2020年高考数学(文)一轮复习专题6.5 数列(单元测试)(解析版)

单元测试
【满分：100分时间：90分钟】
一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)
1．（湖北省武汉二中2019届高三模拟）数列{}n a 中，121n n a a +=+，11a =，则6a =（）
A ．32
B ．62
C ．63
D ．64
【答案】C
【解析】数列{}n a 中，121n n a a +=+，故()1121n n a a ++=+，因为11a =，故1120a +=≠，故10n a +≠，
所以
11
21
n n a a ++=+，所以{}1n a +为等比数列，公比为2，首项为2所以12n n a +=即21n
n a =-，故663a =，故选C 。

2．（四川省教考联盟2019届高三模拟）在数列{}n a 中，已知11a =，且对于任意的*,m n N ∈，都有
m n m n a a a mn +=++，则数列{}n a 的通项公式为（
）
A ．n a n =
B ．1
n a n =+C ．(1)
2
n n n a -=
D ．(1)2
n n n a +=
【答案】D
【解析】令m=1,得11213211,1,2,3,,n n n n n n a a n a a n a a a a a a n ++-=++∴-=+∴-=-=-= ，所以(1)
1234,12342
n n n n a n a n +-=++++∴=+++++= .故选D 。

3．（四川省广元市2019届高三模拟）数列{}n a 中，2a 3=，5a 1=，且数列n 1a 1⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
是等差数列，
则8a 等于（
）
A ．
1
3B ．
34
C ．
23
D ．1
【答案】A 【解析】
数列{}n a 中，2a 3=，5a 1=，且数列n 1a 1⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
是等差数列，
∴数列n 1a 1⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差1111131d 5212-
++==-，
11111a 131126=-=++，81113
7a 16124
∴
=+⨯=+，解得81
a 3
=．故选A 。

4．（安徽省江淮十校2019届高三第三次联考）已知数列{}n a 满足n 12n a a n +-=，120a =，则n a
n
的最小值为（
）
A
．B
．1
-C ．8
D ．9
【答案】C
【解析】由12n n a a n +-=知：2121a a -=⨯，3222a a -=⨯，…，()121n n a a n --=-，相加得：
21n a a n n -=-，20
1n a n n n
∴
=+-，又*n N ∈，所以54n 4n 545n n a a a a n n ≤≥=时单调递减，时单调递增，因为，所以n a n 最小值为54845a a
==，故选C 。

.
5．（安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
323n n S a n =-，则2018a =（
）
A ．2018
2
1-B ．2018
3
6
-C ．2018
1722⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
D ．2018
11033
⎛⎫-
⎪
⎝⎭
【答案】A
【解析】由题意可得：()11323,3231n n n n S a n S a n ++=-=-+，
两式作差可得：113223n n n a a a ++=--，即123n n a a +=--，()1121n n a a ++=-+，
结合1113233S a a =-=可得：113,12a a =-+=-，则数列{}1n a +是首项为2-，公比为2-的等比数列，据此有：()()2017
201820181222a +=-⨯-=，2018201821a ∴=-.
本题选A 。

6．
（四川省峨眉山市2019届高三模拟）在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于（
）
A ．66
B ．132
C ．-66
D ．-132
【答案】D 【解析】
因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=-，又396242a a a +=-=，所以612a =-，
6
1111111211()13222
a a a S ⨯⨯+=
==-，
故选D.
7．（山东潍坊一中2019届高三模拟）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，34222S a S =+，则8a =（
）
A ．8
B ．9
C ．16
D ．15
【答案】D
【解析】由题意，因为11a =，34222S a S =+，即11132
2(3)2(3)22
a d a d a d ⨯⨯+
=+++，解得2d =，所以81717215a a d =+=+⨯=，故选D ．
8．（河北衡水中学2019届高三调研）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S
，满足1n a -=，则
516810024246810011111(1)11111
a a a a a S S S S S +++++-+-++-=----- （）
A ．
100
101
B ．
102101
C ．
200201
D ．
202201
【答案】A
【解析】当1n =
时，11a -=，解得11a =；当2n ≥时，()()
2
2
114141n n
n n S a S a --⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，两式相减可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，221122n n n n a a a a --+=-，可得12n n a a --=，所以
()12121n a n n =+-=-，()2
214
n
n
a S n +==.
21211
1111
n n a n S n n n +==+---+，所以6824246811
11...1111a a a a S S S S ++++-+-+----()
51
10010011111111
11001...113355799101101a S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+++--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.故选A 。

