新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试(有答案解析)(2)

一、选择题
1．设()31x
f x =-，若关于x 的函数2()()(1)()
g x f x t f x t =-++有三个不同的零点，则实数t 的取值范围为（ ） A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
B ．()0,2
C ．()0,1
D ．(]0,1
2．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2
+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．
2332
a << B ．
2
13
a < C ．9a
D ．
2
93
a < 3．已知函数24
,?
0()7,?
0x f x x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，()()g x f x x a =+-，若()g x 存在两个零点，则a
的取值范围是（ ） A ．(﹣4，0] B ．(-∞，﹣9) C ．(-∞，﹣9)
(﹣4，0]
D ．(﹣9，0]
4．设函数()243,0
23,0
x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x 、2x 、3x ，满足
()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）
A ．5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．5,42⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．()2,4
D ．()2,6
5．流行病学基本参数：基本再生数0R 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T 指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：0()rt
I t N e =（其中
0N 是开始确诊病例数）描述累计感染病例()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增
长率r 与0R ，T 满足01R rT =+，有学者估计出0 3.4,6R T ==．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当0()2I t N =时，t 的值为（ln 20.69≈）（ ） A ．1.2
B ．1.7
C ．2.0
D ．2.5
6．已知函数21,1()1,1x x x f x x x
⎧-+<⎪
=⎨⎪⎩，若函数()y f x a =-有三个零点，则实数a 的取值
范围为（ ）
A ．3[4
，1]
B ．3(4
，1)
C ．(0,1)
D ．3(4
，)+∞
7．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()
f x
为“倒戈函数”．设()31x
f x m =+-（m ∈R ，0m ≠）是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，
则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．21,33⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦ C ．2,03
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
D ．(),0-∞
8．对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在()0,x -∞和()0,x +∞上与 x 轴都有交点，则称0
x 为函数()f x 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存
在“界点”的是( ) A ．()2
2x
f x x =-
B ．()()2
2f x x bx b R =+-∈
C ．()12f x x =--
D ．()sin x x x f -=
9．函数1
,(0)
()0,(0)x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩
，关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不等的实数根的充分必要条件是（ ） A ．2b <-且0c >
B ．2b >-且0c <
C ．2b <-且0c
D ．2b ≥-且0
c
10．已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．1ln 2,84⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1ln 2,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．3ln 22,4e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ D ．122,4n e ⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭ 11．
设一元二次方程210mx m -++=的两个实根为1x ，2x ，则22
12x x +的最小值为
（ ） A ．178
-
B ．
154
C ．1
D ．4
12．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合A ={0，1}，B ={x |（x 2-ax ）（x 2-ax +1）=0}，且|d （A ）-d （B ）|=1．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则d （M ）=（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．4
二、填空题
13．
若函数4y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是______．
14．已知()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且()123,1211,222x x f x f x x ⎧--≤<⎪
=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
，则函数
2()3y xf x =-在区间()1,2015上零点的个数为 ．
15．若关于x
x m =+有两个不同实数解，则m 的取值范围是______.
16．若函数()23x
f x x --+=的零点为0x ，满足()01x k k ∈+，且k ∈Z ，则k ＝_____．
17．已知函数()f x 定义域为D ，若存在0x D ∈，使()()()0011f x f x f +=+成立，则
称()f x 具有性质P .现给出下列四个函数： ① ()1f x x
=
； ②()2x
f x =； ③()()2lo
g 2f x x =+； ④()sin f x x π= 其中具有性质P 的函数为_____________（注：填上你认为正确的所有函数序号） 18．若方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ，且110x -<<，
201x <<，则实数k 的取值范围是__________.
19．已知()1
4f x x
=-
，若存在区间[]()0a b ⊆+∞，
，，使得()[]{}[]|y y f x x a b ma mb =∈=，，，．则实数m 的取值范围是__________．
20．已知函数21(0)
()(1)(0)
x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 方程()f x ax =有三个不相等的实数
根，则实数a 的取值范围是_______________． 三、解答题
21．对于函数()y g x =，若0x R ∃∈，使00()g x mx =成立，则称0x 为()g x 关于参数m
的不动点.设函数2
()(1)1f x ax b x b =+++-(0)a ≠
（1）当1,3a b ==-时，求()f x 关于参数1的不动点；
（2）若b R ∀∈，函数()f x 恒有关于参数1的两个不动点，求a 的取值范围；
（3）当1,2a b ==时，函数()f x 在(]
0,2x ∈上存在两个关于参数m 的不动点，试求参数
m 的取值范围.
