水处理实验技术6(第七讲)

3、可化为一元线性回归的非线性回归（详P64）
实际两变量是某种曲线关系，需用曲线做回归线； 据散点图、专业经验、解几知识选择既简单而计算结果 与实测值又较相近的已知曲线近似地作为回归方程式。 有些已知曲线可用坐标变换化为直线关系式, 即用线性回 归的方法建立起回归直线方程 y = a + bx （最小二乘法 求得参数a、b） ，进而可求出曲线函数关系。 具体五步骤： （1）据样本数据，在直角坐标系中画出散点图； （2）据散点图，推测出x与y间的函数关系； （3）选择适当变换，使之变成线性关系； （4）用线性回归法求出线性回归方程； （5）返回到原来的函数关系，得到要求的回归方程。
（3）回归线的精度——定量分析
用于表示实测的 y 值偏离回归线的大小。 波动规律按正态分布，即 y0 是具有某正态分布的随机变量。 算出波动的标准差即可估出回归线精度。
回归线精度的判定（详P64）
1）计算标准差σ的估计值σ∧，称为 剩余标准差（注意：公式 中自由度为 n–2，非n–1）， σ∧ =√Q /（n-2） = ...... （公式2- 41） σ∧越小， yi 离回归线越近，回归方程精度越高。 2）由正态分布性质判断： y0 落在 y0 ∧ ± σ范围的概率 68.3% y0 落在 y0 ∧ ± 2σ范围的概率 95.4% y0 落在 y0 ∧ ± 3σ范围的概率 99.7%
常见可化为线性方程的曲线方程及图形：
（1）双曲线 1/y = a + b/x （图2-1、P65）, x、y 换元 （2）幂函数 y = cx （图2-2、P65）,两侧取对数后换元 （3）指数函数 y = ce （图2-3、P66）,两侧取对数后换元 （4）倒指数函数 y = de （图2- 4、P66）,两侧取对数后换元 （5）对数函数 y = a + b· （图2-5、P67）, x 换元 lnx -x （6）S型曲线 y = 1 / （a + be ）（图2-6、P67）, x、y换元
n n
式中 x¯=（1/n）∑i=1 xi ， y ¯=（1/n）∑i=1 yi
（2）相关系数γ
相关分析——是解决线性关系式能否真正反映出两个变量 间的客观规律的数学方法。 引入相关系数γ，描绘变量x、y线性相关的密切程度，判 断建立的经验式是否合理。
γ有四个特点： （同济P41图）
a、—1≤γ ≤ 1 之间的某任意值； b、γ= 0，变量 y 的变化可能与x无关，x与y 无线性关系； c、 0﹤∣γ∣﹤1， x与y存在一定线性关系（ γ﹥ 0正相关， γ﹤ 0负相关） ； d、 ∣γ∣=1， x与y完全线性关系（ γ= 1 完全正相关， γ= —1 完全负相关） 。
相关分析三步骤——定性分析（详P63-64） ：
1、概述（详见P60）
（1）变量间的两种关系：
1）确定性关系：即函数关系，反映事物间严格的变化规律和依存 性。两个变量都是非随机变量； 2）相关关系：变量间虽存在密切关系，但不能由一个（或几个） 变量的数值精确求出另一变量的值。
特点：对应于一个变量的某个取值，另一个变量以一定的 规律分散在它们平均数的周围。
Q = ∑i=1 （y i — y ∧ i ）
=最小值，即用求极值的方法求出a、b的估计值a ∧ 、b ∧ 。 b称回归系数，a称截距。并得到经验回归直线方程： y∧=a∧+b∧x
一元线性回归计算三步骤（P62-63）：
1）将x、y数据一一对应填入“一元线性回归计算表”， 即 表 2-16 中； 2）计算 Lxy、Lxx、Lyy 值；（公式2-35、-36、-37） 3）根据公式计算a ∧、 b ∧值并建立经验式 ： b ∧ = Lxy/ Lxx， （公式2-38） a ∧ = y¯– bx¯， （公式2-39） y∧=a∧+b∧x
5、回归计算举例（P71）
（1）一元线性回归计算举例（P71） （2）可化为一元线性回归的非线性回归计算举例（P73）
4、二元线性回归（P68，略，自学）
（1）建立二元线性回归方程
y或y ∧ = a 1 + b 1 x + a 2 + b 2 x （2- 44） 二元线性回归计算四步骤： 得y ∧ = a ∧ + b1 ∧ x1 + b2 ∧ x2
（2）二元线性回归的复相关系数 R 值 （3）二元线性回归方程式的精度
