2014届高考理科数学第一轮复习测试题3

A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案 D2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是()．A．2k＋2 B．2k＋3C．2k＋1 D．(2k＋2)＋(2k＋3)解析当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边是共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．答案 D3．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()．A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．答案 D4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k ＋1时的情况，只需展开()．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可． 答案 A5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )． A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22[来源:学.科.网]D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2， 当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2. 答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)27．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不等式是________．解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边＝2.答案 1＋12＋13＜28．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n (n ∈N *)行，在这些数中非1的数字之和是________________．1 1 1 12 11 3 3 1 1 4 6 4 1…解析 所有数字之和S n ＝20＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，除掉1的和2n －1－(2n －1)＝2n －2n .答案 2n －2n 三、解答题(共23分)9．(11分)试证：当n ∈N *时，f (n )＝32n ＋2－8n －9能被64整除．证明 法一 (1)当n ＝1时，f (1)＝64，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除．当n ＝k ＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋9·8k ＋9·9－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)， 即f (k ＋1)＝9f (k )＋64(k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题也成立． 根据(1)、(2)可知，对于任意n ∈N *，命题都成立． 法二 (1)当n ＝1时f (1)＝64 命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除．由归纳假设，设32k ＋2－8k －9＝64m (m 为大于1的自然数)，将32k ＋2＝64m ＋8k ＋9代入到f (k ＋1)中得，f (k ＋1)＝9(64m ＋8k ＋9)－8(k ＋1)－9＝64(9m ＋k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题也成立． 根据(1)(2)知，对于任意n ∈N *，命题都成立．10．(12分)已知数列{a n }中，a 1＝a (a ＞2)，对一切n ∈N *，a n ＞0，a n ＋1＝a 2n 2(a n －1).求证：a n ＞2且a n ＋1＜a n .证明 法一 ∵a n ＋1＝a 2n2(a n －1)＞0，∴a n ＞1，∴a n －2＝a 2n －12(a n －1－1)－2＝(a n －1－2)22(a n －1－1)≥0，∴a n ≥2.若存在a k ＝2，则a k －1＝2，[来源:学。

科。

网] 由此可推出a k －2＝2，…，a 1＝2， 与a 1＝a ＞2矛盾，故a n ＞2. ∵a n ＋1－a n ＝a n (2－a n )2(a n －1)＜0，∴a n ＋1＜a n .法二 (用数学归纳法证明a n ＞2)①当n ＝1时，a 1＝a ＞2，故命题a n ＞2成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立，即a k ＞2，那么，a k ＋1－2＝a 2k2(a k －1)－2＝(a k －2)22(a k －1)＞0.所以a k ＋1＞2，即n ＝k ＋1时命题也成立． 综上所述，命题a n ＞2对一切正整数成立． a n ＋1＜a n 的证明同上．B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )．A ．7B ．8C ．9D ．10[来源:360题库网]解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.答案 B2．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上( )． A.12k ＋2B ．－12k ＋2C.12k ＋1－12k ＋2D.12k ＋1＋12k ＋2解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ，当n ＝k ＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2.答案 C二、填空题(每小题4分，共8分)3．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3，[来源:360题库网ZXXK] 即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4，即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163. ∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).答案 a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)4．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________． 解析 本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …；一个整数n 所拥有数对为(n －1)对．设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴(n －1)n2＝60，∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60个数对为(5,7)． 答案 (5,7)三、解答题(共22分)5．(10分)(2010·全国)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n .(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围．解 (1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1，得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. (ⅰ)当n ＝1时，a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；(ⅱ)设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，a k ＜a k ＋1，则当n ＝k ＋1时， a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k ＝a k ＋1.故由(ⅰ)(ⅱ)知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. 当c ＞2时，因为c ＝a n ＋1＋1a n ＞a n ＋1a n ，所以a 2n －ca n ＋1＜0有解，所以c －c 2－42＜a n ＜c ＋c 2－42，令α＝c ＋c 2－42，当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3.当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )＜13(α－a n )＜132(α－a n －1)＜ (1)3n (α－1)． 当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3，与已知矛盾． 因此c ＞103不符合要求．所以c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤2，103. 6．(12分)(2012·西安模拟)是否存在常数a 、b 、c 使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立，若存在，求出a 、b 、c 并证明；若不存在，试说明理由．解 假设存在a 、b 、c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立．当n ＝1时，a (b ＋c )＝1； 当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6； 当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a (b ＋c )＝1，a (4b ＋c )＝3，3a (9b ＋c )＝19.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝2，c ＝1.证明如下：①当n ＝1时，由以上知存在常数a ，b ，c 使等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)；当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12 ＝13k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2 ＝13k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3) ＝13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]． 即n ＝k ＋1时，等式成立．因此存在a ＝13，b ＝2，c ＝1使等式对一切n ∈N *都成立．。