22．如图，电路中电源的电动势为E ，内电阻为r ，1R 为固定电阻，2R 是一个滑动变阻器.其中电功率与外电阻2R 满足关系式2212
(
)E
P R r R R =++.
（1）若 6.0=E V ， 1.0r =Ω，10.5R =Ω，求 5.625P W =时的滑动电阻值2R . （2）当2R 调至何值时，消耗的电功率P 最大？最大电功率是多少？ 23．已知函数f (x )=x +
1
1
x +，g (x )=ax +5-2a (a >0). （1）判断函数f (x )在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；
（2）若对任意m ∈[0，1]，总存在m 0∈[0，1]，使得g (m 0)=f (m )成立，求实数a 的取值范围.
24．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：
32
21805040,[120,144)3120080000,[144,500)2
x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪--∈⎪⎩且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴
油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.
（1）当[200,300]x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
25．对于定义域为D 的函数()f x ，若同时满足下列两个条件：①()f x 在D 上具有单调性；②存在区间[]
,a b D ⊆，使()f x 在区间,a b 上的值域也为,a b ，则称()f x 为D 上的“精彩函数”，区间,a b 为函数()f x 的“精彩区间”．
（1）判断0,1是否为函数3
y x =的“精彩区间”，并说明理由；
（2）判断函数()()4
0f x x x x
=+>是否为“精彩函数”，并说明理由； （3）若函数(
)g x m =
是“精彩函数”，求实数m 的取值范围．
26．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为1万元，但每生产1百台又需可变成本（即需另增加投入）0.5万元，市场对此产品的年需求量为6百台（即一年最多卖出6百台），销售的收入（单位：万元）函数为2
1()43
R x x x =-，其中x （单位：百台）是产品的年产量.
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）求年产量为多少时，企业所得利润最大； （3）求年产量为多少时，企业至少盈利3.5万元.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由()0g x =得()1f x =或()f x t =，作出函数()f x 的图象，可得()f x t =需有两解，有此可得t 的范围． 【详解】
据题意()0g x =有三个解．
由()0g x =得()1f x =或()f x t =，易知()1f x =只有一个解， ∴()f x t =必须有两解， 由图象知01t <<． 故选：C ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数零点个数问题，解题时根据零点的定义化为方程()0g x =的解的个数，进而转化为()f x t =的解的个数，再利用数形结合思想，考虑函数()y f x =的图象与直线y t =的交点个数问题．掌握转化思想是解题关键．
2．B
解析：B 【分析】
可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和
1
()2f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围． 【详解】
解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32a
x a
-=， 当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2
+∞上有两个实数根，如图所示，
则需
3122a a ->，且113
()10242
a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302
a <<
且2
3a >，且9a 或1a ，则213a <；
当0a <时，要使二次方程在区间1
(,)2
+∞上有两个实数根，如图所示，
则需
3122a a ->，且113
()10242
a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302
a <<
且2
3<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅．
综上可得，a 的取值范围是2
13
a <．
故选：B ． 【点睛】
本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.
3．C
解析：C 【分析】
令()()0g x f x x a =+-=，将()g x 存在两个零点，转化为两函数
24
,?
0,6,?
0x x y a y x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-≥⎩有两个交点，在同一坐标系中，作出两个函数的图象，利用数
形结合法求解. 【详解】
令()()0g x f x x a =+-=，
得24
,?
06,?0x x a x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，
令24
,?
0,6,?
