2020版高考文科数学第一轮复习练习：第八章 立体几何 课后跟踪训练47 (1)

课后跟踪训练(四十七)
基础巩固练
一、选择题
1．(2018·黑龙江大庆月考)有以下三种说法，其中正确的是()
①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；
②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；
③直线a，b满足a∥b，则a平行于经过b的任何平面．
A．①②B．①③
C．②③D．①
[解析]对于①，若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线，是真命题，故①正确；对于②，若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a可能与α平行，故②错误；对于③，若直线a，b满足a∥b，则直线a与直线b可能共面，故③错误．故选D.
[★答案★] D
2．(2019·辽宁丹东期末)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
[解析]由于α，β垂直于同一平面，则α与β平行或相交，利用正方体可判断，故A不正确；若m，n平行于同一平面，则m与n 可能平行、相交或异面，故B不正确；利用正方体中的侧面与底面，侧面的上底面的棱与下底面的棱，能够找到平行线，所以C不正确；D正确．故选D.
[★答案★] D
3．(2019·河北石家庄模拟)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有() A．4条B．6条
C．8条D．12条
[解析]
如图，H，G，F，I是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线，故选B.
[★答案★] B
4．(2019·湖南长沙二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()
A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m∥n，m∥α，则n∥α
C．m⊥α，m⊥β，则α∥βD．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
[解析]对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故A不正确；
对于B，m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故B不正确；
对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；
对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．故选C.
[★答案★] C
5．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体
的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()
[解析]解法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A.
解法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，故选A.
[★答案★] A
二、填空题
6．(2019·广东顺德质检)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，P A⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面P AD的位置关系为________．[解析]取PD的中点F，连接EF、AF，
在△PCD中，EF綊1
2CD.
又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB ， ∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF . 又∵EB ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD . [★答案★] 平行
7．(2018·湖南株洲调研)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 为CD 上一点．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．
[解析] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝1
2AC ＝ 2.
[★答案★]
2
8．棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．
[解析] 由面面平行的性质知截面与面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为9
2.
[★答案★] 9
2 三、解答题 9.
如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
[证明]
如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又MO⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，
∴P A∥平面BMD.
∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，
且P A⊂平面P AHG，
∴P A∥GH.
10.
(2019·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当A1D1
D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求AD
DC的值．
[解](1)
如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时A1D1
D1C1＝1.连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B 的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当A 1D 1
D 1C 1
＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.
(2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，得BC 1∥D 1O ，∴A 1D 1D 1
C 1
＝A 1O OB ，
又由题(1)可知A 1D 1D 1C 1
＝DC AD ，A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即AD
DC ＝1.
能力提升练
11．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a
3，
则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直
D ．不能确定
[解析] 连接CD 1、AD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a
3，连接MP 、NP ，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1∥BC 1，∴MP ∥平面BB 1C 1C ，PN ∥平面BB 1C 1C ，∴平面MNP ∥平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.
[★答案★] B
12．(2018·江西高安期末)三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()
①CC1与B1E是异面直线；
②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；
③AC⊥平面ABB1A1；
④A1C1∥平面AB1E.
A．②B．①③
C．①④D．②④
[解析]对于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C内，故错误；对于②，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以AE⊥BC，又B1C1∥BC，故AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1，故正确；对于③，上底面
ABC是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故错误；对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误．故选A.
[★答案★] A
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D 的中心，点Q是B1D1上一点，且PQ∥面AB1，则线段PQ长为__________．
[解析]连接AB1、AD1，
∵点P是平面AA1D1D的中心，
∴点P是AD1的中点，
∵PQ∥平面AB1，
PQ⊂平面D1AB1，
平面D1AB1∩平面AB1＝AB1，
∴PQ∥AB1，
∴PQ＝1
2AB1＝
2 2.
[★答案★]
2 2
14．如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求证：EF∥平面β；
(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．
[解](1)证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.
∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.
又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β.
②当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD∩平面β＝DH，且DH＝AC，
∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，
∴AC∥DH，
∴四边形ACDH是平行四边形，
在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，连接EG，FG，BH.
又∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，
∴GF∥HD，EG∥BH.
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，
∴平面EFG∥平面β.
又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面β.
综合①②可知，EF∥平面β.
(2)如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴ME ∥BD ，MF ∥AC ，
且ME ＝12BD ＝3，MF ＝12AC ＝2.
∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角或其补角，∴∠EMF ＝60°或120°. ∴在△EFM 中，由余弦定理得
EF ＝ME 2＋MF 2－2ME ·MF ·cos ∠EMF
＝ 32＋22±2×3×2×12
＝13±6，
即EF ＝7或EF ＝19.
拓展延伸练
15．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值；③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值．
其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 由题图，显然①是正确的，②是错的；
对于③因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，
所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，
所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)．
所以③是正确的；
因为水是定量的(定体积V )．
所以S△BEF·BC＝V，即1
2BE·BF·BC＝V.
所以BE·BF＝2V
BC(定值)，即④是正确的，故选C.
[★答案★] C
16.
(2019·河北承德模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC 的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
[解析]连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1.
∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
[★答案★]点M在线段FH上(或点M与点H重合)
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