 是连续函数, () F x 是 ) (x f 的一个原函数,则( ).(A) 当 ) (x f 是奇函数时, () F x 必是偶函数;(B) 当 ) (x f 是偶函数时, () F x 必是奇函数; (C) 当 ) (x f 是周期函数时 , ()F x 必是周期函数 ;(D) 当 ) (x f 是单调增函数时, () F x 必是单调增函数.三．解答下列各题(每小题 6 分,本大题满分 18分)1． ln(cos ) y x = ，求dy .2 ． 求由方程 ln 1 xy y += 所确定的隐函数 () y f x = 在 0 x = 处的 导数 . 3．求曲线 2222 1 1 t x t t y t ì= ï ï + í ï = ï + î 上在参数 2 t = 相应的点处的切线方程. 四．解答下列各题(每小题 6 分,本大题满分 12分)1．计算极限 0 11lim() 1x x xe ® - - . 2．设 2009()(1)() f x x g x =- ,其中 () g x 在 1 x = 处连续,且 (1)1 g = ,求 (1) f ¢ .五．计算下列积分(每小题 6 分,本大题满分 18分)1． 2 1(1)dx x x + ò. 2．124 x dx - ò.3．2x xe dx - -¥ò.六．(本题满分 5 分)证明: 当 1 > x 时, ln 1 x x x >- .七．(本大题满分 10分)如图所示, 平行于 y 轴的动直线被曲线 () y f x = 与 3y x = 截下的线段 PQ 之长数值上等于曲线 () y f x = 和 x 轴及直线PQ 所围成曲边三角形的面积(阴影部分), 求曲线 () y f x = 的方程. 八．(本题满分 7 分) 设 () f x 在区间[,] a a - 上连续, (1)证明:()[()()] a aaf x dx f x f x dx - =+- òò ;(2)利用(1)的结果计算:44 cos 1 x xdx epp - - + ò . 一．填空题（每空 2分，本大题满分 16分）1．设 î í ì£ > = 1, 1 , 1 ) ( 2 x x x x f ，则 =- )) 2 ( (f f .2. 若函数 îí ì > £ - + = 0 , ) arctan( 0, 2 ) ( 2 x ax x b x x x f 在 0 = x 处可导，则 =a ， =b .3．曲线 xx x y 12 2 sin - = 有水平渐近线 = y ______和铅直渐近线 = x ______.4．已知 1 ) ( 0 -= ¢ x f ，则 =+ - - ® hh x f h x f h ) 2 ( ) ( lim 0 0 0.5．设5 0()(1) xf t dt x C =++ ò，则常数 = C ______， = ) (x f ____________.二．选择题 (每小题3 分, 本大题满分15 分)1. 当 0 ® x 时, ) ln( 21 x + 是x 的( )无穷小.(A) 高阶 (B) 低阶 (C) 同阶 (D) 等价 2. 函数 1 2+ = x y 在点(1,2)处的法线方程为 ( ). (A) 2 5 2 -- = x y (B) 2 5 2 1 + - = x y (C) 2 5 2 - = x y (D) 252 1 - - = x y 3． 2 x x f = ) ( 在闭区间 ] , [ 1 0 上满足拉格朗日中值定理，则定理中的 = x ( ).(A)31(B)21 (C)22 (D) 21 -3y x= ()y f x = POxxyQ4. 若函数 ) (x f 在点 0 x x = 处取得极值, 且 ) ( 0 x f ¢ 存在，则必有 ( ) . (A) 0) ( 0 = ¢ x f (B) 00 > ¢ ) (x f (C) 0) ( 0 > ¢ ¢ x f (D) ) ( 0 x f ¢ 的值不确定5. x x f ln ) ( = 在 ) , ( +¥ 0 内是( ).(A) 周期函数 (B) 凹函数 (C) 凸函数（D ）单减函数 三．解答下列各题（每小题 6分，本大题满分 30 分） 1． 21 2 xx y - =arctan，求dy .2． = y ) sin( 1 2 + x ，求 n （ N n Î ）阶导数 ) ( )( x y n . 3．设曲线参数方程为 î í ì - = - = 3 2 1 t t y t x ， 求 dxdy .4．求 xx x x ÷ ø öç è æ + ¥ ® 2 lim .5．求 ) sin ( lim x x x 1 1 0 - ® . 四．计算下列积分（每小题 6分，本大题满分 18 分）1． ô õ ó + + dxx x x ) ( 1 3 2 2 2 2 .2． ô õ ó + 90 1dx x x. 3． ò ¥ + - 02 dx e x x .五．[7 分] . ) 0 ( 1 2 22 2 所围平面图形的面积 求椭圆 > > = + b a by a x 六．（7 分）设0 > > a b ， ( ) x f 在 [ ] ba , 连续 ， 在 ( )b a , 可导 。
高等数学试题A卷含答案
