2020届二轮(理科数学) 古典概型 专题卷(全国通用)

古典概型
(25分钟50分)
一、选择题(每小题5分，共35分)
1.一布袋中放有红，黄球各一个，它们除颜色外其他都一样.小明从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球.小明两次都摸出红球的概率为 ( ) A.0.5 B.0.25 C.0.125 D.0.75
【解析】选B.由树状图可知共有4种可能，两次都摸出红球的有1种，
所以小明两次都摸出红球的概率为=0.25.
【误区警示】注意区别两类问题
(1)有序、无序的问题
在进行某些试验(如摸球)中，在摸取过程中要考虑球的先后顺序(有序)，有时就不需要考虑先后顺序(无序)，前后要保持一致.
(2)放回抽取与不放回抽取的问题
摸球等问题有“取后放回”和“取后不放回”两种情况，取后放回的可以继续选取已取到过的球.
2.从集合A={-2，-1，2}中随机选取一个数记为a，从集合B={-1，1，3}中随机选取一个数记为b，则直线ax-y+b=0不经过第四象限的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选A.从集合A，B中随机选取后，组合成的数对(a，b)有(-2，-1)，(-2，1)，(-2，3)，(-1，-1)，(-1，1)，(-1，3)，(2，-1)，(2，1)，(2，3)，共9种，要使直线ax-y+b=0不经过第四象限，则需a>0，b>0，共有2种满足，所以所求概率P=.
3.从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log a b为整数的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意得，(a，b)有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，8)，(3，9)，(8，9)，(3，2)，(8，2)，(9，2)，(8，3)，(9，3)，(9，8)，共12种取法.若满足log a b为整数，则仅有a=2，b=8和a=3，b=9两种情况，所以log a b为整数的概率为=.
4.(2018·北京十一学校模拟)有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空位相邻的概率为( )
A. B. C. D.以上都不对
【解析】选C.可以把这三个空座位分成两组，2个相邻的，1个单一放置的，则三个人的坐法(不考虑空座位)共有=6种，再把两组不同的空座位插入三个人产生的四个空挡里，共有=12种，所以不同的坐法有6×12=72种，而所有的坐法有=120种，故所求概率为=.
5.(2018·合肥质检)某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选A.方法一：当学生A最后一个出场时，有=18种不同的安排方法；当学生A不是最后一个出场时，有=36种不同的安排方法，所以满足“A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的所有不同安排方法有
18+36=54种.其中“C第一个出场”的结果有=18种，则所求概率为=，选项A正确.
方法二：“A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的安排方法中，另外3人中任何一个人第一个出场的概率都相等，故“C第一个出场”的概率是.
6.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P=.
7.(2019·合肥模拟)某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示.某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率
为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由题意知，此人从小区A前往小区H的所有最短路径为：A→B→C →E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，
A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，
A→D→F→G→H，共6条.记“此人经过市
中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：
A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，
A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4
个，所以P(M)==，即他经过市中心O的
概率为.
二、填空题(每小题5分，共15分)
8.(2018·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为_______. 【解析】根据题意，个位数字与十位数字之和
为奇数且不超过5的两位数有：
10，12，14，21，23，30，32，41，50，共9个，其中个位是1的有21，41，共2个，因此所求的概率为.
答案：
9.(2018·扬州模拟)已知A，B∈{-3，-1，1，2}且A≠B，则直线Ax+By+1=0的斜率小于0的概率为_______.
【解析】所有的基本事件(A，B)为(-3，-1)，(-3，1)，(-3，2)，(-1，-3)，(-1，1)，(-1，2)，(1，-3)，(1，-1)，(1，2)，(2，-3)，(2，-1)，(2，1)，共12种，其中(-3，-1)，(-1，-3)，(1，2)，(2，1)这4种能使直线Ax+By+1=0的斜率小于0，所以所求的概率P==.
答案：
10.(2018·张家口模拟) 在高三某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一盒子内装有6张大小完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字，就中奖，则该游戏的中奖率为_______.
【解析】2张卡片上的2个成语有相同的字的抽取方法有6种：(意气风发，风平浪静)，(意气风发，心猿意马)，(意气风发，气壮山河)，(心猿意马，信马由缰)，(信马由缰，信口开河)，(气壮山河，信口开河).6张卡片中随机抽取2张，共有15种情况，故所求概率为=.
答案：
【变式备选】
(2018·抚州模拟)如图所示是某市2018年4月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市，并停留3天.
该同志到达当日空气质量重度污染的概率为_______.
【解析】某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市，并停留3天，基本事件总数n=12，4月1日至4月12日空气质量重度污染的天数有5天，即该同志到达当日空气质量重度污染包含的基本事件个数m=5，所以该同志到达当日空气质量重度污染的概率P==.
答案：
1.(5分)若x∈A的同时，还有∈A，则称A是“好搭档集合”，在集合
B=的所有非空子集中任选一集合，则该集合是“好搭档集合”的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由题意可得，集合B的非空子集有25-1=31个，其中是“好搭档集合”的有：{1}，，，，，，，共7个，所以该集合是“好搭档集合”的概率为P=.
2.(5分)(2019·广安模拟)从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数：3×3×2=18个，三位数是3的倍数，需要满足各个数位上的数之和是3的倍数，有两种情况0，1，2和1，2，3.
由0，1，2组成没有重复数字的三位数：2×2=4(个)，
和1，2，3组成没有重复数字的三位数：=6(个)，
所以一共有：4+6=10(个)，
所以该三位数能被3整除的概率为=.
【变式备选】
用两个字母G，A与十个数字0，1，2，…，9组成5位的车牌号码，两个字母不能重复，且每个号码中都包含这两个字母.其中两个字母排在前两位的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选B.总的基本事件的个数为×103，其中两个字母排在前两位的情况有×103，由古典概型的概率公式，得P===.
3.(5分)如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为_______.
【解析】依题意记题中的被污损数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8+9+2+1)-(5+3+x+5)≤0，x≥7，即此时x的可能取值是7，8，9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P==0.3.
答案：0.3
4.(15分)(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.
【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种.
②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年
级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种.
所以，事件M发生的概率为P(M)=.
【变式备选】
1.(2018·合肥模拟)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球.
(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率.
(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？
【解析】用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，
5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共25个.
(1)设甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有：(2，1)，(3，1)，(3，
2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共10个.故所求概率P(A)==.
(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个.
则P(B)==，所以P(C)=1-P(B)=.
因为P(B)≠P(C)，所以这样规定不公平.
2.(2018·潍坊模拟)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢.
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A).
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？说明理由.
【解析】(1)甲、乙各出1到5根手指头，
共有5×5=25种可能结果，和为6有5种可能结果，所以P(A)==.
(2)B与C不是互斥事件，理由如下：B与C都包含“甲赢一次，乙赢二次”，事件B与事件C可能同时发生，故不是互斥事件.
(3)和为偶数有13种可能结果，其概率为P=>，故这种游戏规则不公平.。