2021年高中数学第一章1.5.2平行关系的性质学案北师大版必修2

5．2平行关系的性质
知识点一直线与平面平行的性质定理
[填一填]
[答一答]
1．若直线a∥平面α，如何在平面α内找一条直线与a平行？
提示：根据直线与平面平行的性质定理，只需过a作一平面与平面α相交，则交线与a 平行．
2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？它们与α的交线相互之间有什么关系？
提示：过a与平面α相交的平面有无数个，它们与α的交线互相平行．
3．一条直线平行于一个平面，则该直线平行于这个平面内的任意一条直线吗？
提示：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但不能与平面内的任意一条直线平行．这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．知识点二平面与平面平行的性质
[填一填]
[答一答]
4．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？
提示：一定平行于另一个平面．因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内
的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行．
5．如果α∥β，aα，那么如何在平面β内作出与a平行的直线？
提示：利用面面平行的性质定理，可在平面β内任取一点A，然后作出A和直线a所确
定的平面γ，确定平面β和γ的交线b，则a∥b.
6．若α∥β，aα，bβ，则a与b一定平行吗？为什么？
提示：不一定，直线a，b可能平行，也可能异面．
1．解读直线与平面平行的性质定理
(1)作用：证明直线与直线平行．可简述为“若线面平行，则线线平行”．
(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①直线a和平面α平行，即a
∥α；②平面α和β相交，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即aβ.以上三个条件缺一不可．
2．对线面平行性质定理的两种解释
(1)一条直线b与一个平面α平行，则过b的任何平面与α的交线都与直线b平行，即b
可以和α内无数条直线平行．
(2)一条直线b与一个平面α平行，则b不能与α内的所有直线平行，即在平面α内，除
了与b平行的直线外，其余每条直线与b都是异面直线．
3．对面面平行性质定理的理解
(1)面面平行的性质定理的条件有三个：
①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.
三个条件缺一不可．
(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一
个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．
(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．
4．线与面、面与面平行性质定理的综合应用
(1)线与面、面与面平行的性质定理的主要作用是证明线线平行问题．而在空间平行的判定与证明时，应注意线与线、线与面、面与面平行关系的相互转化，这也是对基础知识的掌握程度和综合能力的提升体现，应灵活把握．
(2)线线、线面、面面平行关系的转化过程可总结如下：
类型一线面平行的性质定理
【例1】求证：若平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面．
【思路探究】要证线面平行，只需在已知平面内找到一条与这条直线平行的直线．可通过线面平行的性质去找与这条直线平行的直线．
【证明】已知：如图所示，a∥b，a∥α，bα.求证：b∥α.
证明：如图所示，过a作平面β，交平面α于直线c.
∵a∥α，aβ，α∩β＝c，∴a∥c.
又∵a∥b，∴b∥c.又∵cα，bα，∴b∥α.
规律方法此命题可以当作直线与平面平行的性质使用，也可当作证明直线和平面平行的判定定理使用，在做解答题和证明题时，若使用它，则需写出此命题的证明过程，做选择题、填空题时可直接使用．
如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在
平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM MA的值．
解：如右图，连接BD交AC于点O1，连接OM，因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平
面MEF＝OM，
PM OC
所以PC∥OM，所以＝，
PA AC
在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，
OC 1 PM OC 1 所以
＝.又AO1＝CO1，所以＝＝，
O1C 2 PA AC 4
故PM MA＝1 3.
类型二面面平行的性质
【例2】如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
【解】因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
PA PB 6 因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝
AC BD9
8－BD24
.所以BD＝.
BD 5
规律方法应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
Earlybird
晨鸟教育
已知平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长．
解：(1)若AB∩CD＝S位于平面α，β中间[如下图(1)]，连接AC，BD.
∵AB∩CD＝S，∴AB，CD确定平面γ. ∵γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且
α∥β，∴AC∥BD，∴△ACS∽△BDS，
CS AS CS8
∴＝，即＝，解得CS＝16.
DS BS34－CS9
(2)当AB∩CD＝S位于平面α，β同侧[如上图(2)]，
∵AB∩CD＝S，∴AB，CD确定平面γ.
∵γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，
∴AC∥BD，∴△SCA∽△SDB，
SA SC8 SC
∴＝，即＝，解得SC＝272.
SB SD9 SC＋34
综上可知，CS的长为16 或272.