X X X X 大学2009—20010学年第一学期期末考试试题（卷）院系： 班级： 姓名： 学号：装 订 线 装 订 线 以 内 不 准 作 任 何 标 记 装 订 线2009-10-1高等数学（A ）期末考试试题答案一、填空题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、32、03、=-+tan .x x c4、3202)()(33x x x x x ∆+∆+∆ 5、42220πx a x dx a-⎰ 二、解答下列各题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)1、解：，，f f b f a ()()()001000-=+== …………………………3分当时处处连续a b f x ==1() …………………………5分2、解：),(+∞-∞函数定义域，)2)(2(3x x y +-='， ……………………………2分(],2,[2,][2,2]-∞-+∞-故函数在上单调减,在上单调增 ………………………… 5分 三、解答下列各题(本大题共5小题，每小题6分，总计30分)1、解原式:lim =--+→x x x x 2223126181226lim 21218x xx →==-…………………………………每步2分 2、⎰+82d 2x x ⎰+=4d 212x x =+++1242ln .x x c ………………………每步3分 3、解：在上连续可导，又f x e f x e x x ()(,),()=-∞+∞'= …………………………2分由f x x f x f x x x ()()()+-='+∆∆∆θ，得e e e x x x x x x ++-=⋅∆∆∆θ ………………………5分1lnx e x xθθ∆-∆=∆解得，这就是所求的的值 ……………………………………………………6分 4、原式=--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰x x x dx 341212011()=--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥472323174323201x x x ()=-47432 ……每步2分5、x xdx x t dx tdt 221-==⎰ 令 sin .cos …………………………………………1分原式22sin 1cos 211cos sin sin 2cos 222t t tdt tdt dt t t c t -⎡⎤====-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ …………………………5分 [].1arcsin 212c x x x +--= …………………………………………6分 四、证明下列各题(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)1、证：⎰⎰'=''b ab ax f xd dx x f x )()( ='-'⎰xf x f x dx a b ab()()………………………………4分='-'-bf b af a f x a b ()()() …………………………………………6分[][]='--'-bf b f b af a f a ()()()() …………………………………………8分2、:0,,()[,],,T x f t x x T ∀>+证对及充分大的在上可导利用拉格朗日中值定理则至少存在(,),x x T ξ∈+使 ()()()f x T f x f T ξ'+-=⋅ ………………………………………3分[]T f x f T x f x x x ⋅ξ'=-++∞→+∞→+∞→)(lim )()(lim ,取极限有上式两边令 ……………………6分lim ()T f Ta ξξ→+∞'== ……………………………………………………………………8分五、解答下列各题(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)1、解：设圆锥形漏斗的高为则锥底面半径为Hcm R H cm ,=-4002漏斗的体积，V H H H =-<<π34000202()………………………………………………3分2(4003),(020)3V H H π'=-=在，内唯一驻点，20V H π''=-< ……………………6分 此时漏斗体积最大由实际问题可知也是极大值点故唯一驻点,,3320=H …………8分 2、解)1(3d 2 c x x y y +=''='⎰ ………………………………………2分(0,2)222362,(1)33x y y x y -'-==-=又由得 代入得'=+y x 3232 ………………………5分c x x x x y ++=+=∴⎰32d )323(32.232,2)2,0(3-+=∴-=-x x y c 代入得再将 …………8分六、解答下列各题(本大题共1小题，总计8分) 解：'=⋅⋅-≠<y x x x22112002ln ， ………………………………………………4分'=-<φ()ln x x xx 122202 ， ……………………………………………………………4分。
2009-2010(1)高数一试卷A
