小学奥数题库《数论》因数和倍数-因数的个数定理-0星题(含解析)

数论-因数和倍数-因数的个数定理-0
星题
课程目标
知识提要
因数的个数定理
•因数的个数定理因数的个数等于不同质因数的指数分别加1后再相乘的积。

•因数个数性质当因数个数为奇数的时候，这个数一定是完全平方数．
精选例题
因数的个数定理
1. 自然数N有20个正约数，N的最小值为．
【答案】240
【分析】先将20写成几个数相乘的形式，再写成几个和的积的形式，最后利用约数个数的公式解题：
①20=20×1=19+1，N的最小值为：219=524288，
②20=2×10=(9+1)×(1+1)，N的最小值为：29×3=1536，
③20=4×5=(4+1)×(3+1)，N的最小值为：24×33=432，
④20=2×2×5=(4+1)×(1+1)×(1+1)，N的最小值为：24×31×51=240．
2. 1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数．
【答案】6个
【分析】1001的倍数可以表示为1001k，由于1001=7×11×13，如果k有不同于7，11，13
的质因数，那么1001k至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为
(a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1)⋯(a n+1),
其中n⩾4．如果这个数恰有1001个约数，那么
(a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1)⋯(a n+1)=1001=7×11×13,
但是1001不能分解成4个大于1的数的乘积，所以n⩾4时不合题意，即k不能有不同于7，11，13的质因数．那么1001k只有7，11，13这3个质因数．设1001k=7a×11b×13c，那么
(a+1)(b+1)(c+1)=1001,
a+1、b+1、c+1分别为7，11，13，共有3!=6种选择，每种选择对应一个1001k，所以1001的倍数中共有6个数恰有1001个约数．
3. 一个自然数有10个不同的因数〔即约数，指能够整除它的自然数〕，但质因数〔即为质数
的因数〕只有2与3．那么，这个自然数是．
【答案】162或48
【分析】设这个数为2a×3b〔a、b均为正整数〕，由题意可知
(a+1)×(b+1)=10=2×5
所以
a=1,b=4
或
a=4,b=1
所以这个自然数是
21×34=162
或
24×31=48
4. A数有7个因数，B数有12个因数，且A、B的最小公倍数[A,B]＝1728，那么B=．
【答案】108
【分析】1728=26×33，所以A、B质因数只能有2和3，又由于A有7个因数，而7是一个质数，所以A分解质因数的形式只能有A=26，设B=2k×33，那么(k+1)×(3+1)=12，得k=
2所以B=22×33=108．
5. 有一列数，第1个是1，从第2个数起，每个数比它前面相邻的数大3，最后一个数是100，将这些数相乘，那么在计算结果的末尾中有个连续的零．
【答案】9
【分析】这一列数为1，4，7，⋯，100，要求他们相乘的积中0的个数，找到因数2和5的个数
即可，又因为因数2的个数远多于5的个数，所以找到5的个数即为积中末尾0的个数，5的倍数
有10，25，40，55，70，85，100共9个5，所以有9个0．
6. 算式1×8×15×22×⋯×2010的乘积末尾有个连续的0．
【答案】72
【分析】详解：乘数15、50、85、⋯、2010中含有因数5，都除以5得到3、10、17、⋯、402；其中10、45、⋯、395还含有因数5，都除以5，得到2、9、16、⋯、79．其中30、65里还含
有因数5．我们第一次除掉了2010−15
35+1=58个5，第二次除掉了395−10
35
+1=12个5，最后还
剩下两个因数5．说明1×8×15×22×⋯×2010含有58+12+2=72个约数5，由于其中含
有的约数2是足够多的，因而的0的个数就等于约数5的个数，是72个．
7. 一个正整数除以3!后所得结果中因数个数变为原来因数个数的1
3
，那么符合条件的A最小是．【答案】12
【分析】设
A=2x×3y×p1a1×p2a2×p3a3×⋯⋯×p n a n,
那么
B=A÷3!=2x−1×3y−1×p1a1×p2a2×p3a3×⋯⋯×p n a n,
那么
(x+1)(y+1)(a1+1)(a2+1)⋯⋯(a n+1)
=3[xy(a1+1)(a2+1)(a n+1)],
即
(x+1)(y+1)=3xy
xy都取1不满足此式，所以取x=2，y=1，a1=a2=⋯=a n=0得到最小值12
8. 60的不同约数〔1除外〕的个数是．
【答案】11
【分析】
60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10.
