★试卷3套精选★新疆名校2019届九年级上学期数学期末综合测试试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图是半径为2的⊙O 的内接正六边形ABCDEF ，则圆心O 到边AB 的距离是（ ）
A ．2
B ．1
C ．3
D ．3 【答案】C 【分析】过O 作OH ⊥AB 于H ，根据正六边形ABCDEF 的性质得到∠AOB ＝
3606︒＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH ＝30°，AH ＝12
AB ＝1，于是得到结论． 【详解】解：过O 作OH ⊥AB 于H ， 在正六边形ABCDEF 中，∠AOB ＝
3606︒＝60°， ∵OA ＝OB ，
∴∠AOH ＝30°，AH ＝12
AB ＝1， ∴OH ＝3AH ＝3，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．若270x y -=. 则下列式子正确的是（ ）
A ．72x y =
B ．27x y =
C ．27x y =
D ．27
x y = 【答案】A
【分析】直接利用比例的性质分别判断即可得出答案．
【详解】∵2x-7y=0，∴2x=7y ．
A ．72
x y =，则2x=7y ，故此选项正确； B ．27x y
=，则xy=14，故此选项错误； C ．27
x y =，则2y=7x ，故此选项错误； D ．
27x y =，则7x=2y ，故此选项错误． 故选A ．
【点睛】
本题考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题的关键．
3．圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为( )
A ．1：2：3
B ．1
C ：1
D ．无法确定 【答案】C
【分析】根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：设圆的半径为R ，
如图(一)，
连接OB ，过O 作OD ⊥BC 于D ，
则∠OBC=30°，BD=OB •cos30°=
，
故BC=2BD =；
如图(二)，
连接OB 、OC ，过O 作OE ⊥BC 于E ，
则△OBE 是等腰直角三角形，
2BE 2=OB 2，即BE =
，
故BC =；
如图(三)，
连接OA 、OB ，过O 作OG ⊥AB ，
则△OAB 是等边三角形，
故AG=OA •cos60°12
=R ，AB=2AG=R ，
R ：R =：1．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，掌握正多边形和圆是解题的关键.
4．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，1，8，1，9，1．这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A ．8，1
B ．1，9
C ．8，9
D ．9，1
【答案】D
【解析】试题分析：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，1，1，1，
最中间的数是9，则中位数是9；
1出现了3次，出现的次数最多，则众数是1；
故选D ．
考点：众数；中位数．
5．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），对称轴是x ＝1，现有结论：①abc ＞0 ②9a ﹣3b+c ＝0 ③b ＝﹣2a④（2﹣1）b+c ＜0，其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置，顶点坐标，以及二次函数的增减性，逐个进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 开口向上，对称轴是x ＝1，与y 轴的交点在负半轴，
∴a ＞0，b ＜0，c ＜0，
∴abc ＞0，因此①正确；
∵对称轴是x ＝1，即：2b a
＝1，也就是：b ＝﹣2a ，因此③正确； 由抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），对称轴是x ＝1，可得与x 轴另一个交点坐标为（3，0）， ∴9a+3b+c ＝0，而b≠0，
因此②9a ﹣3b+c ＝0是不正确的； ∵（2﹣1）b+c ＝2b ﹣b+c ，b ＝﹣2a ， ∴（2﹣1）b+c ＝2a+2b+c ，
把x ＝2代入y ＝ax 2+bx+c 得，y ＝2a+2b+c ，
由函数的图象可得此时y ＜0，即：（2﹣1）b+c ＜0，因此④是正确的，
故正确的结论有3个，
故选：C ．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是正确解答的关键，将问题进行适当的转化，是解决此类问题的常用方法．
6．如图，将Rt ABC 绕点A 按顺时针方向旋转一定角度得到Rt ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上.若AC 3B 60∠==︒，，则CD 的长为（ ）
A ．0.5
B ．1.5
C 2
D ．1
【答案】D 【解析】利用∠B 的正弦值和正切值可求出BC 、AB 的长，根据旋转的性质可得AD=AB ，可证明△ADB 为等边三角形，即可求出BD 的长，根据CD=BC-BD 即可得答案.