2009-2010(1)高数一试卷A第2页（高等数学（一）试题01(2009-2010第一学期)共14页）内蒙古师范大学计算机与信息工程学院 2009—2010学年第一学期 高等数学（一）试题题号 一 二 三 四 总分 评卷人 分数重要提示:本试卷中一、二题的答案请填入答题卡中（答在试卷上无效）。
一、 单选题（请将你认为正确那个编号填入题号对应的答案里。
每题2分，本大题共20分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 分数二、 填空题（根据题意将空缺的内容填到题号对应的答案里。
每空2分，本题共20分）分数 题号 答案1（两空） 1、 2、2 3 4 5 6 7 89分分第3页（高等数学（一）试题01(2009-2010第一学期)共14页）一、单选题（每小题后的四个备正确那个编号填入题后的括号里。
每小题2分，本大题共20分） 1、当1x →时,函数12111x x e x ---的极限是( )A: 2 B: 0 C: ∞ D:不存在但非无穷大2、设()f x 是可导函数，且0(2)()lim 1x f x h f x h→+-=，则()f x '为（ ）A. 1B. 0C. 2D. 12 3、⎰=+dx x f x f 2')]([1)(（ ）A ：C x f ++)](1ln[B ：Cx f ++)](1[212C ：C x f arctg +)]([D ：C x f arctg +)]([21 得第4页（高等数学（一）试题01(2009-2010第一学期)共14页）第5页（高等数学（一）试题01(2009-2010第一学期)共14页）6、当0x >时，曲线1sin y x x =（ ） A：只有水平渐近线B ；仅有竖直渐近线C ：既有水平渐近线，又有竖直渐进线D ：既无水平渐近线，又无竖直渐近线7、设)(x f 是连续函数，且⎰-=xe dtt f x f 0)()(，则)('x f等于（ ） A ：)(x xe f e -- B ：)(x e f - C ：)(xe f --D ：)(x xe f e ---8、设两曲线222;82x y x y =+=所围图形面积为A（上半部分面积），则有A=（ ）A ：2222(8)2x x dx--⎰ B ：2222(8)2x x dx ---⎰ C ：2121(8)2x x dx--⎰ D ：2121(8)2x x dx --⎰第6页（高等数学（一）试题01(2009-2010第一学期)共14页）9、设线性无关的函数1()y x 、2()y x 、3()y x 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，1c 、2c 是任意常数，则非齐次线性方程的通解是（ ） A ：11223C y C yy ++ B ：1122123(1)C y C y C C y ++--C ：1122123(1)C y C y C C y +--- D ：1122123()C y C y C C y +-+10、方程369(1)xy y y x e '''-+=+的特解*y 为（ ）A ：3()xA Bx e +B ：3()xx A Bx e +C ：23()xx A Bx e + D ：23xAx e二、填空题（每空2分，共20分）1. 函数()f x 在[,]a b 上有界是()f x 在[,]a b 上可积得第7页（高等数学（一）试题01(2009-2010第一学期)共14页）的 条件。
2009-2010(1)高数(A卷)(90)解答
广州大学2009-2010学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1（90学时A 卷）参考解答与评分标准一．填空题(每小题4分,本大题满分20分)1．22212lim ()n n nnn→∞+++= 12,22212lim ()12n n n n n n→∞+++=+++ 12.2．设ln(1),0()2sin 1,0ax x f x xx x +⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩,则0lim ()x f x -→= 1 ,当常数=a 2 时,)(x f 在0x =处连续.3．曲线221xy x =+有斜渐近线y =1124x -和铅直渐近线=x 12-.4．曲线323y x x =-的拐点横坐标为=x 1 ，凸区间为(,1]-∞. 5．方程0y y '''-=的特征方程为20r r -=,通解为y =12xC e C +.二．选择题(每小题2分, 本大题满分10分)1. 当0→x 时1-是2x 的( B )无穷小. (A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶; (D) 等价.2．1lim (12)x x x →∞+=( A ).(A) 1; (B) e ; (C) e ; (D) 2e .3．函数23()(2)||f x x x x x =+--的不可导点的个数是( C ). (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.4．