东莞市2012—2013学年度第一学期期末教学质量检查理科数学A卷

2012—2013 学年度第一学期期末教课质量检查
高二理科数学（ A 卷）
考生注意：本卷共三大题， 20 小题，满分150 分，时间120 分钟 .禁止使用计算器 .
一、选择题（本大题共10 小题，每题 5 分，共50 分 . 每题各有四个选择支，仅有一个选择支
正确 . 请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）
1．命题“存在x0R ，使得3x00 ”的否认是
A ．不存在x0
x
0 B ．存在x0R，使得3
x0
0 R，使得3
C．对随意的x R ，都有 3x0D．对随意的x R，都有3x0
2．在数列{ a n}中，a11， a n 12a n( n N ) ，则 a5
A. 8
B. 12
C. 16
D. 32
3．空间向量OA(1,1,2)， OB (1,1, 2) ，则OA与OB的夹角为
A.30
B. 60
C.90
D.120
4．在等比数列a n中，前三项分别为 1,q, q2，若将第二项加上2后组成等差数列，则q= A ． 3B．1C．3或1 D ． 2
x2y2
1的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A、B 两点. 5．已知F1、F2为椭圆
9若
25
F2 A F2 B12，则 AB =
A．20B． 8C．6 D ． 2
6．在ABC 中，若 sin A : sin B : sin C3: 2 : 4 ，则 cosC 的值为
A ．2
B．－
2
C．
1
D．－
1 3344
7．若a,b0 ab1”是“b1
为实数，则“”的
a
A.既不充足也不用要条件
B. 充足不用要条件
C. 必需不充足条件
D. 充要条件
8．设双曲线的焦点在y轴上，两条渐近线的方程为y2x ，则该双曲线的离心率e 35
9．给出平面地区如右图的暗影部分，此中 A （1，1）， B （2，5），
C （4，3），若使目标函数z ax y(a0) 获得最小值的最Y
B
C
优解有无量多个，则 a 的值是
2A X B． 4C． 1D．10
A ．
3（第 9 题图）
10．数列{ a n}中，已知a11， a n 1
a n
，记数列 { a n a n 1} 的前n 项和为S n
若
S n a 对
，
2a n1
随意 n N *恒建立，则实数 a 的最小值为
1
B ．2
C． 1
4
A ．
3D ．
23
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡中相应的地点上．）11．已知向量a(2， 1，3)，b(4，x，y) ，若a // b，则x y▲．
12．在ABC 中， AB3， AC5，cos A 3
ABC 的面积等于▲．，则
5
13．过点P(1,1)的直线l与椭圆x 2y 2
431交于 A、 B 两点，且点
P均分弦AB，则直线 l 的方程
是▲．
14．已知等差数列a n的公差 d1，且前 5 项和S515，则a5的最大值为▲．三、解答题（本大题共 6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分 12 分）
已知命题p x R x2mx m0 恒建立，命题q：双曲线y2x2
1的离心率的范围为
：
m (3,2) ．若p q 是假命题，务实数m 的范围．
16．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，已知 A 120 ，AB1，BC
6
AC ．2
（1）求B的大小；
（2）求AC的长．
17．（本小题满分 14 分）
如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为a的正方形，PD平面 ABCD ，PD AD ，
点 E在棱 PB上，且BE 1P BP .
3
（ 1）求证：平面ACE平面 PDB ；
（ 2）求AE与平面PDB所成角的大小；E
D
（ 3）若点F在棱PB上，且DF∥平面ACE，求PF的长 .