【详解】∵3B=60°，
∴sinB=AC BC 33=，tan60°=AC AB 33=， ∴BC=2，AB=1，
∵Rt ABC 绕点A 按顺时针方向旋转一定角度得到Rt ADE ，
∴AB=AD ，
∵∠B=60°，
∴△ADB 是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC-BD=2-1=1.
故选D.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．
7．如图，反比例函数
6
y
x
=-在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3.直线AB与x
轴交于点C，则△AOC的面积为（）
A．8 B．10 C．12 D．24
【答案】C
【解析】试题分析：x=-1时，y=6，x=-3时，y=2，所以点A（-1，6），点B（-3，2），应用待定系数法求得直线AB的解析式为y=2x+8，直线AB与x轴的交点C（-4，0），所以OC=4，点A 到x轴的距离为6，
所以△AOC的面积为1
46
2
⨯⨯=1．
故选C．
考点：待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形．
8．一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm
【答案】B
【解析】试题解析：设此圆锥的底面半径为r，
2πr=12030
180
π⨯
，
r=10cm
故选B．
考点：弧长的计算．
9．边长等于6的正六边形的半径等于（）
A．6 B．33C．3 D．32
【答案】A
【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长组成一个等边三角形，即可求解．
【详解】解：正六边形的中心角为310°÷1＝10°，那么外接圆的半径和正六边形的边长组成一个等边三角形，
∴边长为1的正六边形外接圆的半径是1，
即正六边形的半径长为1．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，解答此题的关键是理解正六边形的外接圆半径和正六边形的边长组成的是一个等边三角形．
10．若反比例函数()0k y k x =
≠的图象过点（-2，1），则这个函数的图象一定过点（ ） A ．（2，-1）
B ．（2，1）
C ．（-2，-1）
D ．（1，2） 【答案】A
【解析】先把（- 2，1）代入y=k x 求出k 得到反比例函数解析式为y=2x
-，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征，通过计算各点的横纵坐标的积进行判断．
【详解】把（-2，1）代入y=
k x
得k=-2×1=-2， 所以反比例函数解析式为y=2x -， 因为2×（-1）=-2， 2×1=2，-2×(-1)=2，1×2=2，
所以点（2，-1）在反比例函数y=2x -
的图象上． 故选A ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=
k x
（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ． 11．将抛物线y ＝
212
x 向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是（ ） A ．21(2)2y x =+ B ．y ＝2122
x + C ．y ＝21(2)2x - D ．y ＝2122x - 【答案】A
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】解：将抛物线y ＝
212x 向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是：21(2)2y x =+．故答案为A ．
【点睛】
本题考查了二次函数图像的平移法则，即掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键.
12．如图，在菱形ABOC 中，∠A=60°，它的一个顶点C 在反比例函数k y x
=的图像上，若菱形的边长为4，
则k 值为( )
A ．43
B ．23
C ．43-
D ．23-【答案】C 【分析】由题意根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C 的坐标，从而可以求得k 的值.
【详解】解：∵在菱形ABOC 中，∠A=60°，菱形边长为4，
∴OC=4，∠COB=60°，C 的横轴坐标为-42=-2÷（），C 224-2=23
∴点C 的坐标为（-2，23，
∵顶点C 在反比例函数k y x =
的图象上， ∴32k -，得k=3-
故选：C.
【点睛】
本题考查反比例函数图像以及菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C 的坐标，利用反比例函数的性质解答．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．计算：2sin 245°﹣tan45°＝______．
【答案】0
【解析】原式=2
2121=2122⎛⨯-⨯- ⎝⎭
=0， 故答案为0.
14．点()3,4P -关于原点的对称点的坐标为________.
【答案】()3,4-
【分析】根据点关于原点对称，横纵坐标都变号，即可得出答案.
【详解】根据对称变换规律，将P 点的横纵坐标都变号后可得点()3,4-，故答案为()3,4-.
【点睛】
本题考查坐标系中点的对称变换，熟记变换口诀“关于谁对称，谁不变，另一个变号；关于原点对称，两个都变号”.
15．抛物线2y (x 1)3=-++与y 轴交点坐标为______.
