北师大版九年级数学上册第6章第3节反比例函数的应用

变，密度（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函
数，它的图象如图所示，当V=2m3时，气体的密度是
_______kg/m3．
（kg/m3）
【解析】先求出反比例函数的解 析式，再由V＝2m3计算密度.
2 【答案】4
O
4 V（m3）
反比例函数
2.小丽是一个近视眼，整天眼镜不离鼻子，但自己 一直不理解自己眼镜配制的原理，很是苦闷，近来 她了解到近视眼镜的度数y（度）与镜片的焦距x（m) 成反比例，并请教了师傅了解到自己400度的近视眼 镜镜片的焦距为0.2m，可惜她不知道反比例函数的 概念，所以她写不出y与x的函数关系式，我们大家 正好学过反比例函数了，谁能帮助她解决这个问题 呢？
3.反比例函数
经过点(m,2),则m的值___2___.
4.反比例函数 达式为____y_=_-_6x___.
的图象经过点(2,-3), 则它的表
反比例函数
新知讲 解
视察反比例函数
y
2,y x
4, x
y
6 x
的图象，你
能发现它们的共同特征吗？
反比例函数
新知讲 解
（1）函数图象分别位于哪几个象限？ 第一、三象限内
反比例函数
【跟踪训练】
蓄电池的电压为定值.使用此电源时,电流I(A)与电阻R(Ω) 之间的函数关系如图所示： (1)蓄电池的电压是多少？你 能写出这一函数的表达式吗？ 【解析】
(1)由题意设函数表达式为I＝ ∵A(9，4)在图象上， ∴U＝IR＝36． ∴表达式为I＝ ．
答：蓄电池的电压是36伏．
S3
反比例函数
随堂练 习
1.（甘肃·中考）如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函
数
的图象过点A，则k=（ ）
y
（A）3
（B）1.5
AC
（C）3
（D）6
BO x
【解析】选C.矩形的面积等于系数k的绝对值，由图象 在第二、四象限，可知k<0，所以k=3.
反比例函数
若D、E、F反比例函数图像上的三个点，过D、E、F 分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N、K，连接OD、 OE、OF，设△ ODM、△OEN、 △OFK 的面积分别为 S1、S2、S3，则下列成立的是 ( )
每个象限内， y随x 的增大而减小
k<0
位置
二四 象限
二四 象限
增减性
y随x的增大而 减小
每个象限内， y随x 的增大而增大
反比例函数
3.（邵阳·中考）直线y=k1x与双曲线 相交于点P，Q两点．若点P的坐标为（1，2），则
点Q的坐标为
．
【解析】由双曲线的中心对称性知，点P与点Q关于 原点对称，所以点Q的坐标为（1，2）. 答案：（1，2）.
反比例函数
想一想
?
在一个反比例函数图象上任意取两点P、Q，过点P、Q 分别作x轴和y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积分别 记为S1和S2，则S1和S2之间有什么关系？说明理由．
反比例函数
想一想
?
S1、S2有什么关系？为什么？ S1=S2 S1、S2、S3有什么关系？为什么？
S1=S2=S3
S1 S2
反比例函数
4.已知反比例函数 求a的值和表达式.
，y随x的增大而减小，
反比例函数
新知讲 解
反比例函数
新知讲 解
反比例函数
1、反比例函数的图象是双曲线． ⑴当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限
内,在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
⑵当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限
内,在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.