60的约数〔1除外〕有：2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，共11个．
9. 100名同学，编号为1～100，面向南站成一排，第1次全体同学向右转；第2次编号为2的倍
数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；如此下去；第100次编号为100的倍数
的同学向右转；这时，面向东的同学有名？
【答案】5
【分析】转3次或者7次面向东，转的次数为该编号的因数个数，所以有3个因数的数为：4，9，25，49；有7个因数的数为64；共5名．
10. 从1到400这400个自然数中，有奇数个因数的自然数有个，有且仅有3个因数的有个．
【答案】20；8
【分析】202=400，故拥有奇数个因数的数有20个；20以内的质数有8个，故有3个因数的数
有8个．
11. [A]表示自然数A的约数的个数．例如4有1，2，4三个约数，可以表示成[4]=3．计算：([18]+[22])÷[7]=．
【答案】5
【分析】因为18=2×32，有约数个为
(1+1)×(2+1)=6(个),
所以[18]=6，同样可知[22]=4，[7]=2．
原式=(6+4)÷2=5.
12. 1222×1223×1224×⋯⋯×2006×2007×2008的积的末尾有个零．
【答案】198
【分析】乘积结尾0的个数取决于乘积中2和5这两个因数的个数，由于是连续自然数的乘积，
5的个数肯定少于2的个数，所以只需要计算乘积中5的个数即可．
是5的倍数的：1225、1230⋯⋯2005，共157个数；
是25的倍数的：1225、1250⋯⋯2000，共32个数；
是125的倍数的：1250⋯⋯2000，共7个数；
是625的倍数的：1250、1875，共2个数；所以因数5的个数是157+32+7+2=198(个)．13. 数学小组原方案将72个苹果发给学生，每人发的苹果数量一样多，后来又有6人参加小组，
这样每个学生比原方案少发了1个苹果．那么，原来有名学生．
【答案】18
【分析】前后两次每人分到的苹果数量相差1，且都是72的因数，72的相差1的因数对有(1,2)、(2,3)、(3,4)和(8,9)，经试因数对(3,4)符合要求：前后人数分别为
72÷4=18(人)
和
72÷3=24(人).
14. 两数乘积为2800，而且己知其中一数的因数个数比另一数的因数个数多1，那么这两个数
分别是、．
【答案】16、175
【分析】先将2800分解质因数：2800=24×52×7，由于其中一数的因数个数比另一数的因
数个数多1，所以这两个数中有一个数的因数为奇数个，这个数必为完全平方数．又是2800的
因数，故这个数只能为22、24、52、22×52或24×52，另一个数相应地为22×52×7、52×7、24×7、22×7或7．经检验，只有两数分别为24和52×7时符合条件，所以这两个数分别是16
和175．
15. 能被210整除且恰有210个约数的数有个．
【答案】24个
【分析】210=2×3×5×7，所以原数肯定含有2，3，5，7这四个质因子，而且幂次一定按
照某种顺序是1，2，4，6，可以任意排列，所以有4!=24个
16. 老师用0至9这十个数字组成了五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别
给了A、B、C、D、E这五名聪明且老实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发
生如下对话：
A说：“我的数最小，而且是个质数．〞
B说：“我的数是一个完全平方数．〞
C说：“我的数第二小，恰有6个因数．〞
D说：“我的数不是最大的，我已经知道ABC三人手中的其中两个数是多少了．〞
E说：“我的数是某人的数的3倍．〞
那么这五个两位数之和是．
【答案】180
【分析】A的话可知，A的十位是1，又因为是质数，所以A有可能是13，17，19；
C能断定自己的数第二小，且有6个因数，所以可能是20，28，32；
B是完全平方数，但不能含有1和2，所以B有可能是36，49，64；
D能断定自己不是最大的，说明他的数是53或54或十位数不超过4，但大于等于34；
E是某人的数的3倍，由上面信息可知，只能是A，且推得A为19，那么E为57
最后根据D能知道ABC三人手中两个数，试验可知，BCD手中数分别为36，28，40
综上所述，五个两位数之和是180
17. 大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它们自身的2倍，那么这样的数称为完美数或
完全数．比方，6的所有因数为1，2，3，6，1+2+3+6=12，6就是最小的完美数，是否
有无限多个完美的数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的
所有因数之和开始，81的所有因数之和为．
【答案】121
【分析】81的所有因数为：1，3，9，27，81，所以因数之和为1+3+9+27+81=121．18. 自然数甲有10个约数，那么甲的10倍的约数个数可能是．
【答案】40、22、18、30或24