【答案】()0,2
【分析】令x=0，求出y 的值即可．
【详解】解：∵当x=0，则y=-1+3=2，
∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，2）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，熟知y 轴上点的特点，即y 轴上的点的横坐标为0是解答此题的关键． 16．抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示，已知关于x 的一元二次方程﹣x 2+bx+c ＝0的一个解为x 1＝1，则该方程的另一个解为x 2＝_____．
【答案】﹣1
【分析】函数的对称轴为：x=-1，由抛物线与x 轴交点是关于对称轴的对称即可得到答案．
【详解】解：函数的对称轴为：x=-1，其中一个交点坐标为（1，0），
则另外一个交点坐标为（-1，0），
故答案为-1．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，根据函数的对称性即可求解．
17．已知2x =-是一元二次方程240x mx ++=的一个解，则m 的值是__________．
【答案】4
【分析】把x=-2代入x 2+mx+4=0可得关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值.
【详解】∵2x =-是一元二次方程240x mx ++=的一个解，
∴4-2m+4=0，
解得：m=4，
故答案为：4
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 18．点()1,1P 向左平移两个单位后恰好位于双曲线k y x
=
上，则k =__________． 【答案】1-
【分析】首先求出点P 平移后的坐标，然后代入双曲线即可得解.
【详解】点()1,1P 向左平移两个单位后的坐标为()1,1-，代入双曲线，得
11k =- ∴1k =-
故答案为-1.
【点睛】
此题主要考查坐标的平移以及双曲线的性质，熟练掌握，即可解题.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图1，抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0）、C （3，0），点B 为抛物线顶点，直线BD 为抛物线的对称轴，点D 在x 轴上，连接AB 、BC ，∠ABC ＝90°，AB 与y 轴交于点E ，连接CE ．
（1）求项点B 的坐标并求出这条抛物线的解析式； （2）点P 为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC 的面积为S ，点P 的横坐标为m ，求S 关于m 的函数关系武，并求出S 的最大值；
（3）如图2，连接OB ，抛物线上是否存在点Q ，使直线QC 与直线BC 所夹锐角等于∠OBD ，若存在请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）点B 坐标为（1，2），y ＝﹣12x 2+x+32；（2）S ＝﹣34m 2+2m+34
，S 最大值2512；（3）点Q 的坐标为（﹣13
，109）． 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，证△ABC 是等腰直角三角形，由三线合一定理及直角三角形的性质可求出BD 的长，即可写出点B 的坐标，由待定系数法可求出抛物线解析式；
（2）求出直线AB 的解析式，点E 的坐标，用含m 的代数式表示出点P 的坐标，如图1，连接EP ，OP ，CP ，则由S △EPC ＝S △OEP +S △OCP ﹣S △OCE 即可求出S 关于m 的函数关系式，并可根据二次函数的性质写出S 的最大值；
（3）先证△ODB ∽△EBC ，推出∠OBD ＝∠ECB ，延长CE ，交抛物线于点Q ，则此时直线QC 与直线BC 所夹锐角等于∠OBD ，求出直线CE 的解析式，求出其与抛物线交点的坐标，即为点Q 的坐标．
【详解】解：（1）∵A （﹣1，0）、C （3，0），
∴AC＝4，抛物线对称轴为x＝
13
2
-+
＝1，
∵BD是抛物线的对称轴，
∴D（1，0），
∵由抛物线的对称性可知BD垂直平分AC，∴BA＝BC，
又∵∠ABC＝90°，
∴BD＝1
2
AC＝2，
∴顶点B坐标为（1，2），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，将A（﹣1，0）代入，
得0＝4a+2，
解得，a＝﹣1
2
，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣1
2
（x﹣1）2+2＝﹣
1
2
x2+x+
3
2
；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），B（1，2）代入，
得
2
k b
k b
-+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，
当x＝0时，y＝1，
∴E（0，1），
∵点P的横坐标为m，
∴点P的纵坐标为﹣1
2
m2+m+
3
2
，
如图1，连接EP，OP，CP，则S△EPC＝S△OEP+S△OCP﹣S△OCE
＝1
2
×1×m+
1
2
×3（﹣
1
2
m2+m+
3
2
）﹣
1
2
×1×3
＝﹣3
4
m2+2m+
3
4
，
＝﹣3
4
（m﹣
4
3
）2+
25
12
，
∵﹣3
4
＜0，根据二次函数和图象及性质知，当m＝
4
3
时，S有最大值
25
12
；
（3）由（2）知E（0，1），
又∵A （﹣1，0），
∴OA ＝OE ＝1，
∴△OAE 是等腰直角三角形，
∴AE
又∵AB ＝BC
＝2
AB ＝
， ∴BE ＝AB ﹣AE
，
∴12
BE BC ==， 又∵
12
OD BD =， ∴BE OD BC BD =， 又∵∠ODB ＝∠EBC ＝90°，
∴△ODB ∽△EBC ，
∴∠OBD ＝∠ECB ，
延长CE ，交抛物线于点Q ，则此时直线QC 与直线BC 所夹锐角等于∠OBD ，
设直线CE 的解析式为y ＝mx+1，
将点C （3，0）代入，
得，3m+1＝0，
∴m ＝﹣
13
， ∴y CE ＝﹣13x+1， 联立21322113y x x y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
， 解得，30x y =⎧⎨=⎩或13109x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴点Q 的坐标为（﹣13，109
）．
【点睛】
本题是一道关于二次函数的综合题目，巧妙利用二次函数的性质是解题的关键，根据已知条件可得出抛物线的解析式是解题的基础，难点是利用数形结合作出合理的辅助线.