二阶可导函数)(x f 在点0x x =处取得极值的充分条件是( D ). (A) 0)(0='x f ; (B) 0)(0>''x f ;(C) 0()0f x ''<; (D) 0)(0='x f 且0()0f x ''≠. 5. 设)(x f 是连续函数,()F x 是)(x f 的一个原函数,则( A ). (A) 当)(x f 是奇函数时,()F x 必是偶函数;(B) 当)(x f 是偶函数时,()F x 必是奇函数;(C) 当)(x f 是周期函数时,()F x 必是周期函数;(D) 当)(x f 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数.三．解答下列各题(每小题6分，本大题满分18分)1．ln(cos y =，求dy .解: y ''=…………………………………………………2分'=………………………………………………………3分tan =-4分dy =- ……………………………………………………6分2．求由方程ln 1xy y +=所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数. 解: 把方程两边分别对x 求导数得10y xy y y''++=………………………………………………………4分当0x =时,y e =,代入上式得20|x y e ='=- ……………………………………6分3．求曲线222211t x tty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩上在参数2t =相应的点处的切线方程. 解: 切点坐标为44(,)55……………………………………………………………1分22222(1)dx tdt t -=+,222(1)dy t dtt =+2()()1dy y t tdxx t t'=='- ……………………………………………………4分切线斜率为 22|3t dyk dx ===-…………………………………………………… 5分切线方程为 424()535y x -=--,即 2340x y +-= ……………………………………………………6分四．解答下列各题(每小题6分，本大题满分12分)1．计算极限011lim ()1xx xe →--.解: 原式01lim(1)xxx e x x e →--=- ………………………………………………………1分 01lim1xxxx e e xe→-=-+ ……………………………………………………3分lim 2xxxx ee xe→=+………………………………………………………5分12= ……………………………………………………………………6分2．设2009()(1)()f x x g x =-,其中()g x 在1x =处连续,且(1)1g =,求(1)f '. 解: 1()(1)(1)lim1x f x f f x →-'=-200911lim()1x xg x x →-=-……………………………3分200911lim1x xx →-=-20081lim 20092009x x→==……………………………6分注: 20082009()2009()(1)()f x x g x x g x ''=+-,(1)2009(1)2009f g '==. 给3分.五．计算下列积分(每小题6分,本大题满分18分)1．21(1)dx x x +⎰. 解: 原积分2221(1)x xdx x x +-=+⎰211xdx dx xx=-+⎰⎰……………………………2分2211ln ||(1)21x d x x=-++⎰………………………………………4分21ln ||ln(1)2x x C =-++ …………………………………………6分2．0⎰.解: 令2sin x t =,arcsin2x t =,则⎰2604cos tdt π=⎰…………………………………………3分60(22cos 2)t dt π=+⎰[]602sin 232t t ππ=+=+……………………6分3.20xxedx --∞⎰.解: 原积分2021()2xed x --∞=--⎰……………………………………………2分21[]2xe--∞=- ………………………………………………………4分12=-………………………………………………………………6分六．（本题满分5分）证明: 当1>x 时,ln 1x x x >-.证明: 令1ln )(+-=x x x x f , 则x x f ln )(='当1>x 时, 0ln >x , 从而0)(>'x f因此)(x f 在区间),1[∞+单调增加 ……………………………………………3分 当1>x 时,0)1()(=>f x f ,即得1ln ->x x x ……………………………………………………………5分七．（本大题满分10分）如图所示, 平行于y 轴的动直线被曲线()y f x =与3y x =截下的线段PQ 之长数值上等于曲线()y f x =和x 轴及直线PQ 所围成曲边三角形的面积(阴影部分), 求曲线()y f x =的方程. 