【分析】详解：甲含有约数2、5的情况与否，会影响最终的约数个数，分情况讨论，得约数个数有五种可能：40、22、18、30和24．例如：29、24×5、24×7、2×74、79的10倍分别有22、18、24、30、40个约数．
19. 自然数N有45个正约数，N的最小值为．
【答案】3600
【分析】正约数个数的求法：分解质因数后，每个指数加1的连乘积45=3×3×5，容易知道，指数比拟小，原数比拟小．质因子比拟小，原数比拟小，因此原数最小是24×32×52=3600．20. 2010的全部约数有个，这些约数的和数是．
【答案】16；4896
【分析】详解：2010=2×3×5×67，约数有(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16个，约数之和是(1+2)×(1+3)×(1+5)×(1+67)=4896．
21. 整除2015的数称为2015的因数，1和2015显然整除2015，称为2015的平凡因数，除了平凡因数，2015还有一些非平凡因数，那么，2015的所有非平凡因数之和为．
【答案】672
【分析】〔解法一〕
2015=5×13×31
2015所有的约数和为
(50+51)×(130+131)×(310+311)=6×14×32=2688
2015的所有非平凡因数之和为
2688−1−2015=672
〔解法二〕由于该数比拟小，可以直接写出2015的所有约数
2015=1×2015=5×403=13×155=31×65
2015的所有非平凡因数之和为
5+403+13+155+31+65=672
22. S=1
9+1
99
+1
999
+⋯+1
99⋯9
⏟
10000个9
那么S的小数点后第2016位是．
【答案】6
【分析】首先，
1 99⋯9
⏟
n个9=0.0
⋅
0⋯0
⏟
n−1个0
1
⋅
即小数点后第n，2n，3n，…位都是1，其它为都是0所以当n是2016的因数时，1
99⋯9
⏟
n个9
化成小数
后，小数点后第2016位是1，其余情况小数点后第2016位是0.2016=25×32×7,有36个因数，在不考虑进位的情况下，这一位上有36个1相加，这一位的数字是6，下面考虑进位，因为2017是质数，所以2017位上只有2个1相加，单独不构成进位，而2018=1009×2，有4个因数，本身也缺乏以向第2018位进位，显然2019位即以后都缺乏以进位到2016为，所以第2016
位是6
【解】
23. A和B是两个非零自然数，A是B的24倍，A的因数个数是B的4倍，那么A与B的和最小是．【答案】100
【分析】
{B=2
A=48=24×3
B的因数个数为2，A的因数个数为
5×2=10
不符合要求；
{B=3
A=72=23×32
B的因数个数为2，A的因数个数为
4×3=12
不符合要求；
{B=4=22
A=96=25×3
B的因数个数为3，A的因数个数为
6×2=12,
符合要求；
可见A+B的最小值为
4+96=100
24. 在自然数中，恰好有4个约数的两位数共有个．
【答案】30
【分析】恰有4个约数的自然数形如：a3或ab．〔其中a、b为不同的质数〕
满足题意的两位数从小到大有以下30个：〔枚举时最好按一定的顺序，还可以按其他顺序进行枚举〕
10，14，15，21，22，26，27，33，34，35，
38，39，46，51，55，57，58，62，65，69，
74，77，82，85，86，87，91，93，94，95．
25. 四位数双成成双的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数
成双双成有个因数．
【答案】12
【分析】双成成双共有3＋39＝42个因数，且有3个质因数，所以它的质因数分解形式为
双成成双＝a×b2×c6,
而
双成成双
＝双00双+成成0̅
＝双×1001＋成×110
＝11×(双×91＋成×10)
所以三个质因数中有一个是11，所以双成成双＝a×b2×c6,至少是
11×32×26＝6336,
稍微大一点点就是
11×52×26＝17600,
已经是五位数了，所以双成成双＝6336，双＝6,成＝3所以
成双双成＝3663＝32×11×37,
有3×2×2＝12个因数．
26. 能够被1到11的所有自然数整除的最小自然数为．
【答案】27720
【分析】1到11这11个数分解质因数后所包含的质数有2、3、5、7、11，因此这个自然数最少包含质因数2、3、5、7、11．
1=11，2=21，3=31，4=22，5=51，6=2×3，
7=71，8=23，9=32，10=2×5，11=111，
所以这个自然数最小为
23×32×51×71×111=27720
27. 2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．那么这些自然数共有个．
【答案】11个
【分析】2008−10=1998一定能被这些数整除，且这些数一定大于10，1998=
2×3×3×3×37．1998的因数一共有：(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个．其中小于10的有：1，2，3，6，9那么大于10的因数有16−5=11个．即这些自然数共有11个．
