难点解析青岛版八年级数学下册第6章平行四边形必考点解析试题(含详细解析)

青岛版八年级数学下册第6章平行四边形必考点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，
EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（）
A．6.5B．8 C．10D．12
2、下列命题是真命题的是（）
A．对角线相等的平行四边形是菱形．
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
C．对角线相互垂直且相等的四边形是菱形．
D．有一组对边平行且相等的四边形是菱形．
3、在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB∥CD，AB＝CD D．AB∥CD，AD＝BC
4、矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD=120°，AO=3，则BC的长度是（）
A．3 B．C．D．6
5、如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB 的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（）
A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm
6、A．2 B．2或1.5 C． 5 D．2.5或2
2．菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较短的对角线长度是
（）
A．B．C D．5cm
7、已知：在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF=DE，那么四边形AFCD一定是（）
A．菱形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形
8、将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB=30°，则∠ACB的度数是（）
A．75°B．63°C．55°D．45°
9、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD、BC分别于点O、E，若EC=3，CD=4，则BO的长为（）
A．4 B．C．D．
10、如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段EC的长度为（）
A．2 B．3 C．5 D．8
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，已知DF＝5，则AE＝
_____．
2、如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，在对角线BD上有一点P，则PC+PE的最小值是_______．
3、平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别________；平行四边形的两组对角分别
________；平行四边形的对角线________．
4、已知平行四边形ABCD的周长是30，若AB＝10，则BC＝________．
5、直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．
符号语言：
Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，OA＝OC，
AC．
∴BO＝1
2
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
2、在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AC，BC上的点，且满足AD=CE，连接DE，过点C作DE的垂线，垂足为F，交AB于点G．
(1)点D如图所示．
①请依题意在下图中补全图形；
②猜想DE与CG的数量关系，并证明；
(2)连接DG，GE，若AB=2，直接写出四边形CDGE面积的最小值．
3、在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB上，连接
∠=∠．
BE，连接EF交BD于点M，已知AEB OME
(1)如图1，求证：EB EF
=；
=，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DF=．(2)如图2，点N在线段EF上，AN EN
4、如图，小正方形的边长为1，△ABP的顶点都在格点上，请利用网格作图或计算．
(1)△ABP的面积为；
(2)过点P画直线PM∥AB，且M为格点；
(3)在直线AP上作出点N，使得点N到A、B、P三点的距离之和最小．
5、已知正方形ABCD，P是CD的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）
⊥，垂足为Q；
(1)在图①中，画PQ AB
(2)在图②中，画BH AP
⊥，垂足为H．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD=13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE=6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO=GF即可得出答案．
【详解】
解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD，又∵E是边AD的中点，
∴OE=1
2
AD=
1
2
×13=6.5，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO=90°，∠EGO=90°，∠GOF=90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG=OE=6.5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
2、B
【解析】
【分析】
根据矩形判定，菱形的判定，正方形判定，平行四边形判定进行解答．
【详解】
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，A错误；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，B正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C错误；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，D错误；
故选B．
【点睛】
本题考查矩形判定，菱形的判定，平行四边形判定，熟练掌握矩形，菱形正方形平行三角形的定义和判定方法是解题关键．
3、D
【解析】
略
4、C
【解析】
【分析】
画出图形，由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长．
【详解】
解：如下图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=1
2
AC，OB=
1
2
BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=2，
∴AC=2OA=4，
∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，
∴BC=
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
5、B
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出BD＝6cm，由菱形的面积得出AC＝8cm，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
AC×BD＝24cm2，
∵BD＝6cm，S菱形ABCD═1
2
∴AC＝8cm，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
AC＝4cm，
∴OE＝1
2
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
6、D
【解析】
【分析】
根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数,得出较短的对角线与菱形两边围成的三角形是等边三角形,即可得出结果.
【详解】
如图所示：
∵菱形的周长为20cm ，
∴菱形的边长为5cm ，
∵两邻角之比为1:2，
∴较小角为60°，
∴60ABC ∠=︒，
∵AB =5cm ，AB BC =，
∴ABC 为等边三角形，
∴5AC AB == cm ，
∴较短的对角线为5cm ，
故选D ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识;熟练掌握菱形的性质与等边三角形的判定是解题的关键.
