圆周运动习题课2

1.用细绳拴着质量为 m 的物体，在竖直平 面内做半径为 R 的圆周运动，则下列说法正 ) 确的是( A．小球过最高点时，绳子张力可以为零 B．小球过最高点时的最小速度为 0 C．小球刚好过最高点时的速度是 gR D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力 可以与球所受重力方向相反
解析：选 AC.设球过最高点的速度为 v. mv2 F 合＝mg＋FT，又 Fn＝ R mv2 则 mg＋FT＝ R 当 FT＝0 时， v＝ gR， A 选项正确． 故
3 C
对B：
T2 T3 m rB
2
T2
T1
T3
对A：
T1 T2 m rA
2
T2
T3
rA∶rB∶rC=1∶2∶3
TA∶TB∶TC=6∶5∶3
3.如图,在光滑的水平面上钉相距40cm的两个钉子A和Ｂ,长为1m的 绳子一端系着质量为0.4kg的小球,另一端固定在钉子Ａ上,开始时, 小球和钉子Ａ、Ｂ在同一条直线上,小球始终以2m/s的速率在水平 面上做匀速圆周运动,若细绳能承受最大的拉力是4Ｎ,那么,从开始 到细绳断开所经历的时间是
当 v< gR时， T<0， F 而绳只能产生拉力， 不能产生与重力方向相反的支持力，故 B、D 选项错误． 当 v> gR时，FT>0，球能沿圆弧通过最 高点． 可见， v≥ gR是球能沿圆弧过最高点的 条件．
二.拱形桥问题的计算 例2.如图所示,质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先 后驶过凹形桥面和凸形桥面,两桥面的圆弧半径均为20m. 如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N,则:
四. 车辆转弯问题的分析方法
例1.火车以半径r＝900 m转弯,火车质量为8×105 kg, 轨道宽为l＝1.4 m,外轨比内轨高h＝14 cm,为了使铁轨 不受轮缘的挤压,火车的速度应为多大?(g取10 m/s2) 解析:解答本题应该把握以下三点:(1)火车转弯的向心力由 其受到的重力和支持力的合力提供.(2)火车的轨道平面是 水平的.(3)当α很小时,可以近似认为sinα＝tanα.
供的向心力不足以维持汽车做圆周运动的向心力，
(1)汽车允许的最大速率是多少? (2)若以所求速度行驶,汽车对桥面 的最小压力是多少?(g取10 m/s2)
解析:牛顿第二定律得： v2 FN－mg＝m r ，代入数据解得 v＝10 m/s. (2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得： mv2 mg－FN′＝ r ，代入数据得 FN′＝105 N. 由牛顿第三定律汽车对桥面的最小压力是 105 N.
三.竖直平面内的临界问题 例3. 一细杆与水桶相连,水桶中装有水,水桶与细杆一起在 竖直平面内做圆周运动,如图所示,水的质量m＝0.5 kg,水的 重心到转轴的距离l＝60 cm. (1)若在最高点水不流出来,求桶的最小速 率．(2)若在最高点的水桶速率v＝3 m/s, 求水对桶底的压力.(g取9.8 m/s2) v2 m 0 最高点水恰好不流出的条件是 mg＝ l 则所求的最小速率为： v0＝ gl＝2.42 m/s.
v2 tanα＝ ≈0.136 rg 由于α很小，可以近似认为sinα＝tanα 所以内外轨高度差 h＝dsinα＝1.435×0.弯道圆半径R＝100 m,汽车轮 胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.23.若路面是水平的,问汽车 转弯时不发生径向滑动(离心现象)所许可的最大速率vm为 多大?当超过vm时,将会出现什么现象?(g＝9.8 m/s2)
由于 v＝3 m/s>2.42 m/s 桶底对水有一向下的压力 v2 m FN＋mg＝ 根据牛顿第三定律,水对桶底的压 l 力大小为 2.6 N,方向竖直向上． 2 mv ∴FN＝ l －mg＝2.6 N
1.如图所示,质量分别为2m、m、m的A、B、C放在水平 的圆盘上,随圆盘在水平面内做圆周运动,转动半径分别为 r、r、2r,当转速逐渐增大时,问哪一个物体首先开始滑动. 物体做匀速圆周运动时
N
f静 m r
2
f静
A B
C
f静 f m
当物体刚好滑动时
2
mg
f m mg
mr mg

g
r
∴物体能否滑动与m无关,r大的易滑动,故C物体首先开始 滑动.
2.如图已知:A、B、C三球质量相等,A、B将OC三等份求 :OA、AB、BC三段绳所受拉力之比. 隔离法 解题要点:三球ω相等 对C： T m 2 r
一. 竖直面内圆周运动的临界问题 1.轻绳模型 如图所示,细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球,在最高 点时的临界状态为只受重力，则mg=mv2/r (1)v＝ gr时，拉力或压力为零． (2)v> gr时，物体受向下的拉力或压力． (3)v< gr时，物体不能达到最高点． 即绳类的临界速度为 v 临＝ gr.
解析：在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦 力提供，设汽车质量为 m，最大静摩擦力可近似 v2 m 看做与滑动摩擦力相等， Ffm＝μmg， 则 则有 m R ＝μmg，vm＝ μgR，由 g＝9.8 m/s2，可得 vm≈15 m/s＝54 km/h.当汽车的速度超过 54 km/h 时，需 v2 要的向心力 m 大于最大静摩擦力，也就是说提 r 汽车将做离心运动，严重的将会出现翻车事故．
v2 F＝mgtanα＝m r ① 由于 α 很小，可以近似认为 h tanα＝sinα＝ l ② 解①②式得：v＝30 m/s.
转弯中,重力和支持力的合力沿水平方向,别误认为沿“斜面”向下.
例2.铁路转弯处的圆弧半径是300 m,轨距是1435 mm,规定 火车通过这里的速度是72 km/h,内外轨的高度差该是多大, 才能使铁轨不受轮缘的挤压. 解析：若火车在转弯时不受轨道挤压,火车所受的重力和 受力分析如图所示，作平行四边形，根据牛顿 轨道对火车的支持力的合力提供向心力,同时还应该注意 第二定律有 火车转弯平面是水平面 mv2 F＝mgtanα＝ r
2．轻杆模型 如图所示,在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的 小球,由于杆和管能对小球产生向上的支持力,所以小球能 在竖直平面内做半径为R的圆周运动的条件是在最高点的 速度大于或等于零,小球的受力情况为： (1)v＝0 时,小球受向上的支持力 FN＝mg. (2)0<v< gr 时,小球受向上的支持力 0<FN<mg. (3)v＝ gr时,小球除受重力之外不受其他力 (4)v> gr时,小球受向下的拉力或压力, 并且随速度的增大而增大． 即杆类的临界速度为 v 临＝0. 注:对竖直平面内的圆周运动 (1)要明确运动模型,即绳或杆 (2)由不同模型的临界条件分析 受力,找到向心力的来源．