，其
图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(40,1)和B(m,0.5)．
（1）求k和m的值；
（2）若行驶速度不得超过60（km/h），
则汽车通过该路段最少需要多少时间？
t
A 1
0.5
B
O
40
m
v
反比例函数 【解析】（1）将（40,1）代入
，
反比例函数
反比例函数
反比例函数
反比例函数
通过本节课的学习你有什么收获和体会？你还有 什么困惑？
(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
当S＝0.2m2时，
p＝ ＝3000(Pa) ． 答：当木板面积为0.2m2时压强是 3000Pa．
反比例函数 (2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
当p＝6000Pa时， S＝ ＝0.1( )．
反比例函数
问题（1）题目中告知我们什么？变量间是什么关系？ 告知我们度数与焦距成反比例，反比例关系
（2）当我们知道是什么关系时应该怎么做？ 设出反比例函数关系式的一般式
（3）怎么计算出关系式？ y=
反比例函数
3．（嘉兴·中考）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t
（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：
反比例函数
第六章 反比例函数
6.3反比例函数的应用
y 46
4
O
7
x
反比例函数
复习旧知
1.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y
轴作垂线,若阴影部分面积为1,则这个反比例函数的关系式
是.
y
2、在双曲线
O 上任一点分别作x轴、
x
y轴的垂线段，与x轴y轴围成矩形面积为
12，求函数解析式__________。
O ( x3，y(3xC)4，yD4 )
x
O
x
D ( x4，y4 )
C ( x3，y3 )
当K>0时，在 每个象限 内,y随x的增大而 减小 ． 当K<0时，在 每个象限 内,y随x的增大而 增大 ．
反比例函数
重要结 论
y 6图象 在整个自变量的取值范围内，y随着x增大而减小
x
y
6
y 6
5
x
4
· 3
12
可将满池水全部排空.
反比例函数
【解析】
(1)
y
=-
8
x
,
y =-x +2.
解得
x y
==4-,2，或
x =-2, y =4.
因此A(-2, 4), B( 4, -2).
反比例函数 方
MD
C
反比例函数
方
y
A
C
N
O
D
x
B
反比例函数
1.（綦江·中考）有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质
量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改
(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
图象如下
6000 5000 4000 3000 2000 1000
O
P/Pa
为什么只 需在第一
利用图象对（2）
象限作函 和（3）做出直
数的图象？
观解释．
0.1 0.2 0.30.4 0.5 0.6 S/ m2
反比例函数
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释,并与同伴 交流. 【解析】问题(2)是已知图象上的某点的横坐标为 0.2,求该点的纵坐标;问题(3)是已知图象上点的纵 坐标不大于6000,求这些点所处位置及它们横坐标 的取值范围.实际上这些点都在直线p=6000下方 的图象上.
反比例函数
2.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数 的图象上，比较y1、 y2 、y3的大小关系．
【解析】∵k=4>0
∴每一象限内y随x的增大而减小
∵x1<x2<0 , x3=3>0,
y3
∴A、B在第三象限,C在第一象限
y1
∴ y2 <y1<0 ，y3>0,
y2
即y2 < y1 < y3 利用图像比较大小简单明了
一、三 y
置 象限
O x 象限
Ox
k>0
增减性
y随x的增大 而增大
每个象限内， y随x 的增大而减小
位置
二、四 y
二、四
象限 O x 象限
y Ox
k<0
增减性
y随x的增大而 减小
每个象限内， y随x 的增大而增大
反比例函数
新课导 入
1.反比例函数的图象是__双__曲___线___.
2.反比例函数
的图象在第__二__、___四__象限内.
A S1<S2 < S3 B S1>S2 > S3 C S1 < S3 <S3 D S1=S2=S3
反比例函数
2.
（ D）
反比例函数
函数
正比例函数
表达式
y=kx ( k≠0 )
图象形状
直线
反比例函数 y=xk( k是常数,k≠0 )
双曲线
位 一三
一三
置 象限 k>0
象限
增减性
y随x的增大 而增大
或
反比例函数
复习旧知
1、“双曲线
的图象，在x的取值范围内，y随x的
增大而增大”这句话对吗。
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内, 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内, 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.