类型三平行的相互转化
【例3】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，侧面对角线AB1，BC1 上分别有点
E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
Earlybird
【思路探究】要证EF∥平面ABCD，需在平面ABCD内寻找一条直线与EF平行，而平面ABCD内现有的直线与EF均不平行，所以要设法将需要的直线作出来．【证明】证法一：如图1 所示，分别过E，F作EM∥BB1，FN∥CC1 分别交AB，BC 于点M，N，连接MN.
∵BB
1∥CC
1
，∴EM∥FN.
∵B
1
E＝C1F，AB1＝BC1，∴AE＝BF.
AE EM
由EM∥BB1 得＝，
AB1 BB1
BF FN
由FN∥CC1，得＝，
BC1 CC1
∴EM＝FN，∴四边形EFNM是平行四边形，∴EF∥MN.
又∵MN平面ABCD，EF平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
B1E B1G 证法二：如图1 所示．过E作EG∥AB交BB1 于G，连接GF，则有＝.又∵B1E＝
B1A B1B
C1F B1G
C1F，B1A＝C1B，∴＝，∴FG∥B1C1∥BC.又∵EG∩FG＝G，AB∩CB＝B，∴平面EFG
C1B B1B
∥平面ABCD.
又∵EF平面EGF，∴EF∥平面ABCD.
证法三：如图2 所示．在平面BCC1B1 内延长B1F交BC(或其延长线)于点P，连接AP，∵C1F B1F
BP∥B1C1，∴＝.
FB FP
又∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，
C1F B1E B1E B1F
∴＝，∴＝.
FB EA EA FP
∴在△APB
中，EF∥AP.
1
又∵EF平面ABCD，AP平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
规律方法此题证明的关键是根据直线与平面平行的判定定理寻找平面ABCD内与直线EF平行的直线，本例的证明过程反映出解题中作辅助平面的重要性．
如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，
且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.
∴MP∥NQ，∵AM＝FN，
2 2
∴MP＝MC＝BN＝NQ.
2 2
∴MP綊NQ，则四边形MNQP为平行四边形，∴MN∥PQ.
∵MN平面BCE，PQ平面BCE，∴MN∥平面BCE.
AN 证法二：如图所示，连接AN并延长，交BE的延长线于G，连接CG，∵AF∥BG，∴
NG FN AM
＝＝，∴MN∥CG，∵MN平面BCE，CG平面BCE，∴MN∥平面BCE.
NB MC
类型四平行关系的综合应用
【例4】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM
＝DN.
求证：MN∥平面AA1B1B.
【思路探究】作过MN与平面ABB1A1平行的一个平面→
证明该平面与平面ABB1A1平行→得结论
【证明】如图，作MP∥BB1，交BC于点P，连接NP，
CM CP
∵BD＝B
C，DN＝CM，
1
∴B
M＝BN，
1
CM DN CP DN
∴＝，∴＝，∴NP∥CD∥AB.
MB1 NB PB NB
∴平面MNP∥平面AA
B1B.∴MN∥平面AA1B1B.
1
规律方法直线和平面的平行问题，常常转化为直线和直线的平行问题，而直线和直线的平行问题也可以转化为直线与平面的平行问题，要作出命题的正确转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理．
如图，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的
高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证
明．
解：SG∥平面DEF.
证明：证法一：如图，连接CG交DE于点H，连接FH.∵DE是△ABC的中位线，∴DE
∥AB.
在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点．∵FH是△SCG的中
位线，∴FH∥SG.
又SG平面DEF，FH平面DEF，∴SG∥平面DEF.
证法二：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.
∵EF平面SAB，SB平面SAB，
∴EF∥平面SAB.同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，
∴平面SAB∥平面DEF，又∵SG平面SAB，
∴SG∥平面DEF.
类型五探索性问题
Earlybird
【例5】如右图所示，要在呈空间四边形形状的撑架上安装一块矩形太阳能吸光板，矩形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边上．已知AC＝a，BD＝b，则E，F，G，
H在什么位置时，吸光板的吸光量最大？
【思路探究】本题是空间线、面平行关系与实际问题相结合的条件开放性探索题，解题的关键是理解好题意，将线、面平行关系转化为二次函数模型求解．
【解】使吸光板的吸光量最大，即要使得矩形的面积最大．设EH＝x，EF＝y，
∵EH∥FG，EH平面ABD，F G⃘平面ABD，
∴FG∥平面ABD.
又FG平面BCD，平面BCD∩平面ABD＝BD，
∴FG∥BD. 同理可证EF∥HG∥AC.
AE EH x BE EF y
则＝＝，＝＝，
AB BD b BA AC a
AE BE x y
两式相加得＋＝＋＝1，①
AB AB b a
矩形EFGH的面积S＝xy，②
a
由①②得S＝－x2＋ax(0<x<b)，
b
a b ab a
当x＝－＝时，S取最大值，为，此时y＝.