20．某校九年级（1）班甲、乙两名同学在5次引体向上测试中的有效次数如下：
甲：8，8，7，8，1.乙：5，1，7，10，1．
甲、乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：
平均数众数中位数方差
甲8 b8 0.4
乙a 1 c 3.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中a=_______，b=_______，c=_______．（填数值）
（2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是
_______________________________________.班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少1次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是
_______________________________________．
（3）乙同学再做一次引体向上，次数为n，若乙同学6次引体向上成绩的中位数不变，请写出n的最小值．
【答案】（1）2；2；1（2）甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是1，众数是1，获奖可能性较大.（3）n=.
9
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的计算方法分别计算结果，得出答案；
（2）选择甲，只要看甲的方差较小，发挥稳定，选择乙由于乙的众数较大，中位数较大，成绩在中位数以上的占一半，获奖的次数较多；
（3）加入一次成绩为n 之后，计算6个数的平均数、众数、中位数，做出判断．
【详解】解：（1）甲的成绩中，2出现的次数最多，因此甲的众数是2，即b=2，
（5+1+7+1+10）÷5=2．即a=2，
将乙的成绩从小到大排列为5，7，1，1，10，处在第3位的数是1，因此中位数是1，即c=1， 故答案为：2，2，1．
（2）甲的方差为0.4，乙的方差为3.2，
选择甲的理由是：甲的方差较小，比较稳定，
选择乙的理由是：乙的中位数是1，众数是1，获奖可能性较大，
（3）若要中位数不变，按照从小到大排列为：5，7，1，1，n ，10，或5，7，1，1，10，n ， 可得n 最小值为1.
【点睛】
本题考查了平均数、中位数、众数的意义和计算方法，明确各个统计量的意义，反映数据的特征以及计算方法是正确解答的关键．
21．解一元二次方程：x 2﹣2x ﹣3＝1．
【答案】x 1＝﹣1，x 2＝2．
【分析】先把方程左边分解，原方程转化为x+1＝1或x ﹣2＝1，然后解一次方程即可．
【详解】解：∵x 2﹣2x ﹣2＝1，
∴（x+1）（x ﹣2）＝1，
∴x+1＝1或x ﹣2＝1，
∴x 1＝﹣1，x 2＝2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法：配方法、公式法和因式分解法．三种方法均可解出方程的根，这里选用的是因式分解法．
22．如图1是一种折叠台灯，将其放置在水平桌面上，图2是其简化示意图，测得其灯臂AB 长为28,cm 灯翠BC 长为15cm ,底座AD 厚度为3,cm 根据使用习惯，灯臂AB 的倾斜角DAB ∠固定为60，
(1)当BC 转动到与桌面平行时,求点C 到桌面的距离；
(2)在使用过程中发现，当BC 转到至145ABC ∠=时，光线效果最好，求此时灯罩顶端C 到桌面的高度(参
考数据250.4, 250.9, 250. 5sin cos tan ≈≈≈，结果精确到个位).