（4）因素对实验结果影响的判断
1）标准回归系数绝对值比较法 2）偏回归平方和比较 3）T值判断法
数学是科学的大门和钥匙。 ——伽利略
一种科学只有在成功的运用了 数学时，才算达到完善的地步。 ——马克思
2）回归方程的建立
回归方程的求解——曲线拟合，实质是采用某一已知函数的 图线去逼近所有的观测数据，但不通过所有点，而要求拟合 误差达到最小，从而建立一个确定的函数关系。
回归过程两步骤（P61）
1）选已知函数类型，先使曲线最大程度与实验点接近， 并准确、简明、参数少：
将整理后的实验数据在不同坐标纸上作散点图（常用直角 坐标纸）； 再据散点图中变量间信息、据专业知识和经验及解析几何 知识判断图形类型； 确定函数关系。
1）计算相关系数γ ： γ= Lxy / √(Lxx·Lyy)， 公式（2- 40） 作出定性分析： ∣γ∣越接近 1，两变量 x、y 间线 性关系越密切；若 γ接近于 0 ，则两者间没有线性 关系，或具有非线性关系。
2）由显著性水平α（常0.05、0.01）、自由度n–2 ， P295 查附表5 ―相关系数检验表”得临界γα ， 3）判断： ∣γ∣≥ γα ，线性关系，方程式成立，γ在 水平α下显著； ∣γ∣﹤ γα ，不存在线性关系， γ在 水平α下不显著。
（第七讲）
2.3.4 回归分析
实验结果、变量间关系的理论分析多用数学表达式—— 方程表 示法，两步骤： 一、选择经验公式； 二、确定经验公式的系数，方法有： 1）直线图解法、 2）回归分析（一元线性回归、一元非线 性 回归、回归线的精度、相关系数γ） 回归分析正是分析、解决两个或多个变量间关系的数学工具。
b/x
bx
b
如散点图所反映的变量x与y间的关系和两个函数类型 都有些相近，则可都做回归并计算剩余平方和或剩余 标准离差σ∧并进行比较，选择 Q 或σ∧值最小的一 个函数类型。
n 2
Q = ∑i=1 （y i — y ∧ i ） σ∧ =√Q /（n-2） = ......
（公式2- 42） （公式2- 43）
3可化为一元线性回归的非线性回归可化为一元线性回归的非线性回归详详p64p641双曲线cx图22p65两侧取对数后换元bx3指数函数ce图23p66两侧取对数后换元4p66两侧取对数后换元5对数函数blnx图25p67如散点图所反映的变量x与y间的关系和两个函数类型都有些相近则可都做回归并计算剩余平方和或剩余标准离差并进行比较选择q或值最小的一个函数类型
（3）回归方程式建立概述
1）回归方程及经验公式（详见P61）
回归分析重点研究随机变量与普通变量之间的相关关系； 一般因变量y是随机变量，自变量x是普通变量，可以多个； 通过回归分析建立一个近似的定量表达式（P61）：y的数学 期望（均值）Ey 是唯一的，一定是x的函数，函数f（x）称 是 y 关于 x 的回归函数，或是 y 对 x 回归方程，简称回归。 回归方程意义：反映了x 取 x0 时 y 所取值的平均值。 回归分析任务之一是利用两个变量x、y的 n 对数据估计出回 归方程 f（x），称经验公式。
2）确定函数 f（x）中的参数：
用作图法求系数，直线作图法简便，但精度较差，或精度 要求低于0.2%至0.5%时可用。（同济P38） 最常用最小二乘法。
（4）几种主要回归分析类型（详P62）
工程中常用一元线性回归、可化为一元…非线性回归、多 元…等三类。
2、一元线性回归
（1）求一元线性回归方程——即配直线的问题，……，用最 小二乘法求参数a、b的估计值a ∧ 、b ∧ ，建立起回归直 线方程 y ∧ = a + bx . （a、b、y上的∧表示 是计算值的估 计值）； 最小二乘法——要求n个数据的绝对误差的平方和达到最小。 即选择适当的a、b值，使 n 2
两者关系：没有绝对划清界限。因误差存在，函数关系常 表现为相关关系。反之，当规律深刻、准确掌握时回归分析的主要内容
回归分析是处理变量间相关关系的一种数学方法。对大量 数据经去伪存真、由表及里加工后，找出相关关系间的内 在规律性，建立（近似）定量表达式，从而推算出未知量。 1）以观察数据为依据，建立反映变量间相关关系的定量关 系式（回归方程），并检验关系式的可信度； 2）利用建立的回归方程式，对客观过程进行分析、预测和 控制。