2a 2 4 2
－
b
故当E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点时，吸光板的吸光量最大．
规律方法解答这类问题的思路是：把结论看成已知进行逆推，探索结论成立所需的条件．
如右图，在四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝
1
90°，PA＝BC＝AD，在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定点E
2
的位置，若不存在，请说明理由．
Earlybird
晨鸟教育
解：在棱PD上存在一点E，使CE∥平面PAB.
如图，过点C作CF∥AB交AD于点F，过点F作EF∥AP交PD于点E，连接CE.
∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF＝F，PA∩AB＝A，∴平面EFC∥平面PAB.
又∵CE平面EFC，∴CE∥平面PAB.
1
∵BC＝AD，AF＝BC，∴F为AD的中点，
2
∴E为PD的中点．故棱PD上存在点E，且E为PD的中点，使CE∥平面PAB.
——易错警示系列——
证明平行关系因推理不严密致误
【例6】如右图所示，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱AA1，CC1 上的点，且AE＝C1F.求证：四边形EBFD1 是平行四边形．
【错解】因为平面A1ADD1∥平面B1BCC1，D1E＝平面A1ADD1∩平面BFD1E，BF＝平面B1BCC1∩平面BFD1E，所以D1E∥FB.
同理可得D1F∥EB，
所以四边形EBFD1 是平行四边形．
【错因分析】错解中盲目地认为E，B，F，D1 四点共面，由已知条件并不能说明这四点共面，同时条件AE＝C1F也没有用到．
【正解】在棱BB1 上取一点G，使得B1G＝C1F＝AE，连接A1G，GF，则GF綊B1C1
綊A1D1，所以四边形GFD1A1 为平行四边形，所以A1G綊D1F.
因为A1E＝AA1－AE，BG＝B1B－B1G，所以A1E綊BG，
Earlybird
所以四边形EBGA1 为平行四边形，
所以A1G綊EB，所以D1F綊EB，
所以四边形EBFD1 为平行四边形．
如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD.若AF∥DE，DE＝3AF，点M在线段BD 1
上，且BM＝BD，求证：AM∥平面BEF.
3
证明：延长EF、DA交于点G，如图所示．
GA AF 1
因为AF∥DE，DE＝3AF，所以＝＝，
GD DE 3
1 BM 1 BM GA 1
因为BM＝BD，所以＝，所以＝＝，
3 BD 3 BD GD 3
所以AM∥GB，
又AM平面BEF，GB平面BEF，所以AM∥平面BEF.
一、选择题
1．如果直线a∥平面α，bα，那么a与b的关系是(B)
A．相交B．不相交C．平行D．异面
解析：a与b平行或异面，但不能相交．
2．若直线a∥平面α，直线b⊥直线a，则直线b与平面α的位置关系是(D)
Earlybird
A．b∥αB．bα
C．b与α相交D．以上均有可能
解析：b与α的位置关系是平行、相交或在α内．
3．若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，则(B)
A．平面α∥平面ABC
B．△ABC中至少有一边平行于平面α
C．△ABC中至多有两边平行于平面α
D．△ABC中只可能有一边与平面α相交
解析：若三点在平面α的同侧，则平面α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC中至少有一边平行于平面α.应选B.
4．平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的(C) A．一个侧面平行B．底面平行
C．仅一条棱平行D．某两条相对的棱都平行
解析：当平面α∥某一平面时，截面为三角形，故A、B 错．当平面α∥SA时，如右图截面是四边形DEFG，又SA平面SAB，平面SAB∩α＝DG，∴SA∥DG，
同理SA∥EF.∴DG∥EF.
同理当α∥BC时，GF∥DE.
∵截面是梯形，则四边形DEFG中仅有一组对边平行，故α仅与一条棱平行．故选C.
二、填空题
5.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内
的平行投影A1B1C1D1 是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是平行四边形．
解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1C1C∩平面ABCD＝BC，平面BB1C1C∩
平面A1B1C1D1＝B1C1，
∴BC∥B
C1.
1
同理AB∥A1B1，AD∥A1D1，CD∥C1D1，
Earlybird
∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．
三、解答题
6.已知如右图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，M是PC
的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接MO.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴MO∥PA.
又MO平面BDM，PA平面BDM，∴PA∥平面BDM.
又∵平面BDM∩平面PAG＝GH，PA平面PAG，
∴PA∥GH.
Earlybird。