28. 所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个因数？
【答案】6
【分析】设70的N倍恰有70个因数．70=2×5×7，有：(1+1)×(1+1)×(1+1)=23= 8，因为8不整除70，所以N内可能有2、5、7．假设有4个不同质因数，但70只能表示为
2×5×7，所以N内必含2、5、7中几个，即70N=2a+1×5b+1×7c+1，(a+1+1)×(b+
1+1)×(c+1+1)=70，a,b,c分别是0，3，5中一个．N为23×53，23×73，25×23，
25×73，53×75，55×73，一共6组．
29. 有20个约数，且被42整除最小的自然数是．
【答案】336
【分析】因为被42整除，所以一定含有质因数2，3，7．
20=1×20=2×10=4×5=2×2×5,
有20个约数的自然数有：因为必须含有3个不同的质因数，所以最小的只能是：
2×2×2×2×3×7=336;
所以有20个约数且被42整除的最小自然数是336．
30. 恰好有12个不同因数的最小的自然数为．
【答案】60
【分析】
12=12×1=6×2=4×3=3×2×2
所以，有12个因数的数对应的质因数分解形式分别是：A11，A5×B，A3×B2，A2×B×C，这四种形式下的最小自然数分别是：2048，96，72，60，所以符合要求的数是60．
31. 从2016的因数中选出不同的假设干个数写成一圈，要求相邻位置的两个因数互质，那么最
多可以写出个因数．
【答案】12
【分析】
2016=25×32×7,
所以2016的奇因数有
(2++1)×(1+1)=6个
2016的偶因数有
5×(2++1)×(1+1)=30个.
假设排列最多的可能一定是“奇偶奇偶……〞，所以最多一圈有12个；假设有13〔或以上〕个因数，那么必有两偶数相邻，构造12个数的情况：1,2,3,14,9,4,7,8,21,16,63,32圈成一圈．32. 偶数A不是4的倍数，它的约数个数为12，求4A的约数个数．
【答案】24
【分析】由于A是偶数但是不是4的倍数，所以A只含1个因子2，可将A分解成A=21×B，其
中B奇数，根据约数个数定理，它的约数个数为(1+1)×N=12，那么4A=8B=23×B，所以它的约数个数为(1+3)×N=24个．
33. 在小于1000的正整数中，有多少个数有奇数个约数？
【答案】31
【分析】详解：平方数有奇数个约数．1000以内的平方数有12，22，32，⋯，312，因此有31
个数有奇数个约数．
34. 一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是多少？
【答案】74
【分析】最大的约数是这个自然数本身，因此它是次大约数的倍数．它们的和也应该为次大约
数的倍数．111=3×37，次大约数为37时满足条件，这个自然数为74．
35. 在1到100中，恰好有6个因数的数有多少个？
【答案】16个
【分析】6=1×6=2×3，故6只能表示为(5+1)或(1+1)×(2+1)，所以恰好有6个因数
的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以
内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：
22×322×522×722×1122×1322×1722×1922×23⋯⋯8个
32×232×532×732×11⋯⋯4个
52×252×3⋯⋯2个
72×2⋯⋯1个
所以符合条件的自然数一共有1+8+4+2+1=16个．
36. 79、128、180分别有多少个约数？
【答案】2；8；18
【分析】简答：提示，牢记计算约数个数的公式．并能准确分解质因数．
37. 数270的因数有多少个？这些因数中奇因数有多少个？
【答案】16个，8个
【分析】270=33×2×5，因数的个数为(3+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)，奇因数个数
为(3+1)×(1+1)=8(个)．
38. 数240的因数有多少个？这些因数中偶因数有多少个？
【答案】20个；16个
【分析】240=24×3×5，因数的个数为(4+1)×(1+1)×(1+1)=20(个)，奇因数个数
为(1+1)×(1+1)=4(个)，偶因数有20−4=16(个)．
39. 在三位数中，恰好有9个因数的数有多少个？
【答案】7个
【分析】由于9=1×9=3×3，根据因数个数公式，可知9个因数的数可以表示为一个质数
的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有28=256符合条件，后者中
符合条件有22×52=100、22×72=196、22×112=484、22×132=676、32×52=225、32×72=441，所以符合条件的有7个．
40. 240有多少个约数？其中有多少个奇约数？有多少个约数是3的倍数？
【答案】20个；4个；10个
【分析】简答：240=24×3×5，有(4+1)×(1+1)×(1+1)=20个约数．奇约数即不含