【答案】（1）点C 到桌面的距离为26.8cm ；（2）灯罩顶端C 到桌面的高度约为32.8cm ．
【分析】（1）作CM ⊥EF 于M ，BP ⊥AD 于P ，交EF 于N ，则CM ＝BN ，PN ＝3，由直角三角形的性质得出AP ＝12AB ＝14，BP ＝3AP ＝143，得出CM ＝BN ＝BP ＋PN ＝143＋3即可； （2）作CM ⊥EF 于M ，作BQ ⊥CM 于Q ，BP ⊥AD 于P ，交EF 于N ，则∠QBN ＝90°，CM ＝BN ，PN ＝3，由（1）得QM ＝BN ，求出∠CBQ ＝25︒，由三角函数得出CQ ＝BC ×sin25︒，得出CM ＝CQ ＋QM 即可． 【详解】解()1当BC 转动到与桌面平行时，
如图2所示:作CM EF ⊥于,M BP AD ⊥于P ,交EF 于N 则,3,CM BN PB ==
60,DAB ∠=
30ABP ∴∠=，3143BP AP ==
()143314 1.7326.8CM BN BP PN cm ∴==+=+≈⨯+=
即点C 到桌面的距离为26.8cm ;
()2作CM EF ⊥于M ，作BQ CM ⊥于,Q BP AD ⊥于P ，交EF 于N ,如图3所示:
则90,,3QBN CM BN PN ∠=︒==，
由()1得26.8QM BN ==
60.30DAB ABP ∠=︒∴∠=︒，
145,145903025ABC CBQ ∠=︒∴∠=︒-︒-︒=︒
在Rt BCQ ∆中，sin ,sin 25150.46CQ CBQ CQ BC BC
∠=∴=⨯︒≈⨯=
()
∴=+=+=,
CM CQ QM cm
626.832.8
即此时灯罩顶端C到桌面的高度约为32.8cm.
【点睛】
本题考查了解直角三角形、翻折变换的性质、含30︒角的直角三角形的性质等知识；通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）．
（1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长；
（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．
【答案】（1）5cm；（1）最大值是800cm1．
【分析】（1）设剪掉的正方形的边长为x cm，则AB=（40-1x）cm，根据盒子的底面积为484cm1，列方程解出即可；
（1）设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm1，侧面积=4个长方形面积；则y=-8x1+160x，配方求最值．
【详解】（1）设剪掉的正方形的边长为x cm，
则（40﹣1x）1＝900，
即40﹣1x＝±30，
解得x1＝35（不合题意，舍去），x1＝5；
答：剪掉的正方形边长为5cm；
（1）设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm1，
则y与x的函数关系式为y＝4（40﹣1x）x，
即y＝﹣8x1+160x，
y＝﹣8（x﹣10）1+800，
∵﹣8＜0，
∴y有最大值，
∴当x＝10时，y最大＝800；
答：折成的长方体盒子的侧面积有最大值，这个最大值是800cm1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的最值问题，根据几何图形理解如何建立一元二次方程和函数关系式是解题的关键；明确正方形面积=边长×边长，长方形面积=长×宽；理解长方体盒子的底面是哪个长方形；解题时应该注意如何利用配方法求函数的最大值．
24．已知反比例函数的图像经过点（2，-3）．
（1）求这个函数的表达式．
（2）点（-1，6），（3，2）是否在这个函数的图像上？
（3）这个函数的图像位于哪些象限？函数值y随自变量x的增大如何变化？
【答案】（1）y=-6
x
；（2）(-1，6)在函数图像上，(3，2)不在函数图像上；（3）二、四象限，在每个象限
内，y随x的增大而增大．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）根据图象上点的坐标特征，把点(﹣1，6)，(3，2)代入解析式即可判断；（3）根据反比例函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）设反比例函数的解析式为y
k
x
=(k≠0)．
∵反比例函数的图象经过点(2，﹣3)，∴k=2×(﹣3)=﹣6，
∴反比例函数的表达式y
6
x =-；
（2）把x=﹣1代入y
6
x
=-得：y=6，
把x=3代入y
6
x
=-得：y=﹣2≠2，
∴点(﹣1，6)在函数图象上，点(3，2)不在函数图象上．
（3）∵k=﹣6＜0，
∴双曲线在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法以及反比例函数的性质是解答本题的关键．
25．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x 元，平均月销售量为y件．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？
（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元；（3）当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．
【分析】（1）当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．从而用60减去x，再除以10，就是降价几个10元，再乘以20，再把80加上就是平均月销售量；
（2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于1800，解方程即可；
（3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求得取最大利润时的x值及最大利润．
【详解】解：（1）由题意得：y＝80+20×60 10
x
∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200（30≤x≤60）
（2）由题意得：
（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800
解得x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）
答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．（3）设每月获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450
＝﹣2（x﹣65）2+2000
∵﹣2＜0
∴当x≤65时，w随x的增大而增大
∵30≤x≤60
∴当x＝60时，w最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950
答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．
【点睛】
本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性．26．已知关于x的方程2
