山西省运城市实验中学2021年高二数学理下学期期末试题含解析

山西省运城市实验中学2020-2021学年高二数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. ΔABC中,a=1,b=, A=30°,则B等于（）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
参考答案：
B
2. 若，则方程表示（）
A. 焦点在轴上的椭圆
B. 焦点在轴上的椭圆
C. 焦点在轴上的双曲线
D. 焦点在轴上的双曲线
参考答案：
B
3. 若集合且，则集合可能是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
4. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．
【解答】解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法，
因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，
这是一个古典概型，所以所求概率为=，
故选D．
【点评】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解．
5. 若直线与直线平行，则实数等于（）
A、B、C、D、
参考答案：
C
略
6. 复数（是虚数单位），则的共轭复数的虚部是
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
7. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？（）
A．1094 B．966 C．5796 D．6561
参考答案：
A
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】根据空盒的多少分三类，根据分类计数原理可得
【解答】解：第一类：有2和空盒子，即把8个不同的球放在同一个盒子里，故有1种，
第二类，有1个空盒子，8个球可以分为（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）故有
C81+C82+C83+C84=127种，
第三类，没有空盒子，8个球可以分（1，1，6），（1，2，5），（1，3，4），（2，2，4），（2，
3，3）
故有C81C71+C81C72+C81C73+C82C62+C82C63=966种，
根据分类计数原理可得共有1+127+966=1094，
故选：A．
【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题
8. 若集合，则是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
9. 已知正数满足，则“”是“”的 ( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
10. 若f（x）=（m﹣2）x2+2mx+1是偶函数，则f（﹣1），f（0），f（2）从小到大的顺序是
（）
A．f（0）＜f（2）＜f（1） B．f（﹣1）＜f（﹣2）＜f（0）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（0）D．f（0）＜f（﹣1）＜f（2）
参考答案：
C
【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【分析】根据题意，由二次函数和偶函数的性质分析可得m=0，即可得函数的解析式，分析可得其在区间[0，+∞）上为减函数，比较可得0＜|﹣1|＜|2|，结合函数的单调性即可得答案．
【解答】解：根据题意，若f（x）=（m﹣2）x2+2mx+1是偶函数，
则其对称轴x=﹣=0，即m=0，
则函数f（x）=﹣2x2+1，在区间[0，+∞）上为减函数，
又由0＜|﹣1|＜|2|，
则f（2）＜f（﹣1）＜f（0）；
故选：C．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，关键是求出m的值，确定函数单调性及单调区间．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，则_____
参考答案：
分析：求出f′（1）=﹣1，再根据定积分法则计算即可．
详解：∵f（x）=f'（1）x2+x+1，
∴f′（x）=2f'（1）x+1，
∴f′（1）=2f'（1）+1，
∴f′（1）=﹣1，
∴f（x）=﹣x2+x+1，
∴=（﹣x3+x2+x）=.
故答案为：.
点睛：这个题目考查了积分的应用，注意积分并不等于面积，解决积分问题的常见方法有：面积法，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数；应用公式直接找原函数的方法；利用被积函数的奇偶性得结果.
12. 已知x、y满足，则的最大值是．
参考答案：
2
13. 已知正实数a，b满足，且，则
的最小值为
．
参考答案：
因为，
所以
当且仅当时取等号，
因此最小值为.
14. 如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC
＝，则球O的体积等于__________．
参考答案：
15. 用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证
时，左边应增加的项数是______．
参考答案：
解：利用数学归纳法证明不等式：时，由不等式成立
推证时，左边应添加的代数式是
16. 已知函数f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是2x﹣3y+1=0，则f（1）+f′（1）
= ．
参考答案：
【考点】导数的运算；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由切线的方程找出切线的斜率，根据导函数在x=1的值等于斜率，得到x=1时，f′（1）的值，又切点在切线方程上，所以把x=1代入切线方程，求出的y的值即为f（1），把求出的f（1）和f′（1）相加即可得到所求式子的值．
【解答】解：由切线方程2x﹣3y+1=0，得到斜率k=，即f′（1）=，
又切点在切线方程上，所以把x=1代入切线方程得：2﹣3y+1=0，解得y=1即f（1）=1，
则f（1）+f′（1）=+1=．
故答案为：
17. ；；；；…观察上面列出的等式，则可得出第n
个等式为．
参考答案：
（）;
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知
直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．
（1）求直线l与圆C的公共点个数；
（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程、圆C的极坐标方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离d与圆半径r的关系，判定直线l与圆C的公共点个数；
（Ⅱ）由圆C的参数方程求出曲线C′的参数方程，代入4x2+xy+y2中，求出4x2+xy+y2取得最大值时对应的M点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y﹣=0，
圆C的极坐标方程ρ=1化为普通方程是x2+y2=1；
∵圆心（0，0）到直线l的距离为d==1，等于圆的半径r，
∴直线l与圆C的公共点的个数是1；
（Ⅱ）圆C的参数方程是，（0≤θ＜2π）；
∴曲线C′的参数方程是，（0≤θ＜2π）；
∴4x2+xy+y2=4cos2θ+cosθ?2sinθ+4sin2θ=4+sin2θ；
当θ=或θ=时，4x2+xy+y2取得最大值5，
此时M的坐标为（，）或（﹣，﹣）．
19. （本小题满分12分）
已知数列满足：．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
参考答案：
（Ⅰ）
当时满足上式，。

…………………6分
（Ⅱ） (9)
分
…………………12分20. （本小题满分12分）已知等比数列中，，公比.
（1）为的前项和，证明：
（2）设，求数列的通项公式
参考答案：
解：（1）因为 ---------------------------------------------3分
，所以 ---------------------------------------6分
（2）
---------------------------------12分
21. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（3）求二面角B﹣DC﹣B1的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．只要证明，即可证明
AC⊥BC1．
（2）设CB1∩C1B=E，则E（0，2，2），可得，即DE∥AC1，即可证明AC1∥平面CDB1．（3）设平面CDB1的一个法向量为=（x，y，z），则，可求得平面CDB1的一个法向量为
．取平面CDB的一个法向量为，利用=即可得出．
【解答】（1）证明：∵直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），
D．
∵，∴，即AC⊥BC1．
（2）证明：设CB1∩C1B=E，则E（0，2，2），，∴，即DE∥AC1，∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．
（3）解： =，设平面CDB1的一个法向量为=（x，y，z），则，则，
可求得平面CDB1的一个法向量为=（4，﹣3，3）．
取平面CDB的一个法向量为，
则===．
由图可知，二面角B﹣DC﹣B1的余弦值为．
22. 已知圆，直线过定点A (1，0)．
（1）若与圆C相切，求的方程；
（2）若的倾斜角为，与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；（3）若与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ面积的最大值．
参考答案：
解：①若直线的斜率不存在，则直线，符合题意．……………… 1分
②若直线的斜率存在，设直线为，即………… 2分
所求直线方程是………………………………………………………5分
综上所述：所求直线方程是，或……………………………………6分
(2) 直线的方程为y= x－1…………………………………………………………………7分
∵M是弦PQ的中点，∴PQ⊥CM,
∴………………………………………………………10分
∴M点坐标（4，3）．…………………………………………11分
(3)设圆心到直线的距离为d，三角形CPQ的面积为S,则…………12分略。