有因子2，有(1+1)×(1+1)=4个奇约数，有(4+1)×(1+1)=10个约数是3的倍数．
41. a，b均为质数且不相等，假设A=a3b2，那么a有多少个因数？假设B=9A，那么B有多少个因数？假设C有6个因数，那么C2有多少个因数？
【答案】12；36个或18个或20个；11个或15个
【分析】A有(3+1)×(2+1)=12个因数．B=9A=32a3b2，
假设a和b都不是3，那么B有(2+1)×(3+1)×(2+1)=36个因数；
假设a=3，那么B=35b2，那么B有(5+1)×(2+1)=18个因数，
假设b=3，那么B=34a3，B有(4+1)×(3+1)=20个因数．
综上B的因数可能有36个、18个或20个；
6=2×3=1×6，那么假设C=p1×p22，C2=p12×p24，有(2+1)×(4+1)=15个因数；或C=p5，C2=p10，有11个因数．
42. 3456共有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？
【答案】32；24；24；11
【分析】简答：3456=27×33，约数有8×4=32个．其中3的倍数有8×3=24个，4的倍数有6×4=24个，6的倍数有7×3=21个．那么有32−21=11个不是6的倍数．
43. 3600有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？
【答案】45；30；27；21
【分析】详解：3600=24×32×52，有(4+1)×(2+1)×(2+1)=45个约数．3600=
3×(24×3×52)，有(4+1)×(1+1)×(2+1)=30个约数是3的倍数．3600=24×32×52=4×(22×32×52)，有(2+1)×(2+1)×(2+1)=27个．
44. 〔1〕1−100的自然数中，因数个数是奇数的有多少个？
〔2〕1−100的自然数中，有且仅有3个因数的自然数有几个？
【答案】〔1〕10个；〔2〕4个
【分析】〔1〕100以内的平方数有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，所以共有10个数，这些数有奇数个因数．
〔2〕质数的平方有3个因数，4，9，25，49，所以共有4个．
45. 求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数的个数．
【答案】6个
【分析】30=2×3×5，所以原数肯定只含有2，3，5，这三个质因子，并且指数分别为1，2，4，可以任意排列所以有3!=6个．
46. 在2000到3000的整数中，有多少个数有奇数个约数？
【答案】10
【分析】简答：2000∼3000之间的平方数有452，462，⋯，542，共10个，只有这10个数有奇数个约数．
47. 数160的因数个数是多少个？其中奇因数有多少个？
【答案】12，2
【分析】160=25×5，因数的个数为(5+1)×(1+1)=12(个)，奇因数个数为1+1=2(个)．
48. 有一个整数，它恰好是它约数个数的2012倍，这个正整数的最小值是多少？
【答案】40220
【分析】设这个数为x，其约数的个数为n，那么有x=2012×n=22×503×n，其约数个数总大于(2+1)×(1+1)=6个，经试验当n=20时，那么x=24×5×503⇒n=5×2×2= 20成立因此x=2011×20=40220．
49. 写出从360到630的自然数中有奇数个因数的数
【答案】361，400，441，484，529，576，625
【分析】一个合数的因数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数〔次数〕加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为23×52×7，所以它的因数有(3+1)×(2+ 1)×(1+1)=4×3×2=24个．〔包括1和它自身〕
如果某个自然数有奇数个因数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个．这样它们加1后均是奇数，所得的乘积才能是奇数．而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数．即完全平方数〔除0外〕有奇数个因数，反过来，有奇数个因数的数一定是完全平方数．
由以上分析知，我们所求的问题即为360～630之间有多少个完全平方数．
18×18=324，19×19=361，25×25=625，26×26=676，所以在360～630之间的完全平方数为361，400，441，484，529，576，625．即360到630的自然数中有奇数个因数的数为361，400，441，484，529，576，625．
50. 以下各数分别有多少个约数？
23、64、75、225、720
【答案】2；7；6；9；30
【分析】详解：23为质数，质数有两个约数．64=26，有6+1=7个约数，75=3×52，有(1+1)×(2+1)=6个约数．225=32×52，有(2+1)×(2+1)=9个约数．720=