7、B
【解析】
【分析】
先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可．
【详解】
解：∵E是AC中点，
∴AE=EC，
∵DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=1
2 BC，
∴DF=BC，
∵CA=CB，
∴AC=DF，
∴四边形ADCF是矩形；故选：B．
本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．
8、A
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．
【详解】
解：如图所示：
∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，
∴ED∥FA，∠EBC=∠CBA，
∴∠EBC=∠ACB，∠CAB=∠DBA=30°，
∵∠EBC+∠CBA+∠ABD=180°，
∴∠ACB+∠ACB+30°=180°，
∴∠ACB=75°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．
9、C
【解析】
连接DE ，因为AB =AD ，AE ⊥BD ，AD ∥BC ，可证四边形ABED 为菱形，从而得到BE 、BC 的长，进而解答即可．
【详解】
解：连接DE ．
在直角三角形CDE 中，EC =3，CD =4，根据勾股定理，得DE =5．
∵AB =AD ， AE 平分BAD ∠
∴AE ⊥BD ，BO =OD ，
∴AE 垂直平分BD ，∠BAE =∠DAE ．
∴DE =BE =5．
∵AD ∥BC ，
∴∠DAE =∠AEB ，
∴∠BAE =∠AEB ，
∴AB =BE =5，
∴BC =BE +EC =8，
∴四边形ABED 是菱形，
由勾股定理得出BD ==
∴1.2BO BD =
= 故选：C ．
本题考查勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，题目难度适中，根据条件能够发现图中的菱形ABDE是关键．
10、A
【解析】
【分析】
∥，BC=AD=5，证得∠DAE=∠AEB，由角平分线的性质推出
根据平行四边形的性质得到AD BC
∠BAE=∠DAE，由此得到∠AEB=∠BAE，求出BE，即可求出EC．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∥，BC=AD=5，
∴AD BC
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠AEB=∠BAE，
∴BE=AB=3，
∴EC=BC-BE=5-3=2，
故选：A．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，角平分线证明两个角相等，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
二、填空题
1、5
【解析】
依题意，可得DF 是△ABC 的中位线，得到BC 的边长；又结合直角三角形斜边中线是斜边的一半，即可求解；
【详解】
∵ D ，F 分别为AB ，AC 的中点，
∴DF 是△ABC 的中位线，
∴BC ＝2DF ＝10，
在Rt △ABC 中，E 为BC 的中点，
152
AE BC == 故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查直角三角形性质及中线的性质，关键在熟练综合使用和分析；
2、【解析】
【分析】
要求PE +PC 的最小值，PE ，PC 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE ，PC 的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：如图，连接AE ，PA ，
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴点C关于BD的对称点为点A，
∴PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，
∴BE=2，
∴AE=√AA2+AA2=√42+22=2√5，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．
3、相等相等互相平分
【解析】
略
4、5
【解析】
略
5、一半
【解析】
略
三、解答题
1、见解析
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形易知OA=OC，OC=OD，再证得OE=OF，即可得出结论．
【详解】
证明：连接AC，设AC与BD交于点O．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵BE=DF，
∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，解题时要注意选择适宜的判定方法．
2、(1)①作图见解析；②DE=CG，证明见解析；
(2)12
【解析】
【分析】
（1）①按照题意作图即可；②如图1过点D 作DH ⊥AC 交AB 于H ，连接CH 交DE 于O ，连接EH ，∠A =∠B =45°，∠ADH =90°，∠A =∠DHA =45°，DA =DH = CE ，四边形DHEC 是平行四边形，
∠DCE =90°，四边形DHEC 是矩形，矩形对角线相等且互相平分可知，DE =CH ，OD =OC ，∠ODC =∠OCD ，证明∠CDE =∠BCG =∠ACH ，△ACH ≌△BCG ，进而可说明DE =CG ．
（2）如图2，由（1）可知DE =CG ，CG ⊥DE ，S 四边形CDGE 12=•DE •CG 12