解: 由题意可得3()()x f t dt x f x =-⎰两边求导得2()3()f x x f x '=- 解此微分方程得2()[3]dx dx f x e x e dx C -⎰⎰=+⎰2[3]x xe x e dx C -=+⎰ 2[36]x x xe x e xe dx C -=-+⎰2[366]xxxxe x e xe e C -=-++……9分由0|0x y ==,得6C =-,所求曲线为23666xy x x e-=-+- ……10分八．（本题满分7分）设()f x 在区间[,]a a -上连续, (1)证明: 0()[()()]a a af x dx f x f x dx -=+-⎰⎰;(2)利用(1)的结果计算: 44cos 1xx dx eππ--+⎰.(1）证明: 00()()()a a aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰令t x -=, 则0()a f x dx -⎰0()()a f t dt =--⎰0()a f x dx =-⎰所以 0()[()()]a a af x dx f x f x dx -=+-⎰⎰………………………………4分(2）由(1)得44co s 1xx d x eππ--+⎰40cos cos []11xxx x dx eeπ-=+++⎰40cos xdx π=⎰2=……………………………………………………7分。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
安徽大学2009--2010《高等数学》试卷与解答
安徽大学2009--2010《高等数学》试卷与解答安徽大学2009--2010学年第一学期《高等数学A(一)》考试试卷(A 卷)(闭卷时间120分钟)一、填空题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)1. 若+∞→x lim （12+-x x -（ax+b ））= 0, 则a =▁▁▁▁▁▁▁▁▁，b = ▁▁▁▁▁▁▁▁ .2. 设函数y = y(x)由方程52arctan 2=+-=e ty y t x t所确定，y = y(x) 关于x 的一.3.若f(x)= ,0,1sin x x a00=≠x x 在x=0处右导数存在，则a 的取值区间为▁▁▁▁▁▁. 4.求lnx 在x 0=1处带有Lagrange 型余项的n 阶Taylor 展开式: ▁▁▁▁▁▁▁▁5. 微分方程y "+y '=x 的通解为▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.二、选择题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)1. 已知数列{x n }、{y n }满足∞→n lim x n y n =0, 则下列断言正确的是( ).A. 若{x n }发散, 则{y n }不发散.B. 若{x n }无界, 则{y n }必有界C. 若{x n }有界, 则{y n }必为无穷小量.D. 若{nx 1}为无穷小量, 则{y n }必为无穷小量. 选 D. 理由:A ，B 不正确，如x n ==-=k n n k n 2,12,0,y n ==-=kn k n n 2,012,C 不正确如2. 设f(x)= ∞→n lim1sin )1(2+-nx xn ,则( ).A.f(0)不存在.B. f(0) 存在，且x=0为可去间断点.处连续.3. 曲线y=x 4-2x 2+2的拐点个数为( ).A. 0.B. 1.C. 2 D . 3.4. 设f '(x) 存在且连续，则[?)(x df ]'= ( ).A. f '(x).B. f '(x)+C. C. f(x).D. f(x)+C. 选A. 理由:?)(x df =f(x)+C5. 设f(x) 连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是( ). A. dt t f x2)(. B.dt t f t f t x-+0C.dt t f x2)(. D.dt t f t f t x--0))()((选B. 理由:A,D 不正确:)(2t f ,t(f(t)-f(-t)) 均为偶函数;B 正确:t(f(t)+f(-t)) 为奇函数; C 不正确: 当f(x) 为奇函数或偶函数时)(2x f 为偶函数三、计算题(本题共8小题, 每小题7分, 共56分)1. ∞→n limn n n n 22cos sin +2. 若0lim →x x x f cos 1)(- = 4, 求0lim →x (1+xx f )()x1.3. 设a>0, a 1>0, a 1+n =21(a n +n a a ), n=1,2, …. 求极限∞→n lim a n4. 0lim →x 21xxtt sin 02arctan dt .+++)1ln(1)1(1x x dx . (x>0)6.?-112x x dx . (x>0)7. 设xsin 是f(x) 的一个原函数, 求?103)('dx x f x .8. 求曲线Γ: y =dt t xsin (x ∈[0, π]) 的长.四、综合分析题(本题共2小题, 每小题7分, 共14分)1.讨论函数y =(x+1)2-3｜x ｜在[-3,3)上的最值.2. 讨论广义积分?∞++01nmx x dx (n ≥0)的敛散性。
MK_09-10(1)高数A(三)答案