210
x kx
+-=
①求证：方程有两个不相等的实数根．
②若方程的一个根是1,
x=-求另一个根及k的值．
【答案】①详见解析；②
11 2
x=，k=1
【分析】①求出∆，即可证出结论；
②设另一根为x1，根据根与系数的关系即可求出结论．
【详解】①解：∆=k2+8＞0
∴方程有两个不相等实数根
②设另一根为x1，由根与系数的关系：
1
1
1
1
2
1
2
x k
x
⎧
-+=-
⎪⎪
⎨
⎪-=-
⎪⎩
∴1
1
2
x=
，k=1
【点睛】
此题考查的是判断一元二次方程根的情况和根与系数的关系，掌握∆与根的情况和根与系数的关系是解决此题的关键．
27．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足1
a++（a+b+3）2＝0，平等四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝
k
x
经过C、D两点．
（1）a＝，b＝；
（2）求D点的坐标；
（3）点P在双曲线y＝k
x
上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求
满足要求的所有点Q的坐标；
（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，
交AB于N，当T在AF上运动时，MN
HT
的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出
其值，并给出你的证明．
【答案】（1）﹣1，﹣2；（2）D（1，4）；（3）Q1（0，6），Q2（0，﹣6），Q3（0，2）；（4）不变，MN HT
的
定值为1
2
，证明见解析
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值；
（2）故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
（3）由（2）知k＝4可知反比例函数的解析式为y＝4
x
，再由点P在双曲线y＝
4
x
上，点Q在y轴上，
设Q（0，y），P（x，4
x
），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
（4）连NH、NT、NF，易证NF＝NH＝NT，故∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，∠TNH＝∠TAH＝90°，MN＝1
2 HT
由此即可得出结论.
【详解】解：（1（a+b+3）2＝0≥0，（a+b+3）2≥0，
∴
10
30 a
a b
+=
⎧
⎨
++=
⎩
，
解得：
1
2
a
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
,
故答案是：﹣1；﹣2；
（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），∵E为AD中点，
∴x D＝1，
设D（1，t），
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴C（2，t﹣2）．
∴t＝2t﹣4,
∴t＝4,
∴D（1，4）；
（3）∵D（1，4）在双曲线y＝k
x
上，
∴k＝xy＝1×4＝4,
∴反比例函数的解析式为y＝4
x
，
∵点P在双曲线y＝k
x
上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，4
x ），
①当AB为边时：如图1所示：
若ABPQ为平行四边形，则
1
2
x
-+
＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示：
若ABQP为平行四边形，则
1
22
x
-
=，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；
②如图3所示：
当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴
1
22
x
-
=，解得x＝﹣1，
∴P 3（﹣1，﹣4），Q 3（0，2）；
综上所述，Q 1（0，6）；Q 2（0，﹣6）；Q 3（0，2）；
（4）如图4，连接NH 、NT 、NF ，
∵MN 是线段HT 的垂直平分线，
∴NT ＝NH ，
∵四边形AFBH 是正方形，
∴∠ABF ＝∠ABH ，
在△BFN 与△BHN 中，
BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
∴△BFN ≌△BHN （SAS ），
∴NF ＝NH ＝NT ，
∴∠NTF ＝∠NFT ＝∠AHN ，
四边形ATNH 中，∠ATN+∠NTF ＝180°，而∠NTF ＝∠NFT ＝∠AHN ，
所以，∠ATN+∠AHN ＝180°，所以，四边形ATNH 内角和为360°，
所以∠TNH ＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∴MN ＝
12
HT ， ∴MN HT ＝12
, 即MN HT 的定值为12. 【点睛】
此题考查算术平方根的非负性，平方的非负性，待定系数法求函数的解析式，正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽1．8米，最深处水深1．2米，则此输水管道的直径是（）
A．1．5 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】试题分析：设半径为r，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，则AD=1
2
AB=
1
2
×1.8=1.4
米，设OA=r，则OD=r﹣DE=r﹣1.2，在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2，即r2=1.42+（r﹣1.2）2，解得r=1.5米，故此输水管道的直径=2r=2×1.5=1米．故选B．
考点：垂径定理的应用．
2．下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．圆B．正方形C．矩形D．平行四边形
【答案】D
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】A．圆是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】
此题考查的是中心对称图形和轴对称图形的识别，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解决此题的关键．
3．如图，O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120，那么圆心O到弦AB的距离等于（）
A．1B．3C．2D．23
【答案】C
【分析】过O作OD⊥AB于D,根据等腰三角形三线合一得∠BOD=60°，由30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可.