24×32×5，有(4+1)×(2+1)×(1+1)=30个约数．
51. 如果你写出12的所有因数，1和12除外，你会发现最大的因数是最小因数的3倍．现有一个整数n，除掉它的因数1和n外，剩下的因数中，最大因数是最小因数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？
【答案】60和135．
【分析】设整数n除掉因数1和n外，最小因数为a，可得最大因数为15a，那么n=a×15a= 15a2=3×5×a2．那么3、5、a都为n的因数．因为a是n的除掉因数1外的最小因数，那么a⩽3．当a=2时，n=15×22=60；当a=3时，n=15×32=135．所以满足条件的整数n有60和135．
52. 算式1×2×3×⋯×15的计算结果的末尾有几个连续的0？
【答案】3
【分析】算式中因数5的个数有3个，所以结果的末尾有3个连续的0．
53. 11个连续的两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？
【答案】220
【分析】末4位都是0．这个乘积分解质因数后，至少有4个因数2和4个因数5．而连续的11个数中至少有5个偶数，所以因数2的个数足够了，因而问题在于因数5是不是够4个．由于连续的11个自然数中，最多有3个数是5的倍数，而乘积中要出现4个因数5，说明这3个数中，至少一个数含有两个因数5，这个数最小是25，所以所求的11个连续自然数的总和最小是25+
24+23+⋯+15=220．
54. 2008÷a=b⋯⋯6，a、b均为自然数，a有多少种不同的取值？
【答案】14
【分析】由2008÷a=b⋯⋯6可知：ab+6=2008，ab=2002，又因为2002=
2×7×11×13，而且a>6，所以a的取值有：
7、11、13、2×7、2×11、2×13、7×11、7×13、11×13、2×7×11、2×7×13、
2×11×13、7×11×13、2×7×11×13，共14种不同的取值．
55. 200名同学编为1至200号面向南站成一排．第1次全体同学向右转〔转后所有的同学面朝西〕；第2次编号为2的倍数的同学向右转第3次编号为3的倍数的同学向右转；⋯⋯；第200次编号为200的倍数的同学向右转这时，面向东的同学有几名？
【答案】8名
【分析】转3次，7次，11次，15次面向东，转的次数为该编号的因数个数，所以有3个因数的数为：4，9，25，49,121，169；有7个因数的数为64；没有有11个因数的数；有15个因数为144；共8名．
56. 少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡．这200个灯泡按1−200的编号，它们亮或灭的规那么是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变灭；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮或灭的状态，即亮的变灭，灭的变亮；第N秒后，凡编号为N 的倍数的灯泡改变原来的亮或灭的状态．这样下去，每200秒一个周期．第200秒时亮的灯泡有多少个？
【答案】14
【分析】根据例2知，亮着的灯泡是按动奇数次的，所以完全平方数的奇因性，得亮着的灯为200以内的平方数：12−142．
57. 数学老师把一个两位数的约数个数告诉了墨莫，聪明的墨莫仔细思考了一下后算出了这个数．同学们，你们知道这个数可能是多少吗？
【答案】64或36
【分析】假设约数个数为2个，是质数，这样的两位数有很多．
假设约数个数为3个，可以用a2来表示，也有很多．
约数个数为4个的两位数也有很多．
约数个数为5个的数可以表示为a4，有16和81，不唯一．
约数个数为6个的两位数也不唯一．
约数个数为7个的两位数表示为a6，只有26=64，是唯一的．
同样的，约数个数为9个的两位数也是唯一的，只有36．
约数个数更多的两位数，或者不唯一，或者不存在．
因此这个数可能为64或36．
58. 360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？
【答案】6、78
【分析】360=23×32×5，奇约数有：(2+1)×(1+1)=6(个)，奇约数的和是：(30+
31+32)×(50+51)=78．
59. 在小于200的正整数中，有多少个数有偶数个约数？
【答案】185
【分析】简答：平方数有奇数个约数．小于200的平方数有12，22，⋯，32，142，共14个，因此有偶数个约数的数有185个．
60. 数360的约数有多少个？这些因数中偶因数有多少个？
【答案】24个，18个
【分析】360=23×32×5，因数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个)，奇因数个数
为(2+1)×(1+1)=6(个)，偶因数有24−6=18(个)．
61. 28有多少个因数？和28因数个数相同的两位数还有那些？
【答案】6个；共16个，分别是：12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.
