河北省邢台市第二中学高二数学暑期预习作业试题(四)

暑假试卷作业（四）
1． 对于函数y =sin(2)2
x π
+
，下面说法中正确的是 ( )
A. 它是周期为π的奇函数
B. 它是周期为π的偶函数
C. 它是周期为2π的奇函数
D. 它是周期为2π的偶函数 2．下列命题正确的是（ ） A ．若b a >，则
b
a 1
<１ B ．若b a >，则22c b c a ⋅>⋅ C ．若22c b c a ⋅>⋅，则b a > D ．若0>>b a ，d c >，则d b c a ⋅>⋅ 3．如图，在正六边形ABCDEF 中，FB CD BA ++等于（ ）
A ．0r
B ．BE uuu r
C ．A
D u u u r D ．CF uuu r
4．在△ABC 中，2
cos 22B a c
c
+=
，（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则△AB C 的形状为 ( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形 5．若3
π
-=x 是y=x a x sin cos +的对称轴，则y=x a x sin cos +的初相是（ ）
A.6π
-
B.π67
C.π65
D.6
π
6．在△ABC 中,两直角边和斜边,,a b c 满足条件a b cx +=,试确定实数的取值范围 A ．(
1,2⎤⎦
B ．(0,2⎤⎦
C ．)
2,2⎡⎣
D ．2,3⎡⎤⎣⎦
7．已知向量(1,1)a =v ，(2,)b n =v
，若a b a b +=⋅v v v v ，则n =
A ．3-
B ． 1-
C ．1
D ．3
8．已知{}n a 为等差数列，若9843=++a a a ，则9S =（ ） A.15 B.24 C.27 D.54
9．若)7,4(),3,2(-==b a ，则a 在b 方向上的正射影的数量为（ ）
A ．13
B ．565
C ．513
D ．65
10．已知函数()()()sin 3cos ,22f x x x ππθθθ⎛⎫
⎡⎤=+++∈-
⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭是偶函数，则θ的值是（ ）
A ．0
B ．6π
C ．4π
D ．3
π
11．若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且919T T =，则当n T 取最小值时，
n 的值为（ ）
A ．9
B ．14
C ．19
D ．24
12．设等比数列{}n a 中，前n 项和为36789,8,7,n S S S a a a ==++=已知则 （ ） A ．
18 B ．18- C ．578
D ．
55
8
13．已知）
，（ππ
α2
∈,51cos sin -=+αα,则)4
tan(π
α+= ． 14．=+οο75sin 15sin ．
15．已知梯形ABCD 中，
，P 是BC 边上一点，且AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r .
当P 是BC 中点时，x+y=；当P 在BC 边上运动时，x+y 的最大值是 ． 16．已知等差数列}{n a 的前n 项和是n a n S n 2
218
2--=，则使2010-<n a 的最小正整数n 等于
17．已知向量，
，且
，f （x ）
=•﹣2λ||（λ为常数），
求：（1）•及||； （2）若f （x ）的最小值是
，求实数λ的值．
18．设()sin(
)46f x x π
π=-22cos 18
x π
-+.
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）若函数y ＝f （x ）与()y g x =的图象关于直线x ＝1对称，求当4[0,]3
x ∈时y ＝g （x ）的最大值．
19．凸四边形PABQ 中，其中,A B 为定点，3,,AB P Q =为动点， 满足1AP PQ QB ===.