[‰Y'•Q~ÜNf^—
( X , Y ) 关于 Y 的边缘分布律为
1 1 1 3 P (Y = −1) = P ( X = −1, Y = −1) + P ( X = 0, Y = −1) + P ( X = 1, Y = −1) = + + = 8 8 8 8 1 1 1 P (Y = 0) = P ( X = −1, Y = 0) + P ( X = 0, Y = 0) + P ( X = 1, Y = 0) = + 0 + = 8 8 4 1 1 1 3 P (Y = 1) = P ( X = −1, Y = 1) + P ( X = 0, Y = 1) + P ( X = 1, Y = 1) = + + = 8 8 8 8
λ
得到 a =
2
λ
（2）设总体 X 的样本值为 x1 , x2 ,
L (λ ) = ∏
i =1
n
⎧ 1 n ⎫ ⎛2⎞ n f ( xi ) = ⎜ ⎟ i∏ xi iexp ⎨− ∏ xi 2 ⎬ ⎝ λ ⎠ i =1 ⎩ λ i =1 ⎭
n
n
(整理)-2010学年第一学期期末考试试卷(a卷)参考解答与评分标准.
中国传媒大学2009-2010学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷）参考解答与评分标准考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2009级工科各班 考试方式： 闭卷命题教师：一. 填空题（将正确答案填在横线上。
本大题共3小题，每小题3分，总计9分 ） 1、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 增加 ，曲线是 上凸 的。
2、设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=232322t t y tt x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d )1(23t +。
3、=⎰dx x x1cos 12C x +-1sin 。
二. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中。
本大题共3小题，每小题3分，总计 9分）1、设A x x ax x x =-+--→14lim 231，则必有 .104)( ; 64)(;104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A ， ，， ，答( C )2、设211)(xx f -=，则)(x f 的一个原函数为 xx D x x C x B x A -++-11ln21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( D ) 3、设f 为连续函数，又，⎰=xe x dt tf x F 3)()(则=')0(F)0()1()( 0)()1()( )(f f D C f B e A - 答( B )三. 解答下列各题（本大题共2小题，每小题5分，总计10分 ）1、求极限xe e x x x cos 12lim 0--+-→。
解：=--+-→x e e x x x cos 12lim 0xe e xx x sin lim 0-→- （3分） 2cos lim 0=+=-→xe e x x x 。
2009-2010(1)AD
A、极限不存在；B、极限存在，但不连续；C、连续，但不可导；D、可导；
3、在区间 内， 的一阶导数 >0，二阶导数 <0，则 在区间 内是（B）（B）
A、单增且凸；B、单减且凸；C、单增且凹；D、单减且凹；
4、下列命题中正确的是（C）
A、 ，则 一定是由曲线 的拐点；
4/3（拐点）
2/3（极小）
5、
解： 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 代入方程得
比较系数,得 ， 因此特解为
所求通解为
得分
评卷人
四、证明题(10分)
1、证明不等式
证明： 中值定理条件,因此应有
即 因为
故
得分
评卷人
五、应用题（共10分）
1、一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为的液体,求桶的一个端面所受的侧压力。（注：水深为h处的压强: ，为水的密度）
解:建立坐标系如图.所论半圆的方程为
利用对称性,侧压力元素
端面所求 ；（2）求由方程
解：（1）
（2）方程两边对 求导
，因x= 0时y= 0 ,故
3、求积分（1） （2） （3） (4)
解：(1)
(2)
(3)
(4)
4、 ，求单调区间、凹凸区间，极值点与拐点的横坐标。
解：定义域为 ，无对称性及周期性。
。
0
1
）
2
+
0
-
-
0
+
-
-
0
+
+
2（极大）
第一题
第二题
第三题
第四题
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第4页
得分
评卷人
五、积分计算(每小题7分，共21分)
1、
2、
3、
得分
评卷人
第5页
六、应用与证明(7+6=13分)
1. 设平面图形由曲线 所围成.