0x x y a y x
x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-≥⎩， 在同一坐标系中，作出两个函数的图象，如图所示：
因为()g x 存在两个零点， 由图象可得：a <﹣9或﹣4<a ≤0， 故选：C 【点睛】
方法点睛：函数零点问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
4．C
解析：C 【分析】
设123x x x <<，作出函数()f x 的图象，结合图象可得出1x 的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出234x x +=，进而可求得123x x x ++的取值范围. 【详解】
设123x x x <<，作出函数()f x 的图象如下图所示：
设()()()123f x f x f x m ===，
当0x ≥时，()()2
243211f x x x x =-+=--≥-，
由图象可知，13m -<<，则()()11231,3f x x =+∈-，可得120x -<<， 由于二次函数243y x x =
-+的图象的对称轴为直线2x =，所以，234x x +=，
因此，12324x x x <++<. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（或取值范围），常用方法如下： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离常数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
5．B
解析：B 【分析】
根据所给模型求得0.4r =，代入已知模型，再由0()2I t N =，得002rt
N e N =，求解t 值
得答案 【详解】
解：把0 3.4,6R T ==代入01R rT =+，得3.416r =+，解得0.4r =，
所以0.40()t
I t N e =，
由0()2I t N =，得0.4002t
N e
N =，则0.42t e =，
两边取对数得，0.4ln 2t =，得ln 20.69
1.70.40.4
t =≈≈， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题
6．B
解析：B 【分析】
画出函数21,1()1,1x x x f x x x
⎧-+<⎪
=⎨⎪⎩的图象，函数()y f x a =-有三个零点等价于()
y f x =与y a =的图象有3个不同交点，数形结合得答案. 【详解】
作出函数21,1()1,1x x x f x x x
⎧-+<⎪
=⎨⎪⎩的图象如图，
函数()y f x a =-有三个零点，即()y f x =与y a =的图象有3个不同交点， 由图可知，实数a 的取值范围为3(4
，1). 故选：B. 【点睛】
方法点睛：由零点求参数范围：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
7．A
解析：A 【分析】
()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，即存在0[1,1]x ∈-,满足
00()()f x f x -=-，即0
2332x x m -=--+有根，即可求出答案．
【详解】
()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，
∴存在0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，
003131x x m m -∴+-=--+， 002332x x m -∴=--+，
构造函数0
03
32x x y -=--+，0[1,1]x ∈-，
令03x t =，1[,3]3
t ∈，
11
22()y t t t t
=--+=-+在1[,1]3单调递增，
在(1,3]单调递减，所以1t =取得最大值0，
13
t =
或3t =取得最小值43-，4
[,0]3y ∴∈-，
4203m ∴-
<，03
2
m ∴-<， 故选：A ．
【点睛】
本题考查的知识点是指数函数的性质、函数的值域，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义“倒戈函数”的含义，是解答的关键．
8．D
解析：D 【分析】
由“界点”定义可知，存在“界点”要求函数至少有2个零点．通过对四个函数零点个数的判断，得到最终结果． 【详解】
A 选项：令3n
a n n
b a =，即22x x =，根据2x y =与2
y x =图像如图所示：
可知当0x >时，有2x =与4x =两个交点 当0x <时，有1个交点
因此两函数共有3个交点，故()f x 必有“界点”；
B 选项：令220x bx +-=，可知280b ∆=+>，方程恒有2个不等式根，即()f x 必有
2个零点，故()f x 必有“界点”；
C 选项：令120x --=，解得3x =或1x =，即()f x 有2个零点，故()f x 必有“界
点”；
D 选项：令sin 0x x -=，令()sin g x x x =-，则()1cos g x x =-'
又cos 1≤x ，所以()0g x '≥
()g x ∴在(),-∞+∞上单调递增
又()00g =，即()g x 只有0x =一个零点，故()f x 不存在“界点”． 本题正确选项：D 【点睛】
本题属于新定义问题，考查转化化归的数学思想．解题关键在于明确“界点”的定义，从而转化为零点个数问题．
9．C
解析：C 【分析】
首先根据题中所给的方程的根进行分析，得到五个根的情况，从而判断出0c
，之后利
用()f x b =-有四个根，结合函数图象求得结果.
【详解】
当0x =时()0f x =，当0x =为()()20f x bf x c ++=的一个根时可得0c
.
所以()()20f x bf x c ++=即()()20f x bf x +=有4个不同的根，
()0f x ≠，()f x b ∴=-有4个根. 0x ≠时()11122f x x x x x x x
=+=+≥=，图象如图所示：
由图可知22b b ->⇒<-.
综上可得2,0b c <-=.