【分析】28=22×7，共6个因数，枚举6个因数的两位数．6=1×6=2×3，原数为a5或
b2c形式共16个，分别是：12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.
62. 一个正整数，它的2倍的约数恰好比自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约
数多3个，那么这个正整数为多少？
【答案】12
【分析】这个数只能含2和3的因子，因为如果它还有别的因子，例如5，那么最后增加的个数
要比给定的数字大．设x=2a⋅3b，它的约数有(a+1)(b+1)个，它的2倍为2a+1⋅3b，它的
约数有(a+1+1)(b+1)个．(a+1+1)(b+1)−(a+1)(b+1)=b+1=2，b=1同样的，它的3倍为2a⋅3b+1，它的约数为(a+1)(b+1+1)个，比原数多3个
(a+1)(b+1+1)−(a+1)(b+1)=a+1=3，a=2，所以这个数的形式是22×3=12．表示一个正整数，那么满足要求的整数x共有多少个？
63. 假设24
x
【答案】8
【分析】根据题意可得x为24的因数，利用枚举或因数个数定理可得24有8个因数；故满足要
求的正整数x共有8个．
64. 200以内恰有10个因数的数有多少个？
【答案】5
【分析】10=1×10=2×5，对于第一种情况29=512>200；第二种情况为a4×b，a只能取2和3：24×3、24×5、24×7、24×11、24×13=208>200；34×2、34×5=405> 200，综上，共有5个．
65. 16200有多少个因数？因数中有多少个奇因数？有多少个偶因数？因数中有多少个是3的倍数？有多少个是6的倍数？有多少个不是5的倍数？
【答案】60；15；45；48；36；20
【分析】把16200分解质因数：16200=23×34×52，根据因数个数定理，16200的因数个数为：(3+1)×(4+1)×(2+1)=60个；奇因数：(4+1)×(2+1)=15个；偶因数：60−
15=45个；因数中3的倍数：3×1×4×(2+1)=48(个)；因数中6的倍数，也就是2，3都
得选；3×4×(2+1)=36(个)；不是5的倍数，(3+1)×(4+1)=20(个)．
66. 数120的因数有多少个？这些因数中奇因数有多少个？
【答案】16个；4个
【分析】120=23×3×5，因数的个数为(3+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)，奇因数个数
为(1+1)×(1+1)=4(个)．
67. 数360的因数有多少个？这些因数的和是多少？
【答案】24个；1170
【分析】360分解质因数：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的因数可以且只能
是2a×3b×5c，〔其中a，b，c均是整数，且a为0～3，b为0～2，c为0～1〕．因为a、b、c
的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，因数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)= 24．我们先只改动关于质因数3的因数，可以是1，3，32，它们的和为(1+3+32)，所以所有
360因数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的因数，可以是1，2，22，23，它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360因数的和为(1+3+32)×(1+2+22+
23)×5w；最后确定关于质因数5的因数，可以是1，5，它们的和为(1+5)，所以所有360的
因数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是，我们计算出值：13×15×6= 1170．所以，360所有因数的和为1170．
68. 有12个约数的数最小是多少？有多少个两位数的约数个数是12个？
【答案】60；5
【分析】详解：有12个约数的数分解质因数后，可能是▫11、▫×▫5、▫2×▫3、▫×▫×▫2；
对应的最小数分别是2048、96、72、60，那么最小的就是60，其中两位数除了60、72、96之
外还有84和90，共5个．
69. 以下各数分别有多少个约数？
18、47、243、196、450
【答案】6；2；6；9；18
【分析】简答：分解质因数后，指数加1连乘即可．
70. 一个房间中有100盏灯，用自然数1,2,⋯,100编号，每盏灯各有一个开关，开始时，所有的
灯都不亮，有100个人依次进入房间，第一个进入房间后，将编号为1的倍数的开关按一下，
然后离开．第2个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到100个人进入房间，将100的倍数的灯开关按一下，然后离开，问：第100个人离开房间后，房间的哪些灯还亮着？