（1）写出cos A 与cos Q 的关系式；
（2）设APB PQB ∆∆和的面积分别为S 和T ，求22S T +的最大值。

20．（本题满分12分）已知向量1
(sin ,1),(3cos ,)2
a x
b x =-=-r r ，函数
()()2f x a b a =+⋅-r r r
．
（1）求函数f （x ）的最小正周期T ；
（2）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，其中A 为锐角，a= 23，c=4， 且f （A ）=1，求△ABC 的面积S ．
21．已知向量m ＝3sin
4x ，1)，n ＝(cos 4x ，cos 24
x )．记f(x)＝m·n． (1)若f(α)＝32，求cos(23
π
－α)的值；
(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c)cos B ＝bcos C ，若f(A)＝13
2
，试判断△ABC 的形状．
22．（本小题满分12分）已知圆C 过点P （1，1），且与圆M ：()()()
0222
2
2
>=+++r r y x 关于直线02=++y x 对称。

（1）求圆C 的方程：
（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求⋅最小值；
暑假试卷作业（四）答案
1．B 【解析】由诱导公式得y =sin(2)2
x π
+
=cos2x,所以它是周期为π的偶函数。

故选B 。

2．C 试题分析：A 中1,1a b ==-时命题不成立；B 中0c =时命题不成立；C 中命题成立；D 中2,1,1,2a b c d ===-=-时命题不成立 考点：不等式性质
3．A 试题分析：由题可知，在正六边形ABCDEF 中，
DE BA =,CE CD DE CD BA =+=+,因此有=+=++； 考点：向量的运算
4．B
试题分析：由题意
21cos cos 222B B a c c ++==
，cos a B c =，由正弦定理得sin cos sin A
B C
=，所以cos sin sin sin()B C A B C ==+sin cos cos sin B C B C =+，所以sin cos 0B C =，因为,B C 是三角形的内角，所以cos 0C =，2
C π
=
，所以ABC ∆是直角三角形．故选B ．
考点：正弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形形状的判断．
5．C
试题分析：2cos sin 1sin()y x a x a x ϕ=+=++，若3
π
-=x 是y=x a x sin cos +的对称轴，
则21sin()6y a x π=+-或251sin()6
y a x π
=++.
若21sin()6y a x π=
+-，则3cos y x x =-，不合题意.若251sin()6
y a x π
=++，则3cos y x x =+，符合题意.所以52sin()6
y x π=+，初相为π65
.
考点：三角函数的性质.
6．A
试题分析：由a b cx +=得，a b
x c
+=
， 由题意得在△ABC 中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°， 由正弦定
理
得
：
()()sin sin 90sin sin sin cos 245sin sin90
A A a b A
B A A A c
C +-++===+=+o
o
o
由A ∈（0，90°）得，A+45°∈（45°，135°），所以sin （A+45°）∈22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
，
即2sin(A+45°)∈(
2⎤⎦
，所以
(
2a b
c
+∈，所以(
2x ∈
考点：1.正弦定理解三角形；2.三角函数基本公式 7．D 【
解
析
】
解
：
因
为
向
量
(1,1)
a =v
，
(2,)
b n =v
，若
2222()253
+=⋅∴+=⋅=++⋅∴⋅=∴=v v v v v v v v v v v v v v a b a b a b a b a b a b a b n
选D 8．C
试题分析：由已知348a a a ++=13129a d +=,故143a d +=，即53a =，∴
1999()
2
a a S +=
=5927a =. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前n 项和. 9．B
考点：平面向量数量积的含义与物理意义．
分析：由投影的定义可知，a 在b 上的投影为 |a |cosθ，利用向量夹角公式可得 cosθ=
||||
a b
a b ⋅r r r r ，代入可求． 解答：解：∵a •b =2×(-4)+3×7=13
cosθ=||||
a b
a b ⋅r r
r r =1365⋅=5；
由投影的定义可知，a 在b 上的投影为 |a |cosθ=13×
55=65
5
故选B ．
点评：本题考查一个向量在另一个向量上投影的求法，解题的关键是熟练应用向量的数量积的定义及夹角的定义，属于基础题． 10．B 试题分析：因为函数
()()()()()13sin 32(sin )2f x x x x x θθθθ=++=+++
2sin 3x πθ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，所以当3πθ+2π=，即6πθ=时()f x 是偶函数，故选B.
考点：1、三角函数的奇偶性；2、两角和的正弦公式.
11．B
试题分析：因为919T T =，所以1011191a a a =L ，即14151a a =，又数列{}n a 是递增的等比数
列，所以14151,1a a <>，所以当n T 取最小值时，n 的值为14，故选B.