A
C
B
（第 17 题图）
18．（本小题满分 14 分）
如图，一变压器的铁芯截面为正十字型
(此中 ABCD 为正方形，
G H
其他四个是全等的矩形
)，为保证所需的磁通量，要求正十字型
D
A
地区的面积为 4 5cm 2 ，设正方形 ABCD 的边长 AB 为 x cm 、
正十字型的高 FG 为 y cm ．
B C
E
F
（第 18 题图）
（ 1）求出 y 对于 x 的函数分析式，并指出该函数的定义域；
（ 2）尝试究，应当如何设计正十字型才能使绕在铁芯上的铜线最节俭（即正十字型的外接圆的周长最短），并求出此时 x 与 y 的值．
19． (本小题满分 14分 )
已知平面内一动点P x，y y 0 到定点 F (0, 2)的距离与到 x 轴的距离的差等于2．
（ 1）求动点P的轨迹 E的方程；
（ 2）设A x0, y0为轨迹E上的点，过点A作两条斜率互为相反数的直线分别与轨迹 E 交于点
B、C （ B、C 是不重合的两点）；点D是点A对于轨迹E的对称轴对称的点，过点 D 作斜率
为 k 的直线 L ，且直线 L 与轨迹E只有一个公共点，证明：直线BC 与直线 L 平行．
20．（本小题满分14 分）
已知 a n log ( n 1) (n 2)(n N * ) ，我们把使乘积 a1 a2 a3a n为整数的数 n 叫做“回数”，这些“回数”组成的数列记为b m( m N * ) ．
（1）求数列b m的通项公式；
（2）求区间1，2012内的全部“回数”的和；
（ 3）证明：1
11 1 ．b1b2b m
2012—2013 学年度第一学期期末教课质量检查
高二理科数学 (A 卷)参照答案及评分标准一、选择题（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分．）
题号12345678910答案D C B C B D A C B A
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．）
11.412. 613.3x 4 y7 014. 5
三、解答题（本大题共 6 小题，共80 分．）
15．（本小题满分 12 分）
已知命题p x R x2mx m
0q2x
2
：恒建立，命题：双曲线y1的离心率的范围为
,m
(3,2) ．若 p q 是假命题，务实数m 的范围．
解：若 p 为真，则有m24m0 ， 2 分因此 0m 4 ． 3 分若 q 为真，则有3e21m 4 ， 5 分
1
因此 2m 3 ． 6 分由于p q 为假命题，因此p 和 q 都为假命题，即p 真 q 假，7 分
由此有0m4,
10 分m
或
m 3.
2
解得 0m2或 3m 4 ，
因此 m 的取值范围是0，23，4 ．12 分16．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，已知 A 120 ，AB1，BC
6
AC．2
（1）求B的大小；（2）求AC的长．
解：（ 1）在ABC 中，由正弦定理得
AC sin A
sin B 1 分
AC sin120 2 3
6
AC
2
2
A 120 0
B 180
120
60
4
B 45
6
2
ABC
BC 2 AB 2
AC 2
2 AB AC cos A
7
6
2
AC 1 AC 2
2 AC cos120
9
2
AC 3 1 AC
3 1
11
AC
3 1
12
1714
P ABCDABCD aPD
ABCD PD
AD
EPB BE
1
BP .
P
3
1ACE PDB
2AEPDB
E
3FPBDF
ACE PF .
D
C
A
B
（第 17 题图）
1D DADCDPXYZ
D xyz
1
z
P
D (0,0,0), A( a,0,0), B(a, a,0), C (0, a,0), P(0,0, a)
AC ( a, a,0) DP (0,0, a) DB (a, a,0)
AB (0, a,0) , BP ( a, a, a) , 3
AC DP
0,AC DB
AC DP AC DB ,
F
E
D
C
y
A x
B
DP
DB
D AC
PDB .
AC ACE
ACE
PDB . 5
2
1
AC PDB PDB AC
a, a,0
AE AB BE AB
1
BP
1
a, 2 a, 1
a
6
3
3
3 3
AC AE
sin
AC AE
[0, ]
2
3F ( x, y, z) x a, y a, z
a 2
3
8
.
2a
6 a
2
3
AEPDB
.9
3
3 FPB BF BP 0
1
a, a, a a,
a, a
x a
a, x (1
)a, y
a a,y
(1 )a,
z
a,
z
a,
DF
((1 )a,(1
)a, a) . 11
面 ACE m
x , y , z
m AC
ax 0 ay 0 0
1m
1,1, 1 .12
AE
1 ax 0
2 ay 0 1 x 0 m
3 3 az 0 0
3
DF 面 ACE m
DF
1
a 1
a a 0
2
13
,
3
2
|BP|
1
|BP|
|PF| |PB|
|BF | |PB|
3
3
1 ( a)
2 ( a) 2 ( a)2 3
a .