(1)求此平面图形的面积
(2)求该平面图形绕 轴旋转而成的旋转体的体积
第6页
2.设 是单调增加函数，证明 时 也是单调增加函数。
五、求积分(每小题7分，共21分)
1、 （3 +2 +2分）
2、令 ---------------（3分）
-----------（6+1分）
3、
------（2分+2分+3分）
六、
解：得交点（1，1）（0，0）-------（2分）
（1）面积 --------（5分）
（2）体积 -----（7分）
2、 证明： ---------（2分）
3、曲线 的凹区间是。
4、若 ，则 。
5、设广义积分 收敛，则 的取值范围是。
6、弹簧的拉力F和伸长量S有关系式 ,弹簧由原长拉伸到6单位时所做的功。
得分
评卷人
三、求极限(每小题6分，共12分)
1、 ；
2、 ；
第3页
得分
评卷人
四、微分运算(每小题7分，共21分)
1、 ,求
2、求曲线 在 点的切线方程
1、 ---------（3+1分）
-----------（7分）
2、方程两边对x求导
------------（2分）
-----------（5分）
-----------（6分）
切线 ----------（7分）
3. 为拐点，-----（2分）
-------（4分）解得 -------（6分）
从而 ---------（7分）
第1页
福建工程学院2009--2010学年第一学期期末考试( A卷)共6页
课程名称：《高等数学》（工科本科）考试方式：开卷（）闭卷（√）
题号
一
二
三
四
五
六
总分
统分人签名
得分
考生注意事项：1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
教师注意事项：如果整门课程由一个教师评卷的，只需在统分人栏目签名，题首的评卷人栏目可不签名。
得分
评卷人
一、选择题(每小题3分，共15分)
1、 ,间断点；(C)无穷间断点；(D)振荡间断点。
2、若 时, 与 相比是( )
(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小
(C)等价无穷小(D)同阶无穷小但不等价
3、下面命题中，正确的是（）
A．若 为 的极值点,则
B．若 ,则点 点必为极值点
第1页
福建工程学院2009～2010学年第一学期期末考试试卷审批表
课程名称
高等数学
考试班级
工科本科
参加考试学生人数
任课教师
命题教师
李林
试卷类型
(A、B)
A
考试形式
开卷（ ）
闭卷（√）
答卷纸(张)
草稿纸(张)
1
审核人
意 见
审核人签名：
教研室意见
(签字)
系(部)意见
(签字)
试题参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共15分）
利用积分中值定理， -----（4分）
由 内单调增加,
上单调增加--（6分）
C．若 为 的极值点,且 存在,则必有
D．函数 在区间 内的极大值一定比极小值大
4、设 连续，则下式正确的是（）
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) 。
5、摆线 的弧长为（）
(A)4；(B)8；(C)4π；(D)8π
第2页
得分
评卷人
二、填空题(每小题3分，共18分)
1、曲线 有渐近线。
2、若函数 上可导，则
1、B2、A3、C4、D5、B
二、填空题（每小题3分，共18分）
1、 （对一个给2分）2、 （只对一个给2分）
3、 4、 5、k>1 6、36
三、求极限（每小题6分，共12分）
1、解：原式= ----（2+1+2+1分）
2、解：原式= --------（2+2+2分）
四、求导或微分（每小题7分，共21分）