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关根据函数零点的个数判断参数的取值范围的问题，充要条件的判断，在解题的过程中，注意数形结合思想的应用，属于中档题目.
10．C
解析：C
【分析】
由题意可得方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，设()(]ln ,0,8x f x x x
=∈，求得函数的导数和单调性，可得极值和最值，画出()y f x =的图象，可得m 的不等式，即可求解.
【详解】 由题意，方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，
即为2ln mx x =在(]0,8上有两个不等的实数根，
即1ln 2x m x
=在(]0,8上有两个不等的实数根， 设()(]ln ,0,8x f x x x =
∈，则()21ln x f x x -'=， 当(,8)x e ∈时，()0f x '<，函数()f x 递减，
当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 递增，
所以当x e =时，函数()f x 取得最大值1e ，且(
)ln83ln 2888f ==， 所以3ln 2182m e ≤<，解得3ln 224m e
≤<，故选C.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中把方程的根转化为
1ln 2x m x =在(]0,8上有两个不等的实数根，利用导数求得函数()ln x f x x
=的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力. 11．C
解析：C
【分析】
由一元二次方程有两个实根,可知0m ≠且0∆≥,可求出m 的取值范围,然后结合韦达定理
可得到2212x x +的表达式,结合m 的取值范围可求出答案.
【详解】
∵一元二次方程22210mx x m -++=有两个实根, ∴(()2022410m m m ≠⎧⎪⎨∆=--+≥⎪⎩,解得21m -≤≤且0m ≠.
又122x x m
+=,121m x x m +⋅=, 则()2221212122x x x x x x +=+-⋅22212m m m ⎛⎫+-⨯ ⎪⎪= ⎝⎭
2822m m =-- 令1t m
=,因为21m -≤≤且0m ≠,所以12t ≤-或1t ≥, 则221222117822888t t t x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭
+,
当12t =-时,2212x x +取得最小值2
111781288⎛⎫---= ⎪⎝⎭
. 故选:C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用,考查韦达定理的应用,考查学生的计算能力与推理能力,属于中档题. 12．A
解析：A
【分析】
根据题设条件，可判断出d （B ）的值为1或3，然后研究（x 2﹣ax ）（x 2﹣ax +1）＝0的根的情况，分类讨论出a 可能的取值．
【详解】
解：由题意，|d （A ）-d （B ）|=1，d （A ）=2，可得d （B ）的值为1或3
若d （B ）=1，则x 2-ax=0仅有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，符合题意 若d （B ）=3，则x 2-ax=0有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，不合题意 故x 2-ax=0有二根，一根是0，另一根是a ，所以x 2-ax+1=0必仅有一根，所以△=a 2-4=0，解得a=±2
此时x 2-ax+1=0为1或-1，符合题意
综上实数a 的所有可能取值构成集合M={0，-2，2}，故d （M ）=3．
故选：A ．
【点睛】
本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．
二、填空题
13．【分析】将函数存在零点转化为与图像有交点作出图像观察图像得出实数的取值范围【详解】解：设则函数存在零点等价于与图像有交点如图：函数的图像恒过点当其和函数的图像相切时有解得由图像可知所以所以与的图像有
解析：⎡⎢⎣⎦
【分析】
将函数4y ax a =+()()4f x a x =+与()g x =
点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围.
【详解】
解：设()()4f x a x =+，()g x =
则函数4y ax a =+()()4f x a x =+与()g x =
点，
如图：
函数()()4f x a x =+的图像恒过点(4,0)-，当其和函数2()4g x x =
- 2421a
a =+，解得3a =±，由图像可知，0a >，所以3a = 所以()()4f x a x =+与2()4g x x =-303
a ≤≤. 故答案为：30,3⎡⎢⎣⎦
. 【点睛】
本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想，是中档题.