9．（黑龙江省鸡西一中2019届调研）在等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620x x ++=的两个根，
则216
9
a a a 的值为（
）
A
．
B
．C
D
．
或【答案】D
【解析】等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2
620x x ++=的两个根
1622
a a ∴⋅=216922
a a a ⋅==
∴9a ∴=故选D 。

10．（山东省滨州市2019
届高三第二次模拟）在各项均为正数的等比数列
中，若
，
，则
（）
A.2
B.4
C.16
D.32
【答案】B
【解析】由题意结合等比数列的通项公式和等比数列的性质有：
，解得：
，故.
故选B 。

11．（广东省深圳中学2019届高三模拟）已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为-2，则（
）
A ．14
n n a a b b --=B ．
14
n n a a b b -=C ．14n n a a b b --=-D ．
1
4
n n a a b b -=-【答案】B
【解析】∵等差数列{a n }的公差为2，数列{b n }是公比为﹣2的等比数列，∴1
1(2)n n b b -=⋅-，
∴
1111
112
1111(2)(2)(2)(2)4(2)(2)
n n n n n n n n a a a a a a a a b b b b ---------⋅--===-=-=⋅--．故选B 。

12．（贵州省贵阳市2019届高三模拟）等比数列{a n }的前n 项和S n =a•2n +1（n ∈N*），其中a 是常数，则a=（
）
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】n=1时，a 1=S 1=2a+1．
n≥2时，a n =S n -S n-1=a•2n +1-（a•2n-1+1），化为：a n =a•2n-1，对于上式n=1时也成立，∴2a+1=a ，解得a=-1．故选B 。