【答案】1，4，9，16，25，36，49，64，81，100．
【分析】对于任何一盏灯，由于它原来不亮，那么当它的开关被按奇数次时，灯是开着的；当它的开关被按偶数次时，灯是关着的；根据题意可知，当第100个人离开房间后，一盏灯的开
关被按的次数，恰等于这盏灯的编号的因数的个数；要求哪些灯还亮着，就是问哪些灯的编号的因数有奇数个．显然完全平方数有奇数个因数．所以用平方数编号的灯是亮着的．所以当第100个人离开房间后，房间里还亮着的灯的编号是：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100．
71. 1000以内恰有10个因数的数有多少个？
【答案】22
【分析】10=1×10=2×5，对于第一种情况29=512；第二种情况为a4×b，a只能取2和3，经试验分别有17种和4种可能，综合共有22个．
72. A有7个约数，B有12个约数，且A、B的最小公倍数是1728，求B．
【答案】108
【分析】1728=26×33，由于A数有7个约数，而7为质数，所以A为某个质数的6次方，由于1728只有2和3两个质因数，如果A为36，那么1728不是A的倍数，不符合题意，所以A=26，
那么33为B的约数，设B=2k×33，那么(k+1)×(3+1)=12，解得k=2，所以B=
22×33=108．
73. 在所有30的倍数中，共有个数恰好有30个因数？
【答案】6
【分析】设30的N倍恰有30个因数．因为30=2×3×5，所以N内可能有2、3、5．根据因数
个数定理，(1+1)×(2+1)×(4+1)=30，所以N内必含2、3、5中几个，即30N=
2a×3b×5c，(a+1)×(b+1)×(c+1)=30，a,b,c分别是1，2，4中一个．N为21×32×54，21×34×52，22×31×54，22×34×51，24×31×52，24×32×51，一共6个．
74. 24
表示的是正整数，那么满足要求的正整数X共有多少个？
x−1
【答案】8
【分析】因为24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；
当x−1=1时，x=2；
当x−1=2时，x=3；
当x−1=3时，x=4；
当x−1=4时，x=5；
当x−1=6时，x=7；
当x−1=8时，x=9；
当x−1=12时，x=13；
当x−1=24时，x=25；故满足要求的正整数X共有8个．
75. 有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，⋯，3599，开始时头都朝东．第1秒钟，编号为1的
倍数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的
倍数的甲虫向右转90度，⋯，如此进行．那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？
【答案】东．
【分析】要求编号为n的甲虫转动的次数实际上是要求n的因数的个数，先将3599分解质因数：3599=3600−1=602−12=59×61，所以3599只有(1+1)×(1+1)=4个因数，那么在
1小时即3600秒内，第3599号甲虫共转动了4次，由于每次转90度，所以共转了360度，还是
朝向原来的方向，所以1小时后，第3599号甲虫头朝东．
76. 一个数的完全平方数有39个约数，求该数的约数个数是多少？
【答案】14个或者20个．
【分析】设该数为p1a1×p2a2×⋯×p n a n，那么它的平方就是p12a1×p22a2×⋯×p n2a n，因此(2a1+1)×(2a2+1)×⋯×(2a n+1)=39．
由于39=1×39=3×13，
⑴所以，2a1+1=3，2a2+1=13，可得a1=1，a2=6；
故该数的约数个数为(1+1)×(6+1)=14个；
⑵或者，2a1+1=39，可得a1=19，那么该数的约数个数为19+1=20个．所以这个数的
约数个数为14个或者20个．
77. 算式(1+2+3+⋯+n)+2007的结果可表示为n(n>1)个连续自然数的和．请问：共有
多少个满足要求的自然数n？
【答案】5个．
【分析】1+2+3+⋯+n是项数为n的等差数列之和，我们考虑将2007平均分成n份，加到
每一项上即可．2007=32×223，有6个约数，分别为1、3、9、223、669、2007．其中1舍去，有5个满足要求的自然数．
78. 有一个整数，它恰好是它约数个数的2011倍，这个正整数的最小值是多少？
【答案】16088
【分析】设这个数为x，其约数的个数为n，那么有x=2011×n，因为2011是质数，那么n的
最小值的约数个数大概率为偶数，经试验当n=8时，那么x=2011×23⇒n=2×4=8成立因此x=2011×8=16088．
79. 求出所有恰好含有10个因数的两位数，并求出每个数的所有因数之和．
【答案】124或186。