14．11【分析】令函数得到方程从而化函数的零点为方程的根再转化为两个函数的交点问题从而解得【详解】解：令函数得到方程当时函先增后减在时取得最大值1而在时也有；当时在处函数取得最大值而在时也有；当时在处函 解析：11
【分析】
令函数2()30y xf x =-=，得到方程3()2f x x =
，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得．
【详解】
解：令函数2()30y xf x =-=，得到方程3()2f x x =
， 当[)1,2x ∈
时，函()f x 先增后减，在32x =时取得最大值1， 而32y x =在32
x =时也有1y =； 当)22,2
x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在3x =处函数()f x 取得最大值12， 而32y x =在3x =时也有12
y =；
当)232,2
x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在6x =处函数()f x 取得最大值14， 而32y x =
在6x =时也有14
y =； …， 当)10112,2
x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在1536x =处函数()f x 取得最大值1012， 而32y x =在1536x =时也有1012
y =； 综合以上分析，将区间()1,2015分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点．
故答案为：11．
【点睛】
本题考查函数的零点，对于较为复杂的函数的零点，可以转化为常见函数的图象的交点来考虑，本题属于中档题．
15．【分析】先由题中条件得到方程在上有两个不同实数解且对任意恒成立分别求出的范围进而可得出结果【详解】由得且即且因为关于的方程有两个不同实数解所以方程在上有两个不同实数解且对任意恒成立令则函数在区间上有
解析：2,⎡⎣
【分析】
先由题中条件，得到方程222240x mx m ++-=在[]2,2x ∈-上有两个不同实数解，且0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，分别求出m 的范围，进而可得出结果.
【详解】
x m =+得()224x x m -=+且240x -≥，
即222240x mx m ++-=且22x -≤≤，
因为关于x x m =+有两个不同实数解，
所以方程222240x mx m ++-=在[]2,2x ∈-上有两个不同实数解，且0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，
令()22
224f x x mx m =++-，[]2,2x ∈-， 则函数()f x 在区间[]22-,
上有两不同零点， 因为函数()22
224f x x mx m =++-是开口向上，对称轴为x m =-的二次函数，
因此只需()()()
2220204840f f m m ⎧-≥⎪⎪≥⎨⎪∆=-->⎪⎩
，解得m -<<
又0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，所以m x ≥-对任意[]2,2x ∈-恒成立， 因此只需2m ≥
综上，2m ≤<
故答案为：2,⎡⎣.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于根据题中条件，得到方程222240x mx m ++-=在[]2,2x ∈-上有两个不同实数解，且0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，（一定要注意0x m +≥），转化为一元二次方程根的分布问题求解即可. 16．【分析】根据题意得到函数为减函数进而求得的值利用零点的存在定理即可求解【详解】由题意函数分析可得函数为减函数又由则根据零点的存在定理可得函数的零点在区间上所以故答案为【点睛】本题主要考查了函数与方程 解析：3
【分析】
根据题意，得到函数()f x 为减函数，进而求得()()3,4f f 的值，利用零点的存在定理，即可求解．
【详解】
由题意，函数()23x f x x --+=，分析可得函数()f x 为减函数，
又由()31323308f -=+=>-，()4154243016
f --=+=-<， 则()()340f f ⋅<，根据零点的存在定理，可得函数()f x 的零点在区间()3,4上， 所以3k =．
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记函数零点的概念，以及熟练应用零点的存在定理进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
17．②④【分析】构造函数解方程即可得出结论【详解】构造函数对于①令得整理得方程无实解①中的函数不具备性质；对于②令得解得②中的函数具备性质；对于③③中的函数不具备性质；对于④令得得解得④中的函数具备性质
解析：②④
【分析】
构造函数()()()()11g x f x f x f =+--，解方程()0g x =，即可得出结论.
【详解】
构造函数()()()()11g x f x f x f =+--.
对于①，()1111g x x x =--+，令()0g x =，得111x x x
+=+，整理得210x x ++=， 1430，方程210x x ++=无实解，①中的函数不具备性质P ；
对于②，()122222x x x g x +=--=-，令()0g x =，得22x =，解得1x =.
②中的函数具备性质P ；
对于③，()()()()()22222log 3log 2log 1log 3log 20g x x x x x =+-+-=+-+≠， ③中的函数不具备性质P ；
对于④，()()()sin sin sin sin sin 2sin g x x x x x x ππππππππ=+--=+-=-， 令()0g x =，得sin 0x π=，得()x k k Z ππ=∈，解得()x k k Z =∈，
④中的函数具备性质P .
故答案为：②④.