14
3
3
1814
(ABCD
H
G
)
A
D
4 5cm 2ABCD AB x cm
FG y cm
B C
E
F
1
yx
（第 18 题图）
（2）尝试究，应当如何设计正十字型才能使绕在铁芯上的铜线最节俭（即正十字型的外接圆
的周长最短），并求出此时 x 与 y 的值．
解：（ 1）设GD h ，则 y x 2h ，由条件知：
x24xh4 5 ，即h45x2． 2 分
4x
由x0,
得 0x24 5 ， 4 分h0,
因此， y x45x245 x2， x 0, 2 4 5 6 分
2x2x
（ 2）设外接圆的圆心为O （明显为正方形ABCD 的中心），半径为R，外接圆的周长最短即R 取最小．7 分由图知， R2( x )2( y)28 分
22
H G
x2( 4 5 x2)2A D
44x
55x25
O
10 分B C
216x2E F
（第 18 题图）
52555512 分
2162
5x25
，即 x245 x 2
51，13分
当且仅当
x2时，等号建立，此时 y
2x
16
因此，当 x2(cm)， y51(cm) 时，R最小，进而外接圆的周长最短，即绕在铁芯上
的铜线最节俭．14 分
19． (本小题满分 14分 )
已知平面内一动点P x，y y 0 到定点 F (0, 2)的距离与到 x 轴的距离的差等于2．
（ 1）求动点P的轨迹 E的方程；
（ 2）设A x0, y0为轨迹E上的点，过点A作两条斜率互为相反数的直线分别与轨迹 E 交于点B， C ；点D是点A对于轨迹E的对称轴对称的点，过点D作斜率为k的直线L，且直线L与
1P x， y F(0, 2)|PF |x2( y2)2P x，y x
y1
x2( y2)2y 2x2y22
y2
2
2
x28 y3 P E x28y4 2 A x0, y0x 28 y y0x02
8
B，C E x12x22
B x1，，
C x2，，
88
x12x02
x1x0x22x02
x2x0
k
AB 88
k AC
88
6 x1x08x2x08
k AB k AC x1x22x0
x22x12
x2x1x0
k BC888 x2x184
DA E D x0 , x
2
L 8
y x02k x x0x28 y x28kx8kx0x02010 8
L E8k 248kx0 x020
k x011 4
k BC k L BCL12 BCLDBC BC
y x12x0x x1x
2
x12x0x0x1x1x013
84884
x1x22x0x1x2B， C BC L14
11
20 14
a n log ( n 1) (n 2)(n N )
a 1 a 2 a 3 a n n “ ”
“ ”
b m m N
1b m
21 ，2012 “ ”
3
1
1
1 1
b 1
b 2 b m
1a n log ( n 1) ( n
2)(n N )
a 1 a 2 a 3
a n log 2 3 log 3 4 log 4 5 log ( n 1) (n 2)
log 2 (n 2)
1
a 1
a 2 a 3
a n log 2 (n
2)log 2 (n 2)
k (k Z)
n 2k 2
2
n
Nk
2b
22
2 2 b
23
2b 2m 1
24
1
2
m
b m b m
2m 1
2 (m
N )
5
2b m
20122m
1
2 20122m
1
2014
210
1024 2014 2048
211m 1 10
m
9
7
1 ，2012
“ ”
b 1 b 2 b 3
b 9 22 23 210 2 9 4 29 1 18 2026
9
3
1
1
1
1
1 1 1 1
1
10
2 23
2 24
2m 1
b 1 b 2
b 3 b m 2 2
1
1
1
2m 1 2 2 2m
2 2m 2m
2
m
22
m
2
1
1
1
1
11
m m
2
m m 1
2
m
2 2
2 2 2
12
3 1
1 1 1 1 1
2 2 2 ， 4 2 2
3 ， ， m 1 2 2 m
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
b 1 b 2
b 3
b m 2 2 2 2
3
2
m
2
m
1
01 1
1
1 1 1 1 2
m
2
m
b 1 b 2
b m
1
1
1
1
1 1
1
1
1
2 23
2 24
2m 1
b 1
b 2 b 3
b m
2
2
1
1
2m
2m 1 2
2 2m
2m 1 2 2m
2m
2m 1
2
2m 2m 1
2
m
2
2 2m
2 0
1
1
2m 2m 1 2m 1
2 2m
1 1 1 1
1 1
3
2 2 2 ， 4
2 2 3
， ，
m 1
2
2
m
2
2 2
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
b 1
b 2 b 3
b m
2 22
23
2 m
m
2
1
01 1
1
1 1
1 1
2m
2m
b 1
b 2
b m
12
13
14
10
11
12
13
14
13。