【详解】解：过O作OD⊥AB，垂足为D,
∵OA=OB,
∴∠BOD=1
2
∠AOB=
1
2
×120°=60°,
∴∠B=30°,
∴OD=1
2
OB=
1
2
×4=2.
即圆心O到弦AB的距离等于2.
故选：C.
【点睛】
本题考查圆的基本性质及等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，解直角三角形是解答此题的关键.
4．若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为“V”或，如756，326，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的槪率为（）
A．1
6
B．
1
5
C．
1
3
D．
1
9
【答案】C
【分析】首先将所有由2，3，4这三个数字组成的无重复数字列举出来，然后利用概率公式求解即可．【详解】解：由2，3，4这三个数字组成的无重复数字为234，243，324，342，432，423六个，而“V”数有2个，即324，423，
故从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为21 63 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是用列举法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
5．若x ＝2是关于x 的一元二次方程x 2﹣ax ＝0的一个根，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．2
D ．﹣2
【答案】C
【分析】将x=2代入原方程即可求出a 的值．
【详解】将x ＝2代入x 2﹣ax ＝0，
∴4﹣2a ＝0，
∴a ＝2，
故选：C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
6．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】A
【详解】解：根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此， A 、不是中心对称图形，故本选项正确；
B 、是中心对称图形，故本选项错误；
C 、是中心对称图形，故本选项错误；
D 、是中心对称图形，故本选项错误．
故选A ．
7．若关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ＜1且k ≠0
B ．k ≤1且k ≠0
C ．k ≥﹣1且k ≠0
D ．k ＞﹣1且k ≠0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：△＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≤1且k≠0，
故选：B ．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
8．把抛物线22y x =-向右平移l 个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A ．22(1)3y x =-+-
B ．22(1)3y x =--+
C ．22(1)3y x =-++
D ．22(1)3y x =---
【答案】D 【分析】根据题意原抛物线的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（1，-3），根据抛物线的顶点式求解析式．
【详解】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（1，-3），
∴平移后抛物线解析式为22(1)3y x =---．
故选：D ．
【点睛】
本题考查抛物线的平移与抛物线解析式的联系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．
9．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m （am+b ）（m≠1的实数）．
其中正确的结论有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】A 【分析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；当x ＝﹣1时图象在x 轴上得到y ＝a ﹣b+c ＝0，即a+c ＝b ；对称轴为直线x ＝1，可得x ＝2时图象在x 轴上方，则y ＝4a+2b+c ＞0；利用对称轴x ＝﹣2b a
＝1得到a ＝﹣12b ，而a ﹣b+c ＜0，则﹣12
b ﹣b+
c ＜0，所以2c ＜3b ；开口向下，当x ＝1，y 有最大值a+b+c ，得到a+b+c ＞am 2+bm+c ，即a+b ＞m （am+b ）（m≠1）．
【详解】解：开口向下，a ＜0；
对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，则b ＞0；
抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，c ＞0，则abc ＜0，所以①不正确；
当x ＝﹣1时图象在x 轴上，则y ＝a ﹣b+c ＝0，即a+c ＝b ，所以②不正确；
对称轴为直线x ＝1，则x ＝2时图象在x 轴上方，则y ＝4a+2b+c ＞0，所以③正确；。