【点睛】
本题考查函数新定义“性质P ”，本质上就是函数的零点问题或方程根的问题，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
18．【分析】将方程的根转化为函数零点问题再利用零点存在性定理求解【详解】由题知方程的两根为且故设则有故答案为:【点睛】本题考查二次函数根的分布问题需要学生熟悉二次函数的图像性质解决此类问题时常结合零点存 解析：3(,1)4
【分析】
将方程的根转化为函数零点问题,再利用零点存在性定理求解.
【详解】
由题知方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ,
且110x -<<,201x <<,
故设()f x =22(1)1kx k x k +-+-,(0)k > 则有(1)2210103(0)10114(1)221034f k k k f k k k f k k k k ⎧
⎪-=-++->>⎧⎪⎪=-<⇒<⇒<<⎨⎨⎪⎪=+-+->⎩⎪>⎩
,
故答案为:3(,1)4
.
【点睛】
本题考查二次函数根的分布问题,需要学生熟悉二次函数的图像性质,解决此类问题时常结合零点存在性定理解决. 19．【分析】依题意在上单调增则（a ）（b ）从而可得必须有两个不相等的正根利用该方程有二异正根的条件即可求得实数的取值范围【详解】在是增函数在上值域为（a ）（b ）所以（a ）且（b ）即且所以且所以必须有两个 解析：(0,4)
【分析】 依题意，1()4f x x
=-在[a ，]b 上单调增，则f （a ）ma =，f （b ）mb =，从而可得210mx x -+=必须有两个不相等的正根，利用该方程有二异正根的条件即可求得实数m 的取值范围．
【详解】
1()4f x x
=-在(0,)+∞是增函数， ()f x ∴在[x a ∈，]b 上值域为[f （a ），f （b ）]
所以f （a ）ma =且f （b ）mb =， 即14ma a
-=且14mb b -=， 所以2410ma a -+=且2410mb b -+=，
所以2410mx x -+=必须有两个不相等的正根，故0m ≠， ∴40
101640m m
m ⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎪⎩
，解得04m <<．
∴实数m 的取值范围是(0,4)．
故答案为：(0,4)．
【点睛】
本题主要考查函数单调性的性质，着重考查二次函数根的分布问题，将所求的问题转化为210mx x -+=必须有两个不相等的正根是关键，属于中档题．
20．【分析】作出函数图象关于方程有三个不相等的实数根即图象与直线有三个不同的公共点数形结合即可得解【详解】作出函数的图象关于方程有三个不相等的实数根即图象与直线有三个不同的公共点由图可得：【点睛】此题考
解析：
1
[,1)2
.
【分析】 作出函数图象，关于x 方程()f x ax =有三个不相等的实数根，即()f x 图象与直线y ax =有三个不同的公共点，数形结合即可得解.
【详解】
作出函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，，
的图象，关于x 方程()f x ax =有三个不相等的实数根，
即()f x 图象与直线y ax =有三个不同的公共点
由图可得：1[,1)2
a ∈
【点睛】
此题考查方程的根的问题，根据函数图象，数形结合求解，需要熟练掌握常见基本初等函数的图象和性质，准确作出函数图象求解. 三、解答题
21．（1）1-和4；（2）01a <<；（3）1152m
<. 【分析】
（1）当1a =，3b =-时，结合已知可得2()24f x x x x =--=，解方程可求；
（2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，结合二次方程的根的存在条件可求；
（3）方法一：问题转化为()2310x m x +-+=在(]
0,2上有两个不同解，再利用二次函数的图象列式可得．
方法二，当1a =，2b =时，转化为问题2()64f x x x mx =++=在(0,2]上有两个不同实数解，进行分离m ，结合对勾函数的性质可求．
【详解】
（1）当1,3a b ==-时，2()24f x x x =--
令()f x x =，可得224x x x --=即2340x x --=
解得4x =或1x =-
当1,3a b ==-时，求()f x 关于参数1的不动点为1-和4
（2）依题意得，b R ∀∈，关于x 的方程210ax bx b ++-=都有两个不等实数根
从而有21Δ4(1)0b a b =-->对b R ∀∈都成立
即关于b 的不等式2440b ab a -+>对b R ∀∈都成立
故有22Δ(4)160a a =--<
解得01a <<
（3）依题意，得方程231x x mx ++=在2(]0,x ∈上恒有两个不等实数解
法一：即2