考点：等比数列的定义与性质. 【名师点睛】本题考查等比数列的定义与性质;中档题;等比数列的性质是高考考查的热点问题,解决等比数列问题一是用基本量法,即用首项与公比表示题中条件,列出方程求出首项与公比;二是利用等比数列相关性质求解,如本题就是利用等比数列的性质进行求解的. 12．A
考点：等比数列的前n 项和． 专题：计算题． 分析：由S 6减S 3得到a 4+a 5+a 6的值，然后利用等差比数列的性质找出a 4+a 5+a 6的和与a 1+a 2+a 3的和即与S 3的关系，由S 3的值即可求出公比q 的值，然后再利用等比数列的性质求出a 7+a 8+a 9的值．
解答：解：a 4+a 5+a 6=S 6-S 3=7-8=-1，
a 4+a 5+a 6=a 1q 3+a 2q 3+a 3q 3=（a 1+a 2+a 3）q 3
， 所以q 3
=-
18
， 则a 7+a 8+a 9=a 4q 3
+a 5q 3
+a 6q 3
=
18
． 故选A ．
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题 13．17
试题分析：由已知）
，（ππ
α2∈,5
1
cos sin -=+αα与22sin cos 1αα+=联立可解得
tan tan
34314sin =cos tan ,tan()55447
1tan tan 4
π
απααααπα+=-∴=-+==-⋅， 考点：三角函数的恒等变换，两角和的正切 14．
2
6 试题分析：=+οο75sin 15
sin sin15cos1545)60+=
+=o o
o o o =
2
6． 考点：诱导公式，辅助角公式． 15．53
,42
试
题
分
析
：
当
P
是
BC
的
中
点
时
，
()()
11115,22424
AP AC AB AD DC AB AB AD x y =+=++=+∴+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ；
设
()
1,12BP tBC AP AB BP AB tBC AB t BA AD DC t AB tDC
⎛⎫=∴=+=+=+++=-+ ⎪⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
,
13x+y=1+
1222
t ∴≤+=. 考点：平面向量基本定理
16．2014
试题分析：设等差数列}{n a 的公差为d ，∵前n 项和是
22817112222n a a d S n n n n +=--=--，又∵2112(1)222
n a d n n d
S na d n n --=+=+，
∴1117222
d a d a d =-⎧⎪
⎨+--=⎪⎩，解得 11,2d a =-=，∴2(1)(1)3n a n n =+--=-，由
32010n -<-，可得2013n >，故最小正整数n 为2014．
考点：等差数列的前n 项和，等差数列的通项公式． 17．（1）•=cos2x ，|
|=2
2
cos x ，（2）
试题分析：（1）根据所给的向量的坐标，写出两个向量的数量积，写出数量积的表示式，利用三角函数变换，把数量积整理成最简形式，再求两个向量和的模长，根据角的范围，写出两个向量的模长．
（2）根据第一问做出的结果，写出函数的表达式，式子中带有字母系数λ，把式子整理成关于cosx 的二次函数形式，结合λ的取值范围，写出函数式的最小值，是它的最小值等于已知量，得到λ的值，把不合题意的舍去． 解
：
（
1
）
，
，
∵
，
∴cosx≥0， ∴
．
（2）f （x ）=cos2x ﹣4λcosx=2（cosx ﹣λ）2
﹣1﹣2λ2
， ∵
，
∴0≤cosx≤1，
①当λ＜0时，当且仅当cosx=0时，f （x ）取得最小值﹣1，这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1，当且仅当cosx=λ时，f （x ）取得最小值﹣1﹣2λ2
， 由已知得
，解得
；
③当λ＞1时，当且仅当cosx=1时，f （x ）取得最小值1﹣4λ， 由已知得
，解得
，这与λ＞1相矛盾、
综上所述，为所求．
考点：数量积的坐标表达式；三角函数的最值． 18．（1）8（2）
3
2
． 试题分析：（1）由两角差的正弦公式和降幂公式，将函数()f x 的解析式化为
()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用2T π
ω
=
求周期；（2）设点(,)x y 是函数()y g x =上任
意一点，利用对称关系得点(2,)x y -在图象()y f x =上，代入()y f x =解析式得()y g x =解析式为()3cos(
)43g x x π
π=+，首先由4[0,]3x ∈，得43
t x ππ
=+的范围，再结合函数3cos y t =的图象求得()y g x =的最大值．
试
题
解
析
：
（
1
）
f()=sin
cos
4
6
x x π
π
-
cos
sin
-cos
x=
4
6
4
x π
π
π
33sin x-cos x=3sin 24244
3x πππ
π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故f(x)的最小正周期为284
T π
π
=
=．
（2）在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于x ＝1的对称点为（2－x ，g （x ））． 由题设条件，点（2－x ，g （x ））在y ＝f （x ）的图象上，从而g （x ）＝f （2－x ）＝
3sin[(2)]43
x ππ
--
3sin[
]243x π
ππ-
-3cos()43x ππ
+， 当4[0,]3x ∈时，23433x ππππ≤+≤ ，因此y ＝g （x ）在区间4
[0,]3x ∈上的最大值为
max 3
33
y π
==
考点：1、三角恒等变形；、三角函数的图象与性质. 19．（1）1cos 3cos -=
A Q ；
（2）7
8
试题分析：（1）在三角形BCD 和三角形BCD 中，利用余弦定理表示出BD 2
，两者相等表示即可得到cosC 与cosA 的关系式；
（2）利用三角形面积公式变形出S 与T ，进而表示出S 2+T 2
，将第一问表示出的cosA 代入得
到关于cosC 的二次函数，利用二次函数性质即可求出S 2+T 2
的最大值． （1）在⊿PAB 中，由余弦定理得：A AB PA AB PA PB cos 2222
⋅⋅-+=
A cos 32
4-= 3分
同理在⊿PQB 中 Q PB cos 222-= ∴Q A cos 22cos 324-=-
∴1cos 3cos -=A Q 6分
（2）Q Q QB PQ T A A AB PA S
sin 2
1sin 21,sin 23sin 21=⋅==⋅= 8分 ∴()()Q A Q A T S 222222cos 14
1
cos 143sin 41sin 43-+-=+=
+ 2
23337
=-cos cos 2428
A A A ⎛++=-+ ⎝⎭
当cos 6A =
时，227
8
S T +有最大值为。

12分 考点：1.余弦定理；2.三角形面积；3.同角三角函数间的基本关系以及二次函数的性质.