反比例函数
某校科技小组进行野外考察，利用铺垫若木 板的方式通过了一片烂泥湿地．你能解释他们这 样做的道理吗？
当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板
面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)
将如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，
那么 (1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
反比例函数 (1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
由p＝ 得p＝ p是S 的反比例函数，因为给定一个S 值，对应的就有唯一的 一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S 的反比例函数．
（2）当x取什么值时，图象在第一象限？当x取什么值时， 图象在第三象限？
x>0时，图象在第一象限；x<0 时，图象在第三象限． （3）在每个象限内,随着x值的增大，y的值怎样变化？
在每一个象限内，y随x的增大而减小．
反比例函数
新知讲 解
y 2 , y 4 , y 6 的图象有又什么共同特征？
反比例函数 (2) 如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A， 那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
【解析】 当I≤10A时, 解得R≥3.6(Ω) 答：可变电阻应不小于3.6Ω．
反比例函数
(1)分别写出这两个函数的表达式.
(2)你能求出点B 的坐标吗？
你是怎样求的？
分析：要求这两个函数的表达式，只要把A点的坐标代入即 可求出k1，k2．求点B的坐标即求y＝k1x与y＝ 的交点．
反比例函数
【解析】(1)把A点坐标
分别代入y=k1x,和y=
解得k1=2.k2=6； 所以所求的函数的表达式为:y=2x,和y= —6 ；
x
(2)两个函数组成的方程组
解得x= ，
反比例函数
1.正比例函数y=k1x与反比例函数y=k2/x有交点，则 k1和k2应满足什么条件？
当k1·k2＞0时,有交点;
x
x
x
（1）函数图象分别位于哪个象限内？ x>0时，图象在第四象限；x<0 时，图象在第二象限
（2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
在每一个象限内，y随x的增大而增大
反比例函数
重要结 论
y k0
y k0
A ( x1，y1 ) B ( x2，y2 )
( x1，y1 ) A
( x2，y2 ) B
反比例函数
(4)如果准备在5h内将满池水排空,那么每小时的排水量 至少为多少? 【解析】当t=5h时,Q=48 =9.6(m3).所以每小时的排水量
5
至少为9.6m3. (5)已知排水管的最大排水量为每小时12m3,那么最少 多长时间可将满池水全部排空? 【解析】当Q=12(m3)时,t=48 =4(h).所以最少需4h
y
y
0x
0x
反比例函数
视察反比例函数图象的两支曲线,回答问题:
（1）它们会与坐标轴相交吗？ 无限接近x轴和y轴，但永远不与坐 标轴相交．
（2）反比例函数的图象是中心对称图形吗？ 是中心对称图形,对称中心是坐标原点.
A
2
错误 如图xB< xA
xB
1
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
A
x
· -2
B -3
ห้องสมุดไป่ตู้
但yB< yA
-4
-5
-6
反比例函数
1 下列函数中，其图象位于第一、三象限的__(_1__)_(2__)_(3__)__; 在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有_(_4_)__.
某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可将满池水全部排空. (1)蓄水池的容积是多少? 【解析】蓄水池的容积为:8×6=48(m3). (2)如果增加排水管,使每时的排水量到达Q(m3),那么将 满池水排空所需的时间t(h)将如何变化? 【解析】此时所需时间t(h)将减少. (3)写出t与Q之间的函数关系式; 【解析】t与Q之间的函数关系式为: ．
当k1·k2＜0时,没有交点;
2.如果正比例函数与反比例函数图象有交点，则交点
坐标有什么特点？
正比例函数与反比例函数图象的交点坐标特点关 于原点对称.
反比例函数
A(3,1)
B(-1,-3)
当-1﹤x﹤0 或 x﹥3 y
y 1= x-2
o
A
y2 =
_3 x
-1
13
x
BC
反比例函数
反比例函数
【跟踪训练】
?
3.
反比例函数
C
4.
反比例函数
D
6.
反比例函数
D
A
B
7.
反比例函数
C
8.
反比例函数
1.5
9.
反比例函数
反比例函数
奇迹是会产生的，但你得为之拼命地努力． ——佚名
反比例函数
函数
正比例函数
表达式
y=kx ( k≠0 )
图象形状
直线
反比例函数 y=xk( k是常数,k≠0 )
双曲线
位 一、三 y