(3)10x m x +-+=在2(]0,x ∈上恒有两个不等实数根(*)
令2()(3)1h x x m x =+-+，要使(*)成立 2(0)10(2)112011Δ(3)40523022h h m m m m =>⎧⎪=-⎪⎪⎨=-->⇒<⎪⎪-<<⎪⎩
法二：即13m x x =++在2(]0,x ∈上恒有两个不等实数根 令1()3F x x x
=++ 则直线y m =与函数()((0,2]y F x x =∈的图象有两个不同交点 由于函数1()3F x x x =+
+在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增 且11(1)5,(2)2F F ==
，结合函数()y F x =的图象可知1152
m <. 【点睛】
思路点睛：本题考查了二次函数的性质与图象，以及根据函数零点求参的问题；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意变形时让含有自变量的函数式子尽量简单一些．
22．（1）0.9或2.5；（2）当2R 调至1R r +时，消耗的电功率P 最大，最大电功率是2
144E R r
+. 【分析】
（1）代入数据，解方程可得答案；
（2）由已知得2
2
1212
()2()E P R r R R r R =++++，再利用基本不等式可得最值． 【详解】
（1）当 6.0=E V ， 1.0r =Ω，10.5R =Ω， 5.625P W =时，
22222222456()2068450(109)(25)01812
R R R R R R =⇒-+=⇒--=++， 解得290.910R ==，或25 2.52
R == 故2R 的值为0.9或2.5.
（2）由题意，120,0,0,0E r R R >>>>，于是
22222222
1122211212()()2()()2()E R E E P R R r r R R R R R r R r R R r R ===++++++++++
2
221112()2()44E E R r R r R r ==++++，当且仅当
2
122
()R r R R +=，即21R R r =+时，等号成立. 也就是说，当外电路的电阻等于内电阻时电源的输出功率最大；将电阻1R 与电源等效成等效电源考虑求解.
【点睛】
关键点点睛：解决函数模型的应用问题时，关键在于将生活中的数据转化到函数模型中的数据，注意数据所满足的实际的意义．
23．（1）函数f (x )在[0，1]上单调递增，证明见解析；（2）72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【分析】
（1）任取1201x x ≤<≤，计算()()12f x f x -并判断正负即可判断单调性；
（2）可得出f (m )∈31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，g (m 0)∈[5-2a ，5-a ]，由题得31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
⊆[5-2a ，5-a ]，即可建立不等式求出.
【详解】
（1）函数f (x )在[0，1]上单调递增，
证明如下：设1201x x ≤<≤，
则()()12f x f x -12121111
x x x x =+--++ ()()()21121211x x x x x x -=-+++()()()()
1212121211x x x x x x x x -++=++， 因为120x x -<，()()12110x x ++>，12120x x x x ++>，
所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，
所以函数f (x )在[0，1]上单调递增；
（2）由（1）知，当m ∈[0，1]时，f (m )∈31,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为0a >，()52g x ax a =+-在[0，1]上单调递增，
所以m 0∈[0，1]时，g (m 0)∈[5-2a ，5-a ]. 依题意，只需31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
⊆[5-2a ，5-a ]， 所以521352a a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩
解得2≤a ≤72， 即实数a 的取值范围为72,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
关键点睛：本题考查与函数相关的方程的有解性问题，解题的关键是求出()0g m 和()f m 的取值范围，由()f m 的范围是()0g m 范围的子集建立不等式求解.