20．（1）T ＝π；（2）2．
试题分析：（1）利用向量数量积的坐标表示可得，结合辅助角公式可得f （x ）= sin （2x −6
π
），利用周期公式ω
π
2=
T 可求；
（2）由1)(=A f 结合)6
5,
6
(6
2),2
0(π
ππ
π-
∈-
∈A ，A 可得,3
2
6
2π
π
π
=
⇒=
-
A A ，由余
弦定理可得，a 2=b 2+c 2
-2bccosA ，从而有12＝b 2
+16−2×4b ×1
2
，即0442=+-b b ，解方程可得b ，代入三角形面积公式可求．
试题解析：（Ⅰ）f （x ）＝（a r + b r ）•a r －2 ＝2a a b +r r r
g
−2
=sin 2
x+1+sinxcosx+
12−2=1cos 22x -+sin2x −1
2
=
−12cos2x=sin （2x −6
π
） （4分） 因为ω=2，所以T ＝π （6分） （Ⅱ）f （A ）＝sin （2A −6
π
）＝1
因为A ∈（0，2π），2A −6π∈（−6π，56π），所以2A −6π=2π，A ＝3
π （8分） 则a 2=b 2+c 2-2bccosA ，所以12＝b 2+16−2×4b ×12
，即b 2-4b+4=0则b=2 从而S ＝12bcsinA ＝12×2×4×sin 3π＝23 （12分） 考点：1．解三角形；2．平面向量数量积的运算；3．三角函数的周期性及其求法．
21．（1）1 （2）等边三角形
【解析】f(x)3sin 4x cos 4x ＋cos 24x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin(2x ＋6π)＋12
． (1)由已知f(α)＝
32得sin(2α＋6
π)＋12＝32， 于是2α＋6π＝2kπ＋2π，k ∈Z ，即α＝4kπ＋23π，k ∈Z ， ∴cos(23π－α)＝cos(23π－4kπ－23π)＝1． (2)根据正弦定理知：
(2a －c)cos B ＝bcos C ⇒(2sin A －sin C)cos B ＝sin Bcos C ⇒2sin Acos B ＝sin(B ＋C)＝sin A ⇒cos B ＝12⇒B ＝3
π， ∵f(A)＝132
， ∴sin(2A ＋6π)＋12＝132⇒2A ＋6π＝3π或23π⇒A ＝3
π或π，而0<A<23π， 所以A ＝3
π，因此△ABC 为等边三角形． 22．（1）222x y +=；（2）－4．
试题分析：（1）由题意圆心C 与圆心M 关于直线20x y ++=对称；（2）设(,)Q x y ，由
（1）有222x y +=，2242PQ MQ x y x y x y ⋅=+++-=+-u u u r u u u u r ，可设
2,2x y θθ==，代入可求得PQ MQ ⋅u u u r u u u u r 的最小值；
试题解析：（1）设圆心C （a,b ），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+-12
2022222a b b a 解得 a=0 b=0
所以圆C 的方程为222
x y r += ， 将点P 的坐标代人得22r =， 所以圆C 的方程为222x y +=．
（2）设Q （x,y ） ，则22
2x y += 所以2242PQ MQ x y x y x y ⋅=+++-=+-u u u r u u u u r
所以PQ MQ ⋅u u u r u u u u r 的最小值为 -4 （可由线性规划或三角代换求得）
考点：圆的方程，向量的数量积，圆的参数方程．。