=•CG 2；可知面积最小即CG 的值最短；根据垂线段最短可知，当CG ⊥AB 时，CG 的值最短，由AG =GB ，∠ACB =90°，可知CG 1
2=
AB =1，进而可求四边形面积的最小值．
(1)
解：①图形如图1所示．
②结论：DE =CG ．
证明：如图1中，过点D 作DH ⊥AC 交AB 于H ，连接CH 交DE 于O ，连接EH ．
∵AC =BC ，∠ACB =90°
∴∠A =∠B =45°
∵AD ⊥DH
∴∠ADH =90°
∴∠A =∠DHA =45°
∴DA =DH
∵AD =CE
∴DH =CE
∵∠ADH =∠ACB =90°
∴DH ∥BC
∴四边形DHEC 是平行四边形
∵∠DCE =90°
∴四边形DHEC 是矩形
∴DE =CH ，OD =OC =OE =OH
∴∠ODC =∠OCD
∵CG ⊥DE
∴∠CDE +∠DCG =90°，∠DCG +∠BCG =90°
∴∠CDE =∠BCG =∠ACH
在△ACH 和△BCG 中
∵45ACH BCG CA CB A B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
∴△ACH ≌△BCG （ASA ）
∴CH =CG
∴DE =CG ．
(2)
解：如图2
由（1）可知DE =CG ，CG ⊥DE
∴S 四边形CDGE 12=•DE •CG 12
=•CG 2 根据垂线段最短可知，当CG ⊥AB 时，CG 的值最短
∵CA =CB ，CG ⊥AB
∴AG =GB
∴CG 12
=AB =1 ∴四边形CDGE 的面积的最小值为12．
【点睛】
本题考查了垂线段，矩形的判定与性质，三角形全等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．
3、 (1)见解析；
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）依据四边形ABCD 是正方形，即可得出AC ⊥BD ，∠1=∠2=45°，进而得到∠5=∠FBE ，即可得到EF =EB ；
（2）连接DE ，DF ，先判定△AOH ≌△BOE ，即可得出AH =BE ，再判定△DCE ≌△BCE ，即可得到DE =BE =AH =EF ，再根据△DEF 是等腰直角三角形，即可得出结论．
(1)
证明：（1）如图所示：
四边形ABCD是正方形，
∴⊥，1245
AC BD
∠=∠=°，
∴在Rt△OME和Rt△OEB中，
∠+∠=∠+∠=︒，3490
OME OEB
∠=∠，
OME OEB
34
∴∠=∠，
∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，51324FBE ∴=；
EF EB
(2)
连接DE，DF
=，
AN EN
35∴∠=∠，
34∠∠=，
45∴∠=∠，
四边形ABCD 是正方形，
OA OB ∴=，AC BD ⊥，
7890∴∠=∠=︒，
在AOH ∆和BOE ∆中，
5478OA OB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ΔΔAOH BOE ASA ∴≅，
AH BE =，
四边形ABCD 是正方形，
DC BC ∴=，1245∠=∠=°，
在DCE ∆和BCE ∆中，
12DC BC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ΔΔDCE BCE SAS ∴≅，
DE BE AH EF ∴===，
AC BD ，
6AEB ∴∠=∠，
34∠∠=，490AEB ∠+∠=︒，
3690
∴∠+∠=︒，即90
DEF
∠=︒，
ΔDEF
∴是等腰直角三角形，
∴
DF==．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是对全等三角形的判断．4、 (1)9
(2)见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）用△ABP所在的长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可；
（2）利用平行线的判定画出图形即可；
（3）运用垂线段最短进行解答即可
(1)
解：
111
454251339
222
ABP
S
∆
=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=
(2)
解：如图：直线PM即为所求
(3)
解：如图：点N即为所求；
【点睛】
本题主要考查了基本作图、平行线的判定和性质、垂线段最短等知识，掌握数形结合的思想是解答本题的关键
5、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）连接点P与正方形的对角线的交点，并延长交AB于一点，即为点Q；
（2）连接BD，交AP于点F，连接CF并延长交AD于点E，连接BE交AP于一点即为点H．
(1)
解：如图，PQ即为所求．
．
(2)
解：连接BD，交AP于点F，连接CF并延长交AD于点E，连接BE交AP于一点即为点H，∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴∠ADB=∠CDB，AD=CD，
∵DF=DF，
∴△ADF≌△CDF，
∴∠DAF=∠DCF，
∵∠ADP=∠CDE=90°，
∴△ADP≌△CDE，
∴DE=DP，
∴AE=DP，
∵AB=AD，∠BAE=∠ADP=90°，
∴△ABE≌△DAP，
∴∠ABE=∠DAP，
∵∠BAH+∠DAP=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，即BH AP
如图，BH即为所求．
．
【点睛】
此题考查了利用正方形的性质作垂线，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键．。