24．（1）不能获利，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损，（2）400
【分析】
（1）先确定该项目获得的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；
（2）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论
【详解】
解：（1）当[200,300]x ∈时，该项目获利为S ，则 2211200(20080000)(400)22
S x x x x =--+=--， 所以当[200,300]x ∈时，0S <，因此该项目不会获利，
当300x =时，S 取得最大值5000-，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使项目不亏损，
（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为
21805040,[120,144)3180000200,[144,500)2
x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩， 当[120,144)x ∈时，
21(120)2403y x x =-+， 所以当120x =时，y x
取得最小值240； 当[144,500)x ∈
时，1800002002002002y x x x =+-≥=，当且仅当1800002x x =，即400x =时，y x
取得最小值200， 因为240200>，
所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
【点睛】
关键点点睛：此题考查基本不等式在最值问题中的应用，函数模型的选择与应用，考查函数模型的构建，考查函数的最值，解题的关键是根据题意确定函数关系式，属于中档题 25．（1）是“精彩区间”，理由见解析；（2）不是“精彩函数”，理由见解析；（3）1744
m -
<≤- 【分析】 （1）先判断函数3y x =是否满足“精彩函数”的条件，从而可判断0,1是否为函数3y x
=的“精彩区间”；
（2）判断函数()()40f x x x x
=+>是否满足“精彩函数”的条件即可； （3）由()g x 是“精彩函数”，可知()g x x =至少存在两个不等的实数解，可转化为()222140x m x m -++-=有两个不等的实数根，两实根都不小于4-和m ，结合二次函数的性质，求出m 的取值范围.
【详解】
（1）由题意，3y x =是R 上的增函数，
易知3y x =在0,1上的值域为0,1，
所以函数3y x =是“精彩区间”，0,1是该函数的“精彩区间”.
（2）不是精彩函数，证明如下：
因为函数()()40f x x x x =+
>在区间()0,2上单调递减，在区间2,上单调递增， 所以函数()4f x x x =+在定义域0,上不单调，不满足“精彩函数”的第一个条件，
所以函数()()40f x x x x
=+>不是“精彩函数”. （3）由题意，函数(
)g x m =
的定义域为[)4,-+∞，且()g x 在定义域上为单调递增函数，
因为函数(
)g x m 是“精彩函数”
m x =至少存在两个不等
的实数解， 方程整理得()2
22140x m x m -++-=， 所以该方程有两个不等的实数根，设为12,x x ，不妨设21x x >，则214x x >≥-，21 x x m >≥，
令()()22
214h x x m x m =-++-， 由题意得，()()
()()()()22222214402140416421402142m m h m m m m m h m m m ⎧∆=+-->⎪⎪=-++-≥⎪⎨-=+++-≥⎪⎪+>-⎪⎩，
即()2417040402142
m m m m +>⎧⎪+≤⎪⎪⎨+≥⎪+⎪>-⎪⎩，解得1744m -<≤-. 所以实数m 的取值范围是1744
m -
<≤-. 【点睛】
本题考查新定义，考查函数与方程的综合应用，考查了函数基本性质的运用，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 26．（1）21 3.51(06)3110.5(6)x x x y x
x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩；（2）生产525台；（3）年产量在150台
到1500台时，企业至少盈利3.5万元.
【分析】
（1）用收入减去可变成本0.5x 万元和固定成本1万元即得利润函数，注意6x >时，只能卖了同6百台；
（2）分段求出最大值，比较后可得；
（3）解不等式 3.5y ≥可得．
【详解】
解：（1）设利润为y 万元.
生产这种机器的固定成本为1万元，每生产1百台，需另增加投入0.5万元， ∴当产量为x 百台时，成本为10.5x +，
市场对此产品的年需求量为6百台，
∴当6x ≤时，产品能售出x 百台，6x >时，只能售出6百台，
故利润函数为()10.5(06)(6)10.5(6)
R x x x y R x x --≤≤⎧=⎨-->⎩， 整理可得21 3.51(06)3110.5(6)x x x y x
x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩. （2）当06x ≤≤时，21 3.513
y x x =-+-， 即 3.5 5.25123x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
时，max 8.1875y =万元； 当6x >时，110.5y x =-，利润在110.568-⨯=万元以下，
故生产525台时，企业所得利润最大，最大利润为8.1875万元.
（3）要使企业至少盈利3.5万元，则 3.5y ≥，
当06x ≤≤时，21 3.51 3.53
y x x =-+-≥， 即210.513.50x x -+≥，解得1.59x ≤≤，故1.56x ≤≤；
当6x >时，110.5 3.5y x =-≥，解得15x ≤，即615x <≤，
综上可知1.515x ≤≤，即年产量在150台到1500台时，企业至少盈利3.5万元.
【点睛】
本题考查函数的应用，根据已知条件，由利润＝收入－成本得利润函数，在此基础上可求解其他问题．本题属于基础题．。