二、填空题(本大题共3小题，共12分)
13．
（山西省晋城市2019届高三第三次模拟）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =+-，则数列{}n a 的通项公式为n a =______.
【答案】322n
n a ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
【解析】当1n =时，11131S a a ==-，解得11
2
a =；当2n ≥时，323n n S a n =+-，11325n n S a n --=+-，两式相减可得，1332n n n a a a -=-+，故1312n n a a -=-，设()13
2
n n a a λλ-+=+，
故2λ
=-，即()13222n n a a --=
-，故1
2322n n a a --=-.故数列{}2n a -是以32-为首项，3
2为公比的等比数列，故1
33222n n a -⎛⎫
-=-⋅ ⎪
⎝⎭，故322n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.14．（2019年湖北省武汉市高三模拟）等差数列{}n a 中，11a =，921a =，则3a 与7a 等差中项的值为_____
【答案】11
【解析】根据题意，等差数列{}n a 中，11a =，921a =，则有193722a a a a +=+=，则3a 与7a 等差中项为
()371
112
a a +=；15．
（江苏省南通市2019届高三模拟）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则
63
1
S S +
取得最小值时，9S 的值为_______．
【答案】
3
【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)
2111a q a q a q q q q
---=+---，
化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，
化简得631S S +＝613
1(1)11(1)a q q
q a q --+--
＝11311a q q a -+≥-，当11311a q q a -=-
，即1a =时，63
1S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q -==
-9(1)1q q --
＝
3
三、解答题(本大题共4小题，共40分)
16．
（10分）（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）已知各项均为正整数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1，n≥2，n ∈N *（其中k ，t 为常数）．
（1）若k ＝
12，t ＝1
4
，数列{a n }是等差数列，求a 1的值；（2）若数列{a n }是等比数列，求证：k ＜t ．
【答案】（1）a 1＝，（2）见解析【解析】
（1）∵k ＝12，t ＝14
，∴2
111124n n n S a a -+=-（n≥2），设等差数列{a n }的公差为d ，
令n ＝2，则212211a a a 124+=-，令n ＝3，则2
123311124a a a a ++=-，
两式相减可得：()()()23323211
24
a a a a a a +=+-，∵a n ＞0，∴a 3﹣a 2＝2＝d ．
由2
12211124
a a a +
=-，且d ＝2，化为2112a a -﹣4＝0，a 1＞0．
解得a 1＝．
（2）∵S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1①，n≥2，n ∈N *，所以S n +ka n+1＝2
n 1ta +﹣1②，②-①得a n +ka n+1﹣ka n ＝2
n 1ta +﹣2
n ta ，∴a n ＝（a n+1﹣a n ）[t （a n+1+a n ）﹣k]，令公比为q ＞0，则a n+1＝a n q ，∴（q ﹣1）k+1＝ta n （q 2﹣1），∴1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]；∵对任意n≥2，n ∈N *，1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]成立；∴q≠1，∴a n 不是一个常数；∴t ＝0，∴S n ﹣1+ka n ＝﹣1，且{a n }是各项均为正整数的数列，∴k ＜0，故k ＜t ．
17．
（10分）（山东省潍坊市2019届高三模拟）已知数列{}n a 是以3为首项，(0)d d >为公差的等差
数列，且2a ，，4a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n
n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【答案】（1）21n a n =+；（2）12
222
n n S n n +=-+++
【解析】
（1）因为2a ，，4a 成等比数列，所以2445a a ⋅=，即()()11345a d a d ++=.
因为13a =，所以(3)(1)15d d ++=，即24120d d +-=，所以2d =或-6（舍去），所以21n a n =+.（2）由（1）知，(21)2n
n b n =+-，
所以12n n S b b b =+++ ()
35(21)242
n n =++++-+++ ()212321
212n n n -++=⋅-
-()1(2)22n n n +=+⋅--12222n n n +=-+++.
18．（10分）（天津市南开区2019届高三模拟）数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且
52723147
a a S a ==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列(){}
n n n b a b +的前n 项和n
T 【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）10
(2333
4)2n n
n T n =-⋅--.
【解析】
（Ⅰ）.设等差数列{}n a 的公差是d.由523a a =得12d a =，...........①
由72147S a =+得11d a =+，...........②由①②解得112a d ==，.
所以数列{}n a 的通项公式为21
n a n =-
（II ）.由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，得1
2n n n a b -+=，即1
212
n n n b --+=.
所以1
2
21
n n b n -=-+所以1
111
22214221n n n n n n n b a b n n ----+=⋅-+=+--（）
（）（）（）
1
1
1441
44 (4)
143
n n n n P ---∴=+++==
-,()()01221123252...232212n n n Q n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅..........③()()12312123252...232212n n n Q n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅..........④
③-④得
()()0121122222 (222123223)
n n
n n Q n n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅=--,
∴()2323
n
n Q n =-⋅+()()414102323232333
n n n
n n n n T P Q n n -∴=-=---=--⋅-,
19．（10分）（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测）已知数列{}n a 满足
11a =,()12212n n a a n n -=+-≥，数列{}n b 满足23n n b a n =++.
（Ⅰ）求证数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）1
23246
n n S n n +=⨯---【解析】
（Ⅰ）当1n =时，11a =，故16b =.当2n ≥时，1221n n a a n -=+-，
则12322123n n n b a n a n n -=++=+-++()()112212213n n a n a n --⎡⎤=++=+-+⎣⎦，
12n n b b -∴=，
∴数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得32n
n b =⨯，23n n a b n ∴=--3223n n =⨯--，
(
)()23222
2123n
n S n n
∴=+++-+++- (
)()21231312
n n n n -=⋅
-+--，
123246n